數學是完全先驗，不存在經驗部分的嗎？
首先，我覺得可以歸入經驗部分的是各個理論系統的公理。比方說集合論里集合本身以及元素與集合間的從屬關係("∈")都是沒有定義的，這可以看作是從經驗中抽象出來的部分，也就是說我們對集合、從屬這些概念有直觀上的認知，但無法作出進一步的正式的數學闡述。另外，集合論里的幾大公理如集合的存在、集合相等的定義等也都是被假設為成立（作這些假設的基礎是經驗）。
當然，數學最根本的東西並不是公理或是定義本身，而是從公理系統開始構建出整個理論體系的邏輯推演。這裡，邏輯本身是另一個我覺得是經驗的部分。比方說邏輯真值表是否屬於經驗部分？更具體一點的例子是「逆否命題等價於原命題」這一斷言。可能我的這些想法特別是針對邏輯的思考都是廢話，因為無法用邏輯本身處理。希望有專業人士說說學界是否對數學的先驗性有一致的看法，以及我這些想法屬於什麼性質(肯定有人已經提出過這些）...
回答之前先小吐槽一下。本問題和知乎上同類的另外一個「問題」數學是形而上學嗎？的質量形成了鮮明的對比。當然，本人是只會回答好問題的，於是你們懂的。這方面還要感謝下題主，儘管他提的問題比較大以至於我不得不連夜補了一些數學哲學方面的東西才敢回答，可是這對我自己也是有幫助的，因為這次補習至少讓我發現了幾個從前掌握錯誤（甚至因為已經用來在知乎上答題而可能造成了不良影響）的知識點。
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要回答這個問題，首先得做一系列漫長而細密的概念澄清工作。題主的問題是關於數學知識是否具有先驗性或經驗性特徵，那麼我們就要首先來說說這種「先驗」或「經驗」到底能夠體現在哪裡，然後消除常見的一些誤解，最後才能儘可能地回答這個問題。通常在說到「數學知識來自於經驗/與經驗有密切的關係/符合經驗」的時候，這些說法都是不清晰甚至是可能造成誤解的。我們特別要注意從中區分以下幾種可能的而且相互對立的觀點：
第一種觀點：在發生學（包括本體論的和在認知過程中）的意義上，數學知識及其對象都是由經驗生成的。
比如，如果依照英國經驗論傳統所說的那樣，人的大量知識形成的過程應如下：首先是接收穫取某種感知形成心理表徵，然後再在人的腦海/心靈中對這些心理表徵進行各種加工以形成各種複雜的知識——數學知識也在其內。於是，從認知的角度來看，整個數學知識的獲得都是基於感知經驗的獲取以及其後的認知心理加工；對應到本體論上，也就是說數學知識的對象（比如數、集合這些）也都是由來自感知的心理表徵構成的。以這種數學觀來看，題主在補充說明裡所簡單列舉的幾條他對數學的理解大概都屬於這種認知加工的過程。
第二種觀點：康德的數學觀——從一方面來看數學知識並不是由經驗生成的（因此與第一種觀點不同），但在另一方面它卻是必定有經驗內容的。從這種意義上來說，數學知識是「先天的」（a priori）和「綜合」的。
按照康德的說法，數學這樣的先天綜合知識與單純的經驗知識不同，數學知識應該是普遍必然成立的。而這種普遍必然性其實來自於我們人類擁有的某種深層次「認知結構」，正是該認知結構使得人類除了獲取偶適和局域性的的經驗知識之外還可以得到先天綜合知識。這種認知結構可以被稱為是「先驗」（transzendental）的，所謂「先驗」就是指它是人可以獲取保有普遍必然性的數學知識的前提。從這個角度來看，數學知識也可以被視為帶有「先驗」的特徵。
上面說得有點複雜，不過為了幫助理解或許可以很粗略（不準確）地打這樣的一個比方：我們怎麼插花（類似於獲得知識）？首先我們預先就知道插花需要一個架子才能擺出造型，先驗性就相當於是一個插花的架子；然後架子和花都具備之後我們就開始插花，而一邊插我們肯定就同時根據這個架子的形狀來設計插花造型——預先安排好哪朵花擺在哪裡會比較好看，不能隨便擺，這相當於是先天綜合知識；而經驗則是真的往架子上插的一朵朵花。而最後形成的插花藝術品（人類知識系統）除了需要花本身好看以外首先需要架子來支撐花的擺放空間，也需要造型設計來安排花的擺放次序，最後才能形成一個整體造型。
（如果想更細緻地了解康德的認識論的話可以讀 @殷守甫 的話說純粹理性是獨立於一切經驗的理性。那這個獨立於一切經驗的理性是什麼？他寫得比我準確……-_-b）那麼這時數學知識和經驗的關係就如下：1，從發生學上看，數學知識的形成和經驗的獲取無關；2，從內容上看，數學知識是「關於」經驗的；3，數學知識帶有這樣的意味，即它給出了其他經驗知識所必須遵從的某種「框框」。因此，在這種數學觀看來，題主舉的那幾個「例子」其實並不是在說明他從經驗中學習到了數學，而是說他（儘管過程上經過了經驗上一定的引導刺激）自己意識到或潛意識中了解到了他的那些單一的經驗必定服從這個「框框」的「安排」並會最終印證這個「框框」。
這時我們還需要注意康德數學觀的兩個要點：1，康德數學觀要求數學知識有經驗內容，也就是說數學不可能真的和經驗毫無關係；2，康德認為數學知識是先天綜合「判斷」——所謂判斷是一個關於心靈狀態的術語，因此在這兩方面康德和第一類觀點有共識，即數學知識從根本上來說是心理表徵和心靈構造。當然，他沒有直接承諾數學知識的對象本身在本體論上也是經驗或心理表徵這樣的東西，不過從上兩點來看康德的傾向還是比較明顯的。也就是說，雖然康德數學觀還是讓數學跟經驗、心理狀態等東西脫鉤了一部分，但還是有剩下的尚未脫鉤的部分。那麼那個部分怎樣再跟經驗「撇清」則構成了以下的第三類觀點研究的方向。
第三種觀點：邏輯主義或柏拉圖主義數學觀（【注】這兩個詞在弗雷格那裡是等價的，在其他人那裡則未必，本答案主要闡述弗雷格的邏輯主義或柏拉圖主義）。如前所述，這個觀點就是要消滅掉康德觀留下來的兩個尾巴——「綜合」和「判斷」。該觀點認為：1，數學知識的載體並不是作為心靈狀態的判斷，而是有客觀實在內容的「命題」；2，數學命題的內容、數學知識的研究對象既不來自於經驗也不關於經驗，而是非經驗的抽象實體。而對以這種抽象實體為對象的數學知識的研究、對數學命題的論證都必須通過邏輯的概念分析和證明來進行。
這裡有幾個地方是可以細說的。
