正數的無窮大是負數嗎？

01-05

這是我看證明一個等比數列求和時想到的問題，原題證明如下圖（圖中第一個和式的下標標錯了）
書上說只有當 0&

極限的知識告訴我們，只要 A→1，這個 S 的極限就是無窮大。可是為什麼 A&>2 之後那些數也不行呢？
看回原求和式，明顯當 A&>2 時，級數和是無窮大，但看最後的推導式，A&>2 時，級數和為負，這是為什麼？

謝邀。真不應該邀我……我的職業病容易把人搞暈，前面幾個答案夠好了。

由於題主是學生，標準答案如下：

你目前所學的級數，定義為部分求和的極限，其前提是級數收斂。

沒有記錯的話，按你現在所學，「趨向於無窮」的正確表述是「發散」，但是用了「-&>oo」這個符號。

題目中的例子，只有 -1& 時才是收斂的，其餘時候級數發散，不存在極限，級數沒有定義。
既然沒有定義，那麼不論得出什麼結果，都沒有意義。
下面的答案不建議初學者閱讀：

題主觀察到的現象，是精彩的聯想，但是不建議在初學時太過異想天開。
數學概念的拓展也要基於嚴格的定義，不是直覺就夠的。
下面提到的概念，與題主正在學的內容，用詞相同，定義不同。
本題可能涉及兩個拓展：
拓展收斂的定義，我在這個問題 http://www.zhihu.com/question/19952889 里提到過，
那裡提到的兩個求和定義僅能使 A=-1 時有意義，級數值為 1/2。
更廣泛的拓展是歐拉的方法，拓展到 |A|&>1，級數值為 1/(1-A)。
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_summation
http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_4_%2B_8_%2B_%C2%B7_%C2%B7_%C2%B7
拓展實數的定義，將無窮大包括進去。這又有兩種方法：

雙點緊化，對實數作仿射延拓，
加入 +oo 和 -oo 兩個新元素 http://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line f(x)=1/x^2 在這樣的拓展下成為連續函數。
單點緊化，對實數作投影延拓，
加入 oo 這一個新元素 http://en.wikipedia.org/wiki/Real_projective_line f(x)=1/x 在這樣的拓展下成為連續函數。
後者即經常被人感覺到的 「正無窮等於負無窮」的嚴格數學表述。
在本題中，這個拓展僅能使 1/(1-A) 在 A=1 時有意義，級數值為 oo。

所以極限存在才能作減法，否則這種減法是錯的。

呵呵，樓主多慮了。。。

首先，把S用等比數列求和公式求出為
然後，把AS用等比數列求和公式求出為
接著，用S-SA，你會發現，其實S-SA的真實值是
所以，其實S的值是
一、當A大於0小於1時，A的n次趨於無窮小，可以忽略。
二、當A趨於1時，屬於0/0型，可以用洛比達法則將分子分母對A進行求導，結果是正無窮大。

三、當A大於1時，分子為負無窮，分母為負數，S為正無窮。
———————————————————————————————————————————
既然樓主不讓用求和公式，那通俗點說吧，假設S的最高次項是A的m次，那AS的最高次項肯定是m+1次項，而A的1次~A的m次項都是S與AS共有的，相減可以消去，所以S-SA 最後值是1-（A的m+1次項），而不單單是1

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