關於ordered pair,有什麼簡化定義嗎?

如題，看了包括GTM001在內幾本書，用的都是Kuratowski的定義——&={{a},{a,b}}

感覺就像Halmos說的，這定義有點冗餘：我們並不想要 {a,b} in &這種不合直覺的性質

現代集合論有更好的定義方法嗎

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出自Halmos的naive set theory，主要想知道哪些理論解決了這個

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謝邀。

公理集合論的基本思路就是把所有數學對象都定義成集合。其實這種思路本身就是個很反直覺的思路，不單單是ordered pair被定義成了這樣一個奇怪的集合，連自然數的構造也是把自然數當成一個個集合，比如 然後映射也被定義成一個集合，本質上是被定義成了映射的圖像，也就是 ——當然我這種寫法肯定是不規範的，嚴格的定義比較繁瑣，大致是說 映射是一個ordered pair的集合，且滿足 x變數相同則y變數一定相同。

所以本質的事情在於你接不接受 所有的數學對象都被定義成集合 這種做法；至於ordered pair是被定義成{{a},{a,b}}或者{a,{a,b}}（我沒有仔細思考後面這種定義會不會導致潛在的問題）都無關緊要，反正都是一個奇怪的集合。。如果不能接受那也沒關係，大部分數學研究並不是真的需要集合論式的「追根溯源」式的思維方式，你只要能夠從直觀上理解 有序二元組 是個什麼東西就完全足夠了，畢竟數學哲學還是有直覺主義的流派嘛。

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如果你堅持常見對象是集合，那麼 (a, b) 總要導致一些奇奇怪怪的東西 in (a, b)。

再舉一個例子，用 cut（有理數的一個無下界、有上界且無最大值的子區間）定義實數導致有理數 1 不屬於實數 1，但有理數 0 屬於實數 1。

記住數學對象具有「類型」，不要混用它們，雖然集合論和定義並不賦予它們「類型」。

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"主要想知道哪些theories done了這個"

這句話讀得實在讓人難受。連"theory"的複數都想到了，寫個完整的中文句子就這麼難？

維基百科的詞條寫得很清楚：

Ordered pair - Wikipedia

其中Hausdorff 的定義也許不那麼「不合直覺」？

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直觀的講序對&，是現有{a}的基礎上給出了{a,b}，並不是單獨給出的{b}。所以{{a},{a,b}}定義序對&，和"序對"的直觀理解完全一致啊。

{a}∈{{a},{a,b}}

{a,b}∈{{a},{a,b}}

但是

{b}∽∈{{a},{a,b}}

這些性質都和直觀理解完全一致。而且這個定義應該說夠簡潔的了。

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以 @Yuhang Liu 提到的自然數的構造為例

0=? 直觀意思就是一無所有

1={?} 直觀意思是有一個"盒子 { }"，盒子里一無所有?。

2={?, {?}} 直觀意思是有兩個盒子{ { }}，但是為什麼不用{{?}}表示2呢，因為此時只表達了自然數的量，沒有表示出"序"的概念，就是先有?表示0，再有{?}表示1，然後才有{?, {?}}表示2。

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{a,{a,b}}

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