怎樣無套利波動率曲面?

01-05

假定由市面上有的有限數量的期權報價反推出相應的隱含波動率,怎樣才能擬合出一個無套利波動率曲面呢? 大致的思路是怎樣的?
任何思路, 參考資料都歡迎

最近我正好在做這個，目前還沒擬合出一個特別好的曲面（能儘可能match市場上listed option price）

總的來說，這是個非常困難的工程（如果你不是在一個大型金融機構，有多個相關經驗的人支持的話）

目前比較簡單的solution是local vol或者heston vol。

簡單來說，heston vol的難點在於optimization那一步涉及數值積分，而如果你要fit整個surface，你的目標函數是一個sum of error squares，每一個option對應一個expiry和strike，需要單獨計算一次數值積分，給定一組參數，就需要計算n次數值積分（n等於surface上observed option prices）。這樣優化下來最後會有非常多局部解。。而另一個難點在於優化的參數太多，梯度很難計算。。我calibrate時基本無法拿到make sense的參數

Local vol的問題在於，首先需要smooth implied vol或者price surface（這裡已經有一萬篇papers和methodologies了，主流的是一種regularized spline，還有的帶有arbitrage-free 性質，例如Fengler的），而且在smoothing前往往還有個pre-smoothing步驟。smoothing非常關鍵，因為最後的local vol對smoothing很敏感。個人感覺這一步清洗數據也非常關鍵，拿掉那些明顯偏離arbirage free的點。而我做quick implementatio時基本是把整個surface扔進algo，這可能是造成我的IV surface一直不太好的原因（smooth以後離market IV很遠）值得一提的是，最近看了bloomberg文檔，他們用的log-normal mixture model （Brigo 2002），還沒功夫去研究。

拿到smoothed IV surface以後就可以用Dupire公式計算local vol了

我這裡只是提出了一些implementation的困難，還望大神指教

貌似你的問題只是smooth implied vol surface，那看這篇就好（Fengler）

http://www.ssoar.info/ssoar/bitstream/handle/document/22137/ssoar-2009-04-fengler-arbitrage-free_smoothing_of_the_implied.pdf?sequence=1

我們自己有開發波動率曲面調試工具，分享一下心得：

只考慮真正有人Trade的檔期，太遠期的不考慮，數據太少，實用度太低；
把能拿的數據都拿下來；
洗好數據；
檔期間（調整完分紅後）去Interpolate缺失數據效果要優於同檔期內不同執行價Interpolate
實在沒把握就把Bid/Ask拉寬點

Interpolate的話可以考慮Cubic Spline（檔期間適用）和SVI（同檔期內適用）。

如果只是做Plain Vanilla Call/Put（不帶Barrier、Knockout、Knockin之類的）上述的就夠了，比較exotic的考慮用local stochastic vol來確保整個曲面都是arb free。

是哪種類型的波動率曲面？ Equity 可以參考Jim Gatheral的SSVI/SVI

https://arxiv.org/pdf/1204.0646.pdf

需要注意的是不同的產品線需要的parameterization不一樣，見Gatheral 的5.1。

去看jim gatheral的書

大致思路其實很簡單，3D想像起來困難的話，2D的類比就是一個平面上給你一些點，然後你根據這些點畫出一條曲線。

和regression不一樣的是，有效的市價產生的點你不能找折中點而必須讓曲線經過那個點。其他的點你可以選擇不經過。

主要的問題有三點：

1。你是不是能為這條曲線找到一個函數——你肯定不能引入無限多的參數，同時要思考參數是否具有一定的意義是否穩定。

2。對於不再是有效的市價的點，你要如何處理？經過？不經過？曲線向該點偏移的時候權重要如何設置？

3。對於點之間的部分，如果之前你沒找到函數，你要如何處理？劃直線還是某種曲線？