為什麼變形形式越複雜，固有頻率越高？

知道約束越強，柔度越小，剛度越大的結構，固有頻率會越大，但為什麼變形形式越複雜，固有頻率越高？

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我理解你的意思是需要解釋固有頻率的階數越高，振動模態越複雜的現象。簡單來說，定性地可以這樣來理解：其實，「複雜」指的是局部位移較明顯而整體位移較小，這其實就是該模態對應的結構剛度較大的體現，而體現在頻率上，就會越大。

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正好在複習結構動力學，就從除能量以外的另一種角度解釋一下。

求無阻尼多自由度系統各階振型的方法是這樣的：

列運動方程（矩陣和向量表示）：

簡諧運動給定為

於是得到矩陣方程

令特徵方程等於零

解得與系統自由度數量一致的N個特徵值即為各階固有頻率，由小到大排列：

對應的N個特徵向量即為各頻率對應的振型：

把這些列向量排成一行

這就是振型矩陣

這些振型式兩兩正交的，而且系統的質量矩陣M是實對稱陣，線性代數告訴我們它一定可以對角化為模態質量矩陣。且

其中對角線上的第i個元素為

這就是所謂的模態質量。

注意，特徵向量不是唯一的（只表示各質點位移的一個相對值），要給每個

定標，這裡給定標為使得

（若每個質點的質量相同為單位質量，則各質點位移的平方和為1）

同理，剛度矩陣K也可以對角化為模態剛度矩陣

其對角線上的第i個元素為

這就是所謂的模態剛度。

令

這實際上是把u在基x下以廣義坐標表示，則

最後一個等號兩邊同時左乘

就得到了

這個變換形式於原來完全一樣，但它最重要的不同是，在這個廣義坐標下，剛度矩陣和質量矩陣都是對角陣，也就是非耦合的，通過上面的變換過程實現了解耦。

這樣的變換相當於把多自由度體系的每一個振型都與一個質量為,剛度為的單自由度體系對應起來。

這樣，可以很容易發現，特徵方程

等同於行列式對角的任意第i個元素

即

之前對振型的定標使得所有的，故

這說明，各階振型對應於單位模態質量的模態剛度正好就是其自振圓頻率的平方。問題對「複雜」的定義並不明確。事實上，對於質量剛度分布很不均勻的體系，低階振型質點間連線（振型圖）不一定比高階更平滑。但可以肯定的是，自振頻率越高，模態剛度越大，對應的模態越不容易出現，模態剛度就是「複雜」的一種體現。

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固有頻率越高，變形越「複雜」，某種意義上，所需的能量越多。

單自由度體系就一個固有頻率，不存在這個問題。

拿最簡單的兩自由度體系來說吧，如果我們看下面這個最最簡單的兩自由度體系：

假設我們忽略彈簧的質量，那麼這個體系的剛度矩陣和質量矩陣分別是：

它的固有頻率就是這兩個矩陣的特徵值，也就是

特徵值是固有頻率的平方，兩個固有頻率分別是 ，

對應的特徵向量是

也就是是說，對應一階頻率，這個體系這樣動：

中間的彈簧事實上沒有變形，兩個小車和中間的彈簧組成一個整體，左右振動。

而對應於二階頻率，這個體系就變成了這樣：

一邊是-1，一邊是1；一個向左，一個向右。換言之，三個彈簧都有變形，其中蘊含的能量或者說所需的能量比一階頻率要多。

或者說，頻率越高，對應的特徵值越大，特徵向量越「複雜」。比如這個例子，一階特徵向量是1 1，二階變成了-1 1，比一階的兩個1要「複雜」，對應的振動形式也複雜。

對於更多自由度的體系，規律同樣也是如此。固有頻率越小，振動形式越簡單，所需的「能量」相對越少。

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變形越複雜可以理解為約束越多，約束越多則剛度越大，頻率越大。

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振動的形式越複雜，每一個振動的「單元」大小越小。不考慮色散，波速相同的情況下，波長小頻率高。

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高階模態的模態剛度大於低階模態剛度，高階模態質量小於低階模態質量

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