（A）這種觀點並沒有說數學知識不可能和經驗發生任何關聯，它更強調的是數學和經驗之間在本體論上的相互獨立性，尤其是拒斥經驗成為數學的本體論「基質」。至於兩者發生關聯的方式可以參見下一條。（B）這種觀點相對於康德數學觀來說主要的工作是在本體論上的強化，而在認識論上仍然可以與康德觀點有很多共識（畢竟康德的先驗認識論很有典範性）。比如題主一開始時仍然覺得數學來自於對具體經驗的抽象，可是邏輯主義觀可以從以下兩個角度來對這一「現象」進行解釋，從而為自己的觀點提供辯護：1，從認識論上來看，與康德觀一樣，可以將經驗對數學認知的刺激作用理解為使得認知者意識到或在潛意識中去了解自己的理性早已把握的數學知識「框框」（柏拉圖的「回憶」說在這裡有些用處，與康德認識論有異曲同工之妙），而一切經驗與數學之間的符合其實都應該被理解為經驗對數學的印證；2，如果更強橫一點的話，可以認為「數學認知過程需要經驗事實刺激」這一看法其實是一個誤解——你以為自己看到老師教你一個蘋果加一個蘋果等於兩個蘋果，其實不對，你「直接」「看到」了作為抽象形式的1+1=2，老師只不過是用現象給你演示了一個案例而已。解釋2背後其實就可以引入柏拉圖關於理念世界和現象（經驗）世界的區分，以及現象界事物是對理念事物的「分有」說。（C）由於邏輯主義觀認為數學知識的對象是客觀事物，而數學知識的擴張通常導致數學對象域的擴展以及對已有對象認識的加深。因此在這種觀點看來，數學研究就是一種不斷向前推進的發現的過程。這其實也是弗雷格對「邏輯」的有別於他人的重要觀點。他認為邏輯是研究「真」本身的一門「科學」（也就是說邏輯研究要不斷發現關於「真」的特徵）。於是邏輯這門「科學」既不能僅僅是真值表（因為真值表只不過是將已有的真假賦予個別命題，並沒有對「真」本身提供更多的理解）也不能僅僅是邏輯推衍過程（因為邏輯推衍過程只不過是基於命題的連接方式來進行已有真值的轉移和運算，同樣也沒有對「真」本身提供更多的理解）。題主的質疑在邏輯主義觀看來並不是問題。總之，本答案此後如果沒有特殊聲明，則此後提到的「邏輯」和「邏輯主義」等都指的是這個第三種觀點（邏輯主義觀）中的邏輯。——————————————————————————
澄清完上述觀點的細節之後才能進行不同觀點間優劣的比較，以確定數學到底和經驗有沒有以及有什麼關係。不過澄清工作就已經累死我了，先休息一下……（未完待續……）補充說明的部分，從「首先」開始就是有爭議的。
這可能犯了兩個錯誤，第一個錯誤是柏拉圖主義，第二個是對於語義定義的理解。
集合論里集合本身以及元素與集合間的從屬關係("∈")都是沒有定義的
首先從第二個錯誤說起。定義總是有限的，從有限的地方開始，在有限的地方結束。定義是不能窮盡下去的。我們談論並且使用一些基本的概念，假定這些概念是沒有爭議的，然後以這些概念為基礎進行定義。相對應地，很多基礎概念我們沒有辦法給出一個理想的定義。或者說，我們沒有辦法給出一個顯性的定義。但是我們可以通過隱定義的方式定義對象。比如說在歐幾里德的幾何公理系統中的點和線實際上都是沒有明說的概念，這也就是為什麼當我們把第五公理改成別的公理之後，點和（直）線這些概念可以指向別的一些對象的原因。點和線之所以成為點和線，是因為它們之間具有這樣的關係。更具體的點和線是什麼，我們並不知道。
公理集合論中有關於屬於關係以及集合的約定，但是這種約定並不是通過其它辭彙直接定義出來的，而是通過給出一整套公理然後來進行約束使得其意義穩定在一個範圍內。實際上，集合對應的公理系統有很多很多很多很多很多個，不同的公理系統對應不同的公理，從這個意義上來說，選擇不同公理系統的時候，「集合」的意義是不同的。
（雖然「點」、「線」、「對象」、「集合」可以用這種方式來隱定義，但是我們在隱定義的時候依然依賴於一些基本的邏輯辭彙，比如說「當且僅當」，比如說「是」，這些辭彙本身的含義完全地體現在我們對它的用法上。從這個意義上來說，沒有什麼是最基本的。基礎的概念整個連成一片。）
說到這裡，就可以提到數學分析性的一個基本問題了：數學的分析性的前提在於數學公理和定義一併構成了數學概念的定義。如果我們認可一個數學概念僅在完整地由公理刻畫之後意義才是明確的，或者說，如果我們認為歐氏幾何中的「點」和「線」與黎曼幾何中對應的概念的含義不同，那麼我們就實際上持有這樣的觀點。相對應地，如果我們認為兩對概念實際上是相同的，那麼我們就否認了數學的分析性，因為這就意味著數學公理本身構成了一種額外的限制，而這種限制本身並不包含在數學對象本身的含義內。不過如果真的要說的話，我們的表述如果要是正確的，就總是必須要在幾何陳述之前加上「歐氏幾何中，……」或者類似的限定詞，這樣說起來，雖然「三角形」這個概念中並未包括「內角和為 180 度」一詞，但是既然「三角形內角和為 180 度」不是在所有情況下為真，而僅在「歐氏幾何中，三角形內角和為 180 度」這種表述下才能為真。這樣一來，或許「歐氏幾何中，三角形內角和為 180 度」這種說法又變成了某種意義上的分析的陳述。但是，如果我們將意義和分析性混在一起，那麼總會有這樣的問題：「最小的正偶數」和「最小的素數」的含義顯然不同，但是那麼「最小的正偶數就是最小的素數」這種說法是不是分析的？不過這裡有一個非常難的問題，所以就暫不討論了。
至於柏拉圖主義的錯誤，或許並不一定存在於題主的心中，但是既然這是很多人本能的思考方式，我覺得我還是有必要提及。
人們自然地在生活的過程中產生了概念，概念一般可以分為兩類，一類是專名，一類是通名。而樸素集合論本身就來源於人類的這樣一種認知框架。專名就像是集合的元素，而通名就像是集合，但是有些情況下，作為通名的集合也可以作為另一些集合的元素。這種概念以及其中的層次關係並不一定是教出來的，而是一種一定會產生的東西。即便被稱作「是人們抽象出來的」，有很多關於概念和類的東西也不是人們主動抽象出來的，而是一種認知的本能。
從這個意義上來說，我要反這樣一種柏拉圖主義：數學概念是天降的，或者說，數學概念存在於另一個完美的世界中。點、線、面、這些概念都是完美的，日常生活中沒有完美的無三維的點，沒有無寬度的線，沒有無厚度的面，但是這個理念世界中可以有。
