怎麼通俗的理解有界閉集，緊集，列緊集？

01-05

怎麼將這幾個概念通俗的描述，他們之間有什麼區別，或者是有什麼幾何解釋？

在 $mathbb{R}^n$ 中，下面三個條件等價：

（1）和（2）的等價性叫Heine–Borel定理，有的書（比如Gamelin-Greene的Introduction to Topology）會把（3）也加進去。

在一般度量空間中，（2）和（3）的等價性依然成立，但是不再和（1）等價（例如無窮維Banach空間里的單位閉球）。與（1）相似且與（2）或（3）等價的條件是「完全有界且完備（totally bounded and complete）」。

在一般的拓撲空間里，（2）和（3）不再等價，（1）中「有界」這個概念沒有定義。

更多的細節可以參考上面提到的Gamelin-Greene的書第一章。

數學分析中講到：R中閉區間[a,b]上連續函數具有一些好的性質，比如有界、能取到最值、介值定理、連續等價於一致連續等。

那麼這些結論是怎麼推廣到泛函分析和拓撲學的呢？

1. 先推廣到n維歐氏空間R^n，(註：由於任何有限維n維空間都與R^n代數同構、拓撲同胚，也相當於推廣到有限維空間)

空間R^n上的連續函數(叫泛函)，也要具有那些好的性質，有界、最值可達、連續就一致連續等，需要把原來的閉區間[a,b]換成「有界+閉」集，就也可以保證。

2. 進一步推廣到無窮維Banach空間(完備賦范線性空間)，或更一般的距離空間

也想保證某類集合上的連續映射具有上述好的性質，這時候，因為空間的條件減弱了，對集合的要求只有「有界+閉"就不夠了，就得需要更強一點的條件，那就是列緊集(在距離空間與緊是等價的)

其實，列緊的定義就是任意無窮點列都有收斂子列，而這也是保證連續映射具有那些好的性質所需要的根本條件。為什麼有限維空間，"有界+閉"就能夠用，也是因為它已經能保證任意無窮點列都有收斂子列。

3. 進一步，列緊在拓撲空間不能這麼說的，因為拓撲空間里有的結構是拓撲結構，開集啊鄰域啊這些。好在，距離空間中自列緊(列緊+閉)，也有另一種等價描述：任意的開覆蓋都存在子覆蓋。這種描述才是緊集根本的，拓撲空間也適用，於是就推廣到拓撲空間中的緊集概念。

列緊集是指X中任意列有收斂子列收斂於X？那不就是緊的等價嗎

列緊 IFF 緊 =&> 有界閉

R^n中集合是緊集的充要條件就是它是一個有界閉集

緊集是拓撲概念。

列緊集和有界閉集是度量概念。

這三者的定義和關係可以參考拓撲學和泛函分析教材。

題主要通俗理解，想必也看到定義了，這裡只給出一些常用簡單結論。

列緊必有界。

有限維B*空間中有界必列緊（反過來有界必列緊的B*空間是有限維）。

度量空間中緊與自列緊等價。

列緊+閉=自列緊。

我舉個關於緊集的形象解釋吧：比如在天安門廣場上有無窮多個人正在看升旗儀式這時候天空突然下起了大雨，可是人群當中只有有限個人帶了雨傘，當他們把手中的雨傘撐開的時候驚奇的發現僅僅有限的幾把傘竟然可以為全廣場所有的人遮住雨，哈哈原來不必帶無窮把傘啊！

謝邀。

看標籤，那麼就在數學分析的角度上考慮吧。

列緊集這個概念沒見過，不說。

有界閉集和緊集在R^n中是等價的，也就是說沒必要做區分。可以把他們看成是同一事物的兩個方面。幾何直觀上看，在一個平面上隨便畫一條首尾相連的線，其內部連同邊界就是一個有界閉集。

另:如果要進一步去探索可以去翻閱rudin的《數學分析原理》，Munkres的《拓撲學》，Fleming的《多元函數》。

有界閉集就是既有界又是閉集。

緊集，怎麼個緊呢？拿開集去覆蓋，就只需要有限多個。換言之，每一點都找一個開領域，那麼只需要有限多個即可，其它的緊緊地圍繞在他們身邊。

列緊就是任意數列有子列收斂其中，字面理解就完了唄