從1~n里取K個數，這K個數之和的奇偶性的概率？

01-05

A、B兩人玩下面的遊戲：從集合E={1,2,...,n}中隨機取k個數。若這k個數的和是偶數，則A獲勝；否則B獲勝。請你判斷遊戲對誰有利。

首先確定樓上的答案是錯誤的，不妨令 $k=1$ ，則 $P(A| n = 2m) = frac{1}{2}, P(A| n = 2m +1) = frac{1}{2} - frac{1}{2m+1}$

所以應該對 $n$ 的奇偶進行分類討論。對 $n$ 是否被取到取條件，先考慮 $n$ 是偶數的情況。設A獲勝的概率為 $P(m,k)$

由全概率公式有

$P(2m, k) = frac{k}{2m} P(2m -1, k -1)+frac{2m -k}{2m} P(2m -1, k)$

同理可以得到

$P(2m -1, k) = frac{k}{2m-1} (1- P(2m -2, k -1))+frac{2m -1 -k}{2m -1} P(2m -2, k)$

初始條件為:

$P(2m, 1) = 1/2, P(2m + 1, 1) = 1/2 -1/(2m+1)$

$P(4m, 4m) =P(4m+3, 4m+3) = 1,P(4m+1, 4m+1) = P(4m+2, 4m+2) = 0,$

注意到遞歸是下降的，所以原則上問題可解。

當然，這個問題可以直接求解。要解決上述問題，只需要在 $k$ 個數中包含有 $2m$ 個奇數即可，所以在奇數中取 $2m$ 個數，從偶數中取剩餘數，這是一個超幾何分布的和

$sum_{m=1} ^{ [k/2]} frac{inom{[(n+1)/2]}{2m}{inom{n-[(n+1)/2]}{k-2m}}}{inom{n}{k}}$