數學概念肯定不是天降的。但是卻是某種意義上存在的。其實我們不需要特別單獨考慮數學概念， 因為實際上任何一個類的概念都是一個抽象概念。即便世界上所有紅色的物體都消失了。只要我們人類對紅色還有印象，那麼紅色這個概念也是存在的，我們可以正常地談論紅色，雖然或許我們一時半會找不到任何紅色的東西。這就像是說，如果我有朝一日失明了，再也看不到紅色了，這並不意味著紅色不存在了。但是另一方面，如果這個世界上從來就沒有過任何一個紅色的物體，或者說，雖然有紅色的物體，但是我們卻從來沒有辦法感知到任何一個紅色的物體，那麼人類的概念框架中就不會出現紅色這種概念，而人類的語言中就不會出現表示紅色的辭彙。
當然，這值得進一步仔細考究。畢竟，雖然我們看不見紫外線和紅外線，但是我們還是給了它們對應的名稱。但是這種東西的出現至少就沒有紅色那麼自然。並且我們不可否認，實際上我們是在用紅色命名一種感覺，而不是一種電磁波。
類似的類比可以放在人和蝙蝠的關係上，我們很難想像成為一個蝙蝠是什麼樣子的。我們知道蝙蝠的工作原理是通過嘴巴和耳朵來「看」，它們的眼睛是看不見的。我們無法想像成為一個蝙蝠會是一種什麼樣子的體驗。
從這個意義上來說，人們能夠進行數學思維，或者說，能夠思維數學概念，其中有一部分的原因是來自於人類的認知結構和世界的結構本身。如果我們是以一種二維的方式存在，我們或許就更加難以思考立體幾何和平面幾何的問題。但是由於有效的例子實在是太難給出，所以也不好討論。畢竟我們能夠討論高維空間，因此，就算人類不能親身體驗一些概念，我們也能構造出對應的概念。從這個意義上來說，數學在某些層面上和感覺一樣，是人們構造出來的，但是說它是構造的，並不是說它是不存在的，而僅僅是強調這樣一種依賴關係罷了。
然後是邏輯。
邏輯是一種在底下的東西。所謂的「在底下」，指的是邏輯是一切思維和語言的基石，我們語言本身依賴邏輯，我們在使用語言的過程中感受到邏輯是如何工作的，質疑、論證、思考這些過程都依賴邏輯。這種依賴性決定了「質疑邏輯」是一種無意義的行為，你沒有辦法看到自己的眼睛，沒有辦法用一個鎚子錘那個鎚子本身，自然也沒有辦法用邏輯去質疑邏輯。
數學和語言在一個層面上，而邏輯在另一個層面上。數學和語言具有這樣類似的表現：我們規定情況如何。這不是我們發現的或者歸納出來的，而是我們約定的。這就和玩遊戲一樣，數學和語言本身首先是遊戲，我們定規則，這種規則的制定和遵守原則上是和經驗無關的（當然實際上會受到經驗的影響，比如說我前面提到的紅色不存在的例子）。更為具體的困難是這樣的：比如說你制定出來了一個戰棋遊戲或者是什麼遊戲的規則，你試圖用這個遊戲來描述某一場實際上的戰爭，但是你發現描述失敗了。這並不是遊戲有什麼問題，而是你錯誤地將一個東西附加在了另一個東西上面。正常人懷疑邏輯無非就是不理解邏輯連接詞的含義罷了。他們認為邏輯連接詞和日常語言中的某些辭彙是恰好一一對應的，而當他們發現對應失效的時候就開始質疑邏輯。但是這顯然不是邏輯的問題。邏輯的錯誤運用的責任在你身上，而不在邏輯頭上。
既然規則是我們首先制定的，那麼規則本身就是和經驗無關的，因此關於規則本身的陳述就是先天的（a priori）。更進一步，規則本身具有一定的可推演性，這就使得我們可以從一些簡單的規則得到一些複雜的規則。比如說除法本身是一個簡單的規則，而通過一定的推演，我們可以確定一個數除另一個數，最後小數部分一定會循環，而這種循環性就構成了一條新的規則：如果你做一個除法但是發現總是不循環，那麼必定是你在某個地方搞錯了。而這種從舊的規則推演得到性的規則的過程又自然地體現了邏輯。而實際上，如果你認同了兩個相互矛盾的規則，那麼在具體實踐的時候，你將會無所適從：你將會不知道要去做什麼。當然，這樣說會引來一個很糟糕的問題：道德也是一套規則，這是否意味著道德判斷也是先天的？我認為這個問題是難的，因此拒絕回答。
數學哲學中唯一難的，或者說，有意義的問題是：數學是如何被應用的。在我看來，數學知識是如何可能的這種認識論問題實際上和知識是如何可能的這種問題類似，如果能夠跳出某些陷阱，比如說數學認知中對應的語義懷疑論以及經驗知識中對應的經典休謨懷疑論，那麼我們就能正確地認識到問題本身是無意義的。
樓上提出的數學的分析性是以概念為基礎的，我相信弗雷格和卡爾納普，甚至蒯因都會同意你的觀點，Robert Hanna的書里也闡述得很清晰；有趣的是，康德認為數學是先天綜合判斷，也就是說數學的綜合性是以直觀為基礎的，更進一步說是純粹直觀，也就是時間和空間。於是前者強調經驗，後者強調先驗(transzendental)，即如何使經驗得以可能，而不是單純的先天性(Apriorit?t)。
直觀與概念的一個根本區別就在於：直觀是與具體的對象相聯繫，而概念則涉及到同一類對象的共質特徵。數學命題之所以能夠超出概念而成為綜合命題，就是因為它是建立在直觀基礎上的。這樣，我們就可以通過感性直觀活動而為數學概念加上不屬於這一概念的謂詞。比如「兩點之間直線最短」，在「兩點」的概念中，我們並不能分析出「直線最短」的謂詞，而這一謂詞之所以能與主詞聯結從而構成一個綜合命題，只有建立在空間的直觀基礎上。同理，算數的計數活動作為有序的相繼運動則是建立在時間的前後相繼性之上的，計數活動也正是對時間的一種規定，因為時間的流逝可以通過計數而表達出來。
時空概念和時空本身也不能進行混淆，具體的空間與時間（即空間與時間的雜多）本身是對作為純粹直觀形式的空間與時間的限制。前者可以通過感覺向我們呈現，而後者必須通過想像力的建構。比如1+1=2藉助手指、火柴或者點來計算，只是作為一種媒介，並不影響其先驗性。就像我們隨便在沙灘上畫一個三角形，並說它是一個正三角形，畫出來的線條粗細、有幾個地方不是很直，而是有些彎曲的，這些經驗的性質並不影響它是正三角形的屬性，它只是更加趨近我們心中那個「規則的」正三角形，而事實上我們可能永遠也給不出一個絕對標準的正三角形的。
作為堅定的康德主義者，我相信數學是沒有經驗部分的。（未完待續，寫得好累啊）謝邀。本來只是打算在各回答之下做一些討論的，結果交流相當不暢。。。故而，先介紹一下數學哲學主流的數學觀，然後在發表一些個人觀點。。首先在本問題上我們需要一個語言分析：「數學是完全先驗，不存在經驗部分的嗎？」這個闡述本身是有問題的，前半句的「完全先驗性」體現的知識論的特徵，而「經驗部分」卻必須指向數學結構。而日常語言中對於「數學」這個對象，進行例如」來自於經驗「or」符合先驗「都不能作為一個論斷出現。
