請問代數解析是什麼樣的領域？在幾何學方面有什麼應用嘛？

據我所知這個方向由Sato創立，Kashiwara發展。我想更進一步了解一下主要是用什麼樣的數學工具，研究的對象是什麼。以及想了解一下是否與幾何學有關，還有目前在這方面活躍的數學家。

代數分析就是用代數方法研究分析。起源是Hilbert 21st problem。當時他考慮punctured Riemann surface 上的Fuchs type equation的解。因為Riemann surface有puncture，所以sheaf of solutions有monodromy，它定義了 上的一個local system。Hilbert問：是否 上任何一個local system都是Fuchs type equation的sheaf of solutions？

不得不說Hilbert實在太牛逼了，眼光不是一般人能比的，居然在1900年那個時代提出了這種層次的數學問題，直接把分析和拓撲聯繫在一起。

後來人們開始研究並推廣這個問題。因為要把微分方程的解和sheaf聯繫起來，所以就要把分析sheaf化，這導致了 -module的概念。當然，這裡面經過了漫長的發展。很重要的觀念是derived category，粗略地說就是instead of sheaf，應該考慮complex of sheaves。這樣一來，不僅要keep track of兩個cohomologically被identify起來的sheaf，而且要keep track of identify它們的map（稱為quasi-isomorphism）。這導致了我們能keep track of更多的信息，同時在代數結構層面依然維持在一個相對容易研究的狀態。

假如 是複流形 上的bounded derived category of constructible sheaves，而 是bounded derived category of cohomologically regular holonomic -modules，那麼Riemann-Hilbert correspondence斷言存在equivalence

在這個equivalence下面， -modules對應到perverse sheaves。實際上，perverse sheaves就是所謂local system的推廣，或者說是singular local system。這一點從當時另一個興起的領域，intersection homology也可以得到類似的理解，但是Kyoto的代數分析學派的出發點應該是Riemann-Hilbert correspondence。

Intersection homology我感覺是另外一番味道，基本上是想把smooth algebraic variety上的結論推廣到singular case，比如hard Lefschetz。這裡還是要推薦白求恩在清華的講義：https://www.staff.science.uu.nl/~looij101/Topalgvar.pdf。

所以代數分析的想法是很自然的，因為要聯繫微分方程和代數拓撲，所以把方程代數化，變成sheaf來研究，這是最自然的觀點。這個方法近年來也被用到辛幾何上，是因為constructible sheaf的適用範圍很廣，並不是一個代數幾何的工具，可以在real manifold上研究它們。我想Kashiwara和Schapira在很早的時候就注意到了這些工具在辛幾何上可能的應用。最早想把cohomologically constructible sheaf relate到Fukaya category大概是有一些物理上的motivation，但是從幾何上看，real analytic manifold 上sheaf 的microlocal support 定義成 的non-propagation direction，因此它們是 里的Lagrangian subvariety。假如 是 中submanifold 的structure sheaf，那麼 就是over 的conormal bundle。因此，這些sheaf應該被看成Fukaya category里的object。雖然說多出來一些singular Lagrangian subvariety，但是Fukaya category從來就不是我們關心的對象，更好的代數對象是derived Fukaya category，中間有一個pass to triangulated closure的過程，因此可以期望那些singular的Lagrangian subvariety可以被寫成Fukaya category中objects的iterated mapping cone with degree shifts，也許還要pass to Karoubi closure，再split-off direct summands。

另外，在contact geometry上要研究Legendrian submanifolds的front projection，而這個front projection中往往存在cusp singularity和self-intersection，因此自然地就定義了一個stratification，這就是為什麼可以用sheaf來重新定義contact幾何上的一些重要不變數，比如Chekanov-Eliashberg dg algebra。假如Legendrian submanifold是1維或2維的，那麼我們可以完整地classify Legendrian front的singularity，所以Chekanov-Eliashberg algebra的計算就能完全變成組合數學。假如Legendrian submanifold大於等於3維，數學上已經證明分類singularity是不可能的，這時候sheaf approach應該能發揮作用。可惜的是，目前relate constructible sheaf和Chekanov-Eliashberg algebra的工作只對Legendrian knots進行過：Legendrian knots and constructible sheaves。我8月份要在Uppsala的summer school講這篇文章。下圖是Legendrian Hopf link的front projection。