dy（微分）為什麼要這麼定義，為什麼要忽略高階無窮小量？

01-05

謝邀。教材上這麼引入微分概念是考慮到直觀的要求，犧牲了（相當的）嚴謹性。在數學上，我們並沒有「忽略」掉某些項的合法性；如果少掉一部分，自然就和原來的不是同一個對象了。所以，我們有必要說清楚，我們定義微分有什麼動機， $ext{d}$ 到底是什麼，它和 $Delta$ 又有什麼關係。

顧名思義， $ext{d}$ 是一個微分運算元。它的作用是把 $n$ 形式 $omega$ 映射到其 $n+1$ 形式 $ext{d}omega$ 上。關於什麼是 $n$ 形式，可以去看教科書，也可以看這裡：Differential Form

簡單來說，微分運算元把變數 $x,y$ 映射到兩個新的變數 $ext{d}x, ext{d}y$ 上。對於一個一般的從 $X$ 到 $Y$ 的映射 $f$ ，我們想將一些線性映射的性質「擴充」到 $f$ 上，以便於我們可以了解更多映射的性質。我們的思路是局部近似，也就是希望在定義域足夠小的範圍里， $f$ 和線性映射表現出相似的行為。在數學分析課程中，我們所做的就是考慮實數空間上的函數 $f：mathbb{R}^n o mathbb{R}^m$ ，並把這種操作具體化，嚴格化。現在你看一下定義，左半部分構造了一個線性函數，右邊一項體現了局部近似：當自變數的差趨近於零時，這種線性近似的誤差也趨近於零。

那麼，微分的概念能不能推廣到更一般的映射上去呢？我們發現，並不是所有映射都能夠這麼處理。首先，這種映射一定要近似於某種線性映射，其次我們要能夠在定義域上刻畫局部的概念。滿足這種條件的映射叫做 $C^p$ 映射，它們是定義在名為 $C^p$ 流形的集合間的映射。

或者說，映射 $f$ 、流形 $X,Y$ 滿足下圖交換。

$egin{array}{lcr} X supseteq U(x) stackrel{ au_x}{ ightarrow} T_x(X) \ quadquad downarrow scriptstyle{f} downarrow scriptstyle{T_xf} \ Y supseteq V(f(x)) stackrel{ au_{f(x)}}{ ightarrow} T_{f(x)}(Y) end{array}$

同時， ${T_xf}$ 是把 $x$ 附近的切空間 $T_x(X)$ 映射到 $f(x)$ 附近的切空間 $T_{f(x)}(Y)$ 的線性映射，又稱 $f$ 在 $x$ 點附近的導數。隨著 $x$ 的變化， $T_xf$ 也取不同的映射，所以又可以構造 $f$ 的導函數 $Tf:x mapsto T_xf$ 。

評論和 @Matrix 說的對。這裡dy 不是無窮小，而是一個dx的線性函數。dy=dy(dx)= y"*dx, dx是一個有限的普通實數。

首先

對於任意的Δx有

Δy=AΔx+ο(x)

也可以寫成

Δy-AΔx=ο(x)

當Δx→0時，顯然右邊=0，即

Δx→0時,Δy-AΔx=0 ①

我們把Δy→0時寫成dy

Δx→0時寫成dx

於是我們可以省略「Δx→0」把①中的過程寫成

dy-Adx=0

即

dy=Adx

除了dy=Adx外

還可以有dy=Bdu

其中du=Ndx

這樣子對於dy與du就等同於

對於函數y=f(x),以及u=Q(x)組成的複合函數

y=F(u)

當Δu→0時，得到兩個函數之間的微分

即Δy=BΔu

dy=Bdu

你這樣理解y在x0點的微分dy：

dy是在x0附近可以局部逼近y的線性函數

微分主要考慮y局部的線性性態。

上面這句話大概可以解釋題主的疑惑：

1. 為什麼dx無窮小？因為要考慮y局部的性態，既然是局部性態，那麼dx很小。

2. 為什麼不考慮dx的高階，只用dx刻畫dy？因為只考慮線性部分。

作為知識的延伸，下面講的內容可能有點過分。

一般來說，d是一個微分運算元，其作用在k-form上（至少是C1光滑類），得到一個(k+1)-form. 特別的，y是一個C1光滑的0-form，則dy是1-form，根據定義：dy=y"dx.

先直觀的來說：

如上圖，我們要求ab之間有曲邊的封閉圖形的面積，感覺無從下手，那我們畫出上圖的那些矩形，矩形的高是每個定點的f(x)值，底長隨便取，越小越好，所有小矩形面積加起來就接近原圖形的面積；底長越小，小矩形面積的和就越接近原圖形面積，底長取趨近於0的極限時，小矩形面積的和就等於原圖形面積了。我們把每一個小矩形叫做面積的一個微分，把所有微分加起來就是積分，取極限之後就是原圖形面積了。

每一個微分(小矩形)跟實際面積都相差上面那個曲邊三角形，這就是你說的那個捨棄掉的部分。

所以面積微分(小矩形面積)＝f(x)·dx dx就是小矩形底長

把微分思想擴展開來，

不局限於求曲邊圖形面積的問題，

進一步來看，微積分，就是把不可直接解決的非線性問題轉化為容易解決的線性問題的一個方法。

微分就是線性近似

積分就是累加

當然，最後還要取極限。

一元函數中，可微和可導是等價的。

而在你現在的學習來說，你只要清楚求導是個什麼東西就好，具體細節以及證明看一遍就好，高數和高中數學的學習方式還是不同的。初中那時我自學這一段，光看這個定義就已經讓我很懵逼了，但是學到後面回頭看看其實前面寫的並不是沒有道理。

你既然問為什麼這麼定義。首先，你需要了解：

$f=o(phi)$ means that $f/phi ightarrow0$

$f=o(Delta x)$

$frac{f}{Delta x}=frac{o(Delta x)}{Delta x} ightarrow0$

相信應該還有一個連續曲線的圖，derivative和differential coefficient的概念一般都是用幾何表現的，但是幾何表現和這些概念並沒有直接關係，一個函數的導數可以，也可以不用任何種類的幾何表現。根據公式

$f$

f也許有，或沒有一個導數，對於任何特定的x值，根據這個，極限可能存在也可能不存在。幾何曲線只是數學中表現導數概念的一種方式。連續函數的定義也並不受幾何表現的限制。樓主大可不必糾結於此，可以換一種方式來思考。具體可參考A Course of Pure Mathematics, G. H. Hardy, 10th ed.p190-192