故而這裡涉及「實在論/反實在論「的爭論。
還原完以後。我們先可以開始作知識論上的探討。1，康德主義。《純粹理性批判》的「先驗感性論」和「先驗邏輯」兩部分，從某種意義上可以分別看作康德的「數學哲學」和「物理學哲學」，所以，在通常認為是《批判》縮寫本的《未來形而上學導論》里，這兩部分的標題分別變成了「純粹數學是怎樣可能的？」和「純粹自然科學是怎樣可能的？」「可能性問題」的引出是一個耐人尋味的事情，而事實上，我們開始探討數學哲學，即：我們如果認為數學是既定實存的，那麼我們如何去追溯可能「。而康德在這個問題上，並沒有通過歷史語境去追溯，實際上，這個問題顯然更為深層。這不同於我們可以通過概率去表現的「可能」，這個「呈現原則」，而這個問題我需要回歸到「實現原則」上面去。而在本源論上，康德認為「觀察一下數學的性質就會看出來，它的可能性的第一的、最高的條件是：數學必須根據純粹直觀，在純直觀里它才能夠具體地，然而卻是驗前地把它的一切概念提供出來，或者象人們所說那樣，構成這些概念。「那麼在以上本源論的預設下，我們需要界定這種「純粹直觀」和其「可能性」。
那麼就存在一下兩層問題：一、問「數學是怎樣可能的？」，實際上也就是要問，先驗綜合判斷在數學裡是怎樣可能的。二、為數學裡的驗前綜合判斷提供可能性的，是有待去「發現」的純粹直觀；而所謂「發現」純粹直觀，也就是在理性的整體結構中找到純粹直觀的位置，並究明它的功能。這兩層相互貫通。第一層中，我們需要界定「分析判斷」和「綜合判斷」，分析判斷就是其述項與主項的聯繫是通過同一性而被思維的那些判斷；而其主項與述項的聯繫不是由於同一性而被思維的那些判斷則應稱為綜合的。」而康德又把分析判斷和綜合判斷分別稱作「說明的判斷」和「擴大的判斷」，「說明的判斷」不擴大知識，而知識追求的目標應是「擴大的判斷」，即綜合判斷。分析判斷的重要性體現在澄清更為廣大的「綜合」，即知識增量。2m(f) = DF ( x)( y)〔~(x=y)·f(x)·f(y)〕
以此類推，來實現重新構造。
但是問題在於，雖然我們通過邏輯重構強化了數學知識本身的本體論意義，並將數學知識定義成了一個「分析判斷」，此概念只與判斷來源有關，一個數學命題被視為分析命題，其前提是符合普遍的邏輯法則，並以邏輯定義為先，而邏輯定義本身來自於對於「範圍」的界定。即，從而我們在知識論上得到一個精緻的模型，但是意義的來源何在呢？
於是，邏輯主義在此處和康德主義取得了一定的共識。
而羅素式的邏輯證明，只在它也具有幾何的說服力時，才是有說服力的。這樣一種邏輯證明的縮略形式可能具有這種說服力，因此也是一個證明，而以羅素的方式充分展開的結構則不是證明。
那麼這裡就引入了一個邏輯基點，那就是「幾何說服力」，而這個基點和康德的「直觀確定性」是有一定的共識在裡面。
那麼，我們可以完成對於「意義」的追溯，
1，證明理解為對於被證明命題的『可構造性的證明』，在某種意義上是比任何別的理解更簡單、更基本的理解。
2，那麼，就此而言，數學和經驗之間由明顯的相關性，但是在本體論上保持相互獨立性。
3，經驗對數學認知的作用，體現為語言的理解，即，使得人本意識可以去了解自身來源於理性早已把握的數學知識的呈現，而經驗更多是顯像的驗證作用，即我們用經驗可知的現象去了解了一個表觀的數學知識。
4，邏輯主義普遍將數學對象聯繫到經驗對象，聯繫到我如上所說「並將數學知識定義成了一個「分析判斷」，此概念只與判斷來源有關，一個數學命題被視為分析命題，其前提是符合普遍的邏輯法則，並以邏輯定義為先，而邏輯定義本身來自於對於「範圍」的界定「，而知識的擴展本身知識新概念領域的形成和對既定領域的加深，即對非經驗的對象的概念分析是數學知識的本源論。
5，數學和語言本身首先是遊戲，我們定規則，這種規則的制定和遵守原則上是和經驗無關的，而這種陳述本身就是先天性的。
6，在經驗認知的任何一個類的概念都可以是一個抽象概念，而我們能夠對於這個抽象概念的思維卻並不一定來自於經驗，而是我們對於所在結構的一定認知。
故而，題主對於「邏輯真值表是否屬於經驗部分？」其實在這種認識論沒有什麼意義，「推演」這個方法論，本身依賴於命題間的關聯方式的界定，然後通過已有的邏輯真值來進行運算，這裡面其實不涉及概念的生成。
可以是後驗必然Naming and Necessity
我覺得吧，數學是一種「操作」。抽象化的「操作」。譬如說，1+1，代表了無數可能的「操作」：一個石頭+一個石頭；一朵花+一朵花；……這些「操作」有一個共同特點，即，只考慮操作對象的同一性，不考慮其異質性（或者說，唯一被考慮的異質性是，它們是「不同」的相似的個體）。這些可能的操作不一定是人為的。自然界的過程也可以被視為這樣一些操作（比如輕風一吹，一片葉子旁邊又多了一片葉子）。將這些無數可能的「操作」抽象化，便變成了代數意義上的「操作」，即一種「抽象操作」。「抽象操作」進一步把操作對象具體為何物的問題越過了……同理，2+2+2也是一種「抽象操作」。這種操作可以進一步用乘法表示，而除法只是乘法的反操作。2+2+2=6不是分析命題。因為，給定一些東西，你一一數來，可以1,2,1,2,1,2這樣數完，並不代表你就能立馬確定你可以1,2,3,4,5，6這樣數完。這個數學式無非表明，對這裡的「一些東西」，既可以實行「2+2+2」這一「操作」（相當於（1+1）+（1+1）+（1+1）），也可以實行「6」這一操作（相當於1+1+1+1+1+1）。兩種操作等值。最小的正偶數等於最小的質數更不是分析命題。最小的正偶數，相當於，最小的能被施以有限次（1+1）「操作」的正數（正數、負數似尚需另外界定）。最小的質數，相當於，最小的除（1）和它自身之外，不能被施以有限次（1+1+……）（不等於它自身）「操作」的數。兩個符合這樣的「操作」條件的數剛好相等，是一個綜合命題。所以不能說，全部數學都是重言式。原則上，各種複雜的數學式都可以還原為某些基本操作。另外，幾何比代數複雜，而數學在物理學等中的應用又比幾何複雜。至於數學是經驗的，還是先驗的，我認為是經驗的。而我們的經驗世界剛好具有這樣一種性質，使得我們超出實際操作可能的抽象操作剛好對實際操作的某些結果做出預測。所以，也不妨說，我們的經驗剛好有一層先驗的「外殼」（或用別的稱呼也可）。
