光子自旋量子數為 1，但為什麼只存在 ±1 和兩種極化狀態，沒有 0 這種狀態？

01-05

光子自旋量子數為 1，根據角動量的理論，它應該存在三個方向的投影，1，0，-1，三個態之間相互正交，但實際中只有光子只存在兩種極化狀態，為什麼？沒有0這種狀態。
我聽說過兩種解釋，一種說是 0 這種狀態只存在於大量光子的統計結果中，一種說是因為光子靜質量為 0，限制了光子的自旋量子