很多人有一個誤區，認為數學是在揭示一些放之四海皆準的普遍真理，例如「三角形內角和一百八」。其實不然，數學其實是一個由前提假設得到結論的這麼一個過程，其實可以更簡要地歸納為一個命題「 A→B 」。比如「三角形內角和一百八」其實就是B，而我們忽略了前提假設A：在歐式平面中，也就是我們常說的「公理」或「公設」。
一個數學命題其實談不上是不是真理，因為數學本身並不是A或者B，而是A推演到B的那個箭頭→。箭頭才是真正的數學，也就是「邏輯演繹」本身。研究彎曲空間的「黎曼幾何」中，三角形內角和不再是一百八，是因為前提假設A不再是二維歐式平面。A→B，A』→B』，數學其實就是這個箭頭，也就是邏輯演繹本身。脫離前提假設地談論B對還是B』對是沒有任何意義的。
科學領域同樣存在著大量的命題，雖然科學研究也運用了數學方法和結論，但是科學並不像數學那樣「本身沒有對錯」，任何一個科學命題是可以非常清晰地評價是對還是錯，或者是在多大可信程度上是一個真命題。因為科學有唯一的評判標準—— 真實世界的現象。如果用剛才的話說，那麼科學結論就是一個個的命題A、B、C。你可以具體地探討每一個命題是否為真，標準就是真實世界。也許A是真，你可以通過數學（也就是箭頭）得到邏輯演繹後的B結論，那麼在科學系統中，B結論的真實度和A結論一樣，因為數學推演本身是高度嚴密的。
科學最大的特點就是「可證偽性」，亦即可以用明確的實驗來證否。並且有趣的是證明一個科學理論的錯誤不一定要用具體的實驗，用「思想實驗」也可以證否之。例如早先伽利略證明亞里士多德「質量越大加速越快」的引力理論是錯的，用的就是理想實驗的方法，兵不血刃就推翻了它。而近代量子力學發展中也是通過理想實驗（Bell不等式）來否定了「隱參數理論」。
社會科學也是科學的一部分，因為沿用的是同樣的標準和推理，只是因為描述工具和參數更多，導致研究起來很不容易，但本身也是科學。它和物理化學生物等傳統意義上的科學研究對象不同罷了，方法論和可證偽性是一樣的。
而數學沒有這種「可證偽性」，它不需要證偽，因為它就是「邏輯推演」本身。也正因為數學是邏輯演繹，所以數學先天地要求基礎公設本身不能有邏輯不自洽性，否則連之前說的那個A→B的箭頭，都無法完成。而數學中用到的「反證法」本身就是邏輯演繹的一種方法，並不意味著數學「可以證偽」。
如果非要用更精鍊的語言區分數學與科學的話，那麼無疑這一句是最出彩的：
科學研究的是我們的宇宙，而數學研究的是某一個宇宙。
康德說：一切知識都開始於經驗，但並不是所有的知識都源於經驗。
理解了這句話，應該就能解決你的問題。
和數學一樣，靠譜的自然科學都是從假設開始的。這些假設都來源於經驗的歸納，但兩者的區別在於，自然科學的結論要接受現實的檢驗，並在此基礎上不斷修正。但數學不同，數學無需經受現實檢驗，或者說怎麼檢驗都是對的。
用人話很難解釋康德，大致就是說。在經驗出現以前，有一個被稱為先驗的東西已經規定了經驗的形式，數學所認識的就是這個先驗形式。所以，數學雖然最早是通過經驗被發現的，但其內容完全是先驗的。
補充一點：像哥德巴赫猜想這樣的東西放在物理學領域那直接就是哥德巴赫定律了，但在數學領域，在被證明以前只配叫猜想。同理，物理學的任何定律都是無法用邏輯證明的。所以，數學只關乎邏輯，科學關乎實驗。建議看看大數學家亨利龐加萊的小冊子&<科學與假設&>的幾何學部分，裡面談到他本人的科學哲學觀。康德的數學觀念是，數學是一種先驗綜合判斷，是完全建立在先驗之上的公理體系，其實準確來說算數公理體系是這樣的，但是龐加萊認為幾何學不是，幾何學類似於理論物理，來自於經驗，但是卻需要假設(約定，定義)。他提到，歐式幾何的五條公理只不過是偽裝成為公理的定義罷了，而非歐幾何，是另一種約定(假設，定義)。龐加萊的思想被總結為經驗約定論
數學基於公理體系，有很多分支；公理的「不證自明」以及推導過程的絕對精確性意味著數學不可能是後驗的。而人的經驗總是來源於物質世界，所以只能說數學是先驗的，但具體選擇哪個分支（或者說選擇哪組公理，以及用這組公理衍生的定理）來解決物理問題則是後驗的。
我更認為數學是超驗的，而不是經驗和先驗的。
有一個名詞叫「經驗式」。
其實感覺是題主對於先驗性的定義和理解和大家不一樣- -
並不是說從經驗中提取而來的就一定不是先驗性，那樣太絕對了，認知中的所有東西其實都有從經驗上提取而來的痕迹（包括時間和空間的形式也是在獲取經驗的方式中慢慢磨合而出）。
我對先驗性的定義是：使經驗成為可能（先於經驗確定的）。
人類的認知結構和物自體的被認知方法
讓我們在經驗產生以前
就因為這些基礎因素的特質
使得經驗的形式註定將會成為我們現在所感知到的那樣
（包括以時間和空間的方式梳理等）
這才是先驗性的先之所在，是那種先於的註定感。
而數學，正是從對空間的認知和解構中產生的，這也就是數學先驗性的源頭。前兩年謹以高考數學不到六十分的水平寫過一點——
幾何定理由公理證明，公理又由什麼證明？康德為其哲學，順便也為數學，找到了他以為是意識中的必然性，一種先驗的規範：「數學必須根據純粹直觀，在純粹直觀里它才能夠具體地，然而卻是先天地把它的一切概念提供出來，或者象人們所說的那樣，把這些概念構造出來。」[17]所謂純粹直觀，即不與外界產生經驗，意識就能想像出來的。
問題是：必然≠應然。人必然會死，難道人不應抗拒這個結果，而是追求這個結果？若必然=應然，無所謂合理性與價值性，無所謂理解、反思和選擇，即無自由。[18]而他那句名言前半句，不是「思維無內容是空的」[19]？意識不能想像的，如同一對象同時經過兩個不同的地方；經驗中卻存在，如雙縫實驗。
「先天地把它的一切概念提供出來」，意味著數學是現成的、封閉的規範，早已存在所有可能的答案，只待人來發現。可這意味著數學都是在其規範內的分析，在其範圍內改變形式，無所謂「先天綜合判斷」，也無所謂新知識：1+1=2，1和1的概念，分析不出2這個概念；但可以數出來，即以先驗的能力結合經驗的現象。計算的數越大，感受越明顯，如9999+999。然而，1+1=2的的2，是在四則運算和數軸上已存在的，不是由已存在的1和1組成新的存在，根本不是綜合。
所謂直觀，恰恰是一種綜合。如經驗直觀的看，外觀上：視覺似乎比觸覺等其他感覺更客觀。實際上，視覺並非一種天生的、統一標準的相機：維特根斯坦用過的那個兔鴨圖、老少婦圖，乃至格式塔心理學各種圖，都證明了視覺對圖形有主觀的構造作用，故對同一張圖，不同人看出不同圖形。
純粹直觀，意味著能空間化、幾何化。《聖經》中，上帝讓加百列完成這樣的任務：給一個體積有限，表面積卻無限的酒杯塗上顏料。加百列完成任務後，上帝將這個酒杯獎勵給他當號角。這在意識中想像不出，經驗中也沒有。《聖經》說，世界末日時，加百列將吹響那個號角，看來世界末日永遠不會到來。但這在代數上是有解的：以代數表示幾何，一些與表面積和體積對應的算式，就能各自表示無限和有限，並統一起來。當然，這裡有混同，即那些算式不能完全表達體積、表面積的意義。這些證明：代數不都能純粹直觀，即幾何化；而幾何的意義有經驗性，正如先天的盲人，能僅憑意識就想像出三角形？並且能區分平面和非平面三角形的各種性質，如內角和的差異？更無法理解三角形有穩定性。
代數的意義，也有經驗性。若只講邏輯：0+0應該等於兩個0，而不是一個0；0-1應該等於0，0表示沒有，哪有比沒有還少的量？沒有加上沒有，還是沒有，所以0+0=0；就像資不抵債，不論債務是負多少，反正都還不起，都是0。若代數只講其封閉的規範，即演算法：1+1=2，在十進位內恆成立。這就難以理解不符合運演算法則的速算，更不能理解一眼看出答案；不能理解1×1=1可以反過來1÷1=1， 0×0=0卻不能反過來0÷0=0；無法理解為何將0.9999……，0.8999……這些以9無限循環的小數剔除，即認為不存在。這些封閉的規範，十進位、二進位、十六進位，都和四捨五入一樣，都是價值的選擇和設定，而非先驗的必然性。
同樣的演算法，會算9+9的兒童，對於9999+99，要算很久，甚至算不出，是他不會數嗎？兒童往往是數自己的手指，而不是自己手指間的空隙，也不是數別人的手指或者天上的星星，更不會是走動的路人和車輛。數字這種封閉規範中的特定符號，和語言中的能指一樣，意義在於經驗中的所指；一旦有所指，就沒有封閉規範中的必然性：生活中沒有1，也沒有+和=。經過實踐，才認定這是一個，那是一個，二者同類，且能合併，才有1+1=2。否則，一個人加一頭豬等於二個什麼？一滴水加一點火星，水沒了，火滅了。小學生做數學應用題時，為何常搞錯量詞，原因在此。
若數學如康德所言，許多生物也懂數學，也有理性，還是造物主懂數學呢？數學不是源於人意識中先驗的規範嗎？例子不勝枚舉：珊瑚蟲有自己的 「日曆」：它們每年在自己的體壁上「刻畫」出365條環紋。[20]蜜蜂窩是六角柱狀體，開口是平整的六角形,低端則是封閉的六角稜錐體,由三個相同的菱形組成；菱形的鈍角都是109度28分，銳角都是70度32分，這與科學結論一致：耗費最少的材料，製成最大的菱形容器。
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[17] [德]康德：《未來形而上學導論》，龐景仁譯，商務印書館1982年版，39頁。
[18]克里普克指出，先驗和必然也不是一回事。
[19] [德]康德：《純粹理性批判》，鄧曉芒譯，人民出版社2004年版，52頁。
[20] 3億5千萬年前，珊瑚草每年的環紋是400條。
題主的問題反應了直覺主義，邏輯主義，理性主義之間一直的爭論。
題主所提的 逆否命題是否等於原命題 直覺主義者是直接否定的，所以他們不承認反證法。。。推薦一本書 《數學，確定性的喪失》雖然作者有一定的偏向性，但是還是把這場爭論說的比較清楚。題主的疑惑到底在於羅大神 所說的名詞問題還是休謨的懷疑論？
元素與集合間的從屬關係("∈")真的在更高階邏輯下沒有定義么?
當然題主你可以把∈當成一個符號，然後完全用形式系統操作，在「剛好符合集合的那一套」的規則下用。康托爾討論無限以及選擇公理的事題主這背景肯定知道
我就解答下邏輯真值表的問題吧
正常情況下（好久沒看邏輯了，我沒記錯吧）x y x題主說，不行，我要構建一個邏輯
x y x其實有個叫做異或的運算，上面那個題主構建的真值表只是用表示了異或而已。
至於四個都一樣， 相當於 1（x
y ）或者0
（x
y）
所以題主想構建怎樣的真值表，現在的邏輯都能滿足你。
在
x y x我們剛好找到現實生活「或」所帶來的操作出來的值這真值表一樣，然後再把這個稱為『或』。這個「或」只是個現實生活模型。
these may help:
Intuitionistic logic, deleting the law of excluded middle, whose mathematical foundation is Heyting algebra, developed by the constructive mathematicians(?) like Brouwer. the semantic part is BHK interpretation.
Quantum logic, one of the interpretations of quantum mechanics (there are many alternative interpretations besides the statistical point of view).I know there are also modal logics dealing with the modal verbs in natural language, but my major is not mathematical logic, this maybe irrelavent.category theory is considered as another foundation to mathematics completely parellel to set theory, see nPOV in nLab(n category point of view).William Lawvere"s work reveals some kind of connection between logic and topos theory,個人愚見，數學的存在就是為了支持其他學科經驗部分是合理的，如果數學也經驗，那麼就有點循環論證了。
我覺得是。
轉自學校課件，我覺得我翻譯水平不夠，所以貼原文了
The philosophy of mathematics revolves around two central questions, one epistemological, the
other metaphysical:The epistemological question – How can our beliefs in mathematical statements (like 『7 + 5 =12』) count as knowledge?The metaphysical question – What is the subject matter of mathematics? In particular, ismathematics about some mind-independent realm of entities which is out there independently ofour capacities to use mathematical terms and construct mathematical proofs?Philosophical tools 11 – Semantic theories, syntax, and the notion of semantic value
Defintion – A 『semantic theory』 for a language is a theory laying down how the truth of falsity of sentences in the language
depend on contributions made by their parts.
In general, a semantic theory will presuppose a syntax which specifies the kinds of expressions in the language, and lays
down which combinations of expressions count as well formed formulae (sentences).
The semantic theory stipulates
a) the kind of contribution to determining the truth or falsity of a sentence that is made by each unstructured expression (the
expression』s semantic value), and
b) how the semantic value of a syntactically complex expression depends on the semantic values of its simpler constituents
and the way these constituents are combined.
The semantic value of a sentence is a truth value (『True』 or 『False』)
For example, here are a syntax (1 – 7) and semantics for a very very simple language:
1) 『Jack』, 『Digby』, and 『Ricky』 are names.
2) 『is a dog』, 『is greedy』, and 『is Canadian』 are predicates.
3) 『~』 and 『』 are logical operators.
4) For all names n and all predicates F, the complex expression got by prefixing n to F is a sentence.
5) For all sentences s, the result of prefixing 『~』 to s is a sentence.
6) For all sentences s1 and s2, the result of conjoining s1 and s2 is a sentence.
7) There are no other sentences.
i) The semantic value of a name is an object.
ii) The semantic value of a predicate is a property.
iii) The semantic value of 『n is F』 = TRUE iff the object that is the semantic value of n has the property that is the semantic
value of F.
iv) If the semantic value of a sentence is not TRUE, it is FALSE.
v) The semantic value of 『~s』 is TRUE iff the semantic value of s is FALSE.
vi) The semantic value of 『s1 s2』 = TRUE iff the semantic value of s1 = TRUE and the semantic value of s2 = TRUE.
In these terms, the metaphysical question can be put as a question about the semantic values of
mathematical expressions: Do mathematical expressions have mind-independent entities as theirsemantic values, and if so what are they?Note that yet another way of putting the metaphysical question is as the question of whethermathematical statements can rightly be said to be true, and, if they can, what it takes to makethem true.The standard view of the relation between the questions – It is standardly accepted that the needto answer the epistemological question generates a constraint on possible answers to themetaphysical question: An account of the subject matter of mathematics is acceptable only if it isconsistent with a plausible account of mathematical knowledge.Since knowledge is factive (if S knows that p, then p is true) the constraint the other way isalready compulsory: An account of mathematical knowledge is acceptable only if it is consistentwith a plausible account of mathematical truth.2 Some traditional views (we』ll see more options as we go on)2.1 Realism『Realism』 in the philosophy of mathematics is the view that mathematics has a mind-independentsubject matter, and that a mathematical statement is true iff it characterizes this subject mattercorrectly. (A mathematical statement is true iff it corresponds to a mathematical fact.)『Platonism』 is a form of realism according to which the subject matter of mathematics is a realmof mind-independent and non-physical mathematical objects.Here are two traditional arguments for, respectively, realism in general, and Platonist realism inparticular:The argument for realism from the usefulness of mathematics
1 Mathematics is useful for making predictions
which enable us to act successfully in the world.2 The best explanation for 1 is that ourmathematical theories give an accurate account ofsome mind-independent aspect of the world.So3 We should accept that there is a mindindependentaspect of the world which correctmathematical theories get right.The argument for Platonism from the structure of
mathematical language1 In mathematical statements like 『7 + 5 = 12』 and
『7 &> 3』, the number terms (『7』, 『5』, 『12』) play thesyntactic role of names.2 In general, where there is uniformity in syntacticrole, there is also uniformity in kind of of semanticvalue.3 The semantic value of a name occurring inordinary non-mathematical language is an object.So4 The semantic value of a number term is an object.Note that the argument from the structure of mathematical language provides no reason to say
that the semantic value of a number term is a mind independent object. The traditional case for
Platonism employs the argument from the structure of mathematical language within the scope
of realism taken as already established by the argument from usefulness.
2.2 Mathematical anti-realism (1) – Formalism
『Anti-realism』 in the philosophy of mathematics is the denial of realism. An anti-realist says that
mathematics does not have a mind-independent subject matter/ that correctness in mathematical
proofs is not a matter of generating results that correspond with mathematical reality.
『Formalism』 is an anti-realist view according to which mathematical statements are not true or
false at all. According to a formalist, the activity of engaging in mathematical proof is in exercise
in manipulating symbols according to rules. A proof is 『correct』 iff it is constructed by steps that
are in good order relative to the rules, where the rules themselves are in good order as long as
they do not generate inconsistencies. The question of whether a statement arrived at by such a
series of steps is 『true』 simply does not arise.
One of the main objections to formalism is that it seems to be unable to account of the usefulness
of mathematics.
2.3 Mathematical anti-realism (2) – Intuitionism
『Intuitionism』 is an anti-realist view according to which mathematical statements are assessable
as true or false, but mathematical truth is not regarded as correspondence with mind-independent
mathematical reality. According to an intuitionist, a mathematical statement is true iff it is
proven [strong form of intuitionism] or (in principle) provable by us [weaker form], and false iff
its negation is proven/provable.
Because a well-formed statement may (for all we know) be neither provable nor disprovable,
intuitionists reject the claim that every mathematical statement is either true or false, and all
forms of reasoning that rest on this claim. In particular intuitionists repudiate reductio arguments
as a means of proof in mathematics.
3 A precursor to arguments against mathematical realism: the causal theory of knowledge
3.1 Gettier cases and the causal theory
Recall our discussion of Gettier cases from Epistemology 2. These are cases of apparently
justified true belief that re not knowledge because, given the way the belief is justified, it is just
lucky that it is true. Here is a case of the relevant kind:
Smith believes that Jones owns a Ford because every day he sees a Ford parked in the parking place which has
『Jones』 written on it; he (Smith) believes that it has been the office policy for twenty years to write people』s names
on their parking places; and he believes that there are serious recriminations attached to using someone else』s
parking place. Smith does not know that Jones walks to work and has for many years been selling the use of the
parking place to some Ford-owning colleague. However, though Jones walks to work, he actually does own a Ford
which sits at home in his garage.
Cases like this have been used to argue for the 『causal theory of knowledge』: the view that a
necessary condition on a belief』s counting as knowledge is that there be a causal connection
between the belief and its truthmaker:
1 A right account epistemology must distinguish between true beliefs that count as knowledge
and true beliefs that are merely luckily true.
2 Where a true belief is merely luckily true, this is in virtue of an absence of causal connection
between the belief and its truthmaker: the causal pathway to the belief is isolated from the
truthmaker (so that an intervention that knocked the truthmaker out of the history of the world
would leave the causal pathway to the belief intact).
3 To exclude cases of merely luckily true belief, a right epistemology must treat the presence of a
causal connection between a belief and its truthmaker as necessary for knowledge.
So
4 A right epistemology must treat the presence of a causal connection as a necessary condition
on knowledge.
On the face of things, our usual ways of acquiring everyday knowledge do involve a causal
connection.
- perception
- memory
- testimony (forming a belief that p on the basis of someone else』s assertion that p, in a situation
where that person is in a position to make the assertion)
- moving to p from premisses known by one of these means.
But the causal theory generates an immediate apparent barrier to realism. If there is a
mathematical realm, it is not occupied by concrete entities (which can enter into causal relations)
but by abstract ones (which cannot). But if the causal theory is right, we can have no knowledge
about such entities. And in that case , given that a right metaphysics of mathematics must enable
us to explain the possibility of mathematical knowledge. Mathematical realism cannot be right.
樓主的想法很有趣。是不是先驗就看一點，在沒有經驗的情況下，是否能得出結論。在沒有經驗的情況下，真值表是否能得出呢？這個沒研究過，不知有沒大神能給出結論。
看起來這個問題和數理邏輯中的『哥德爾不完備定理』有點聯繫，建議題主去看看這方面的資料。
不是，其實仔細想想你就會發現演繹邏輯是從歸納邏輯得來的，沒有人一出生蒙上眼睛可以知道1+1=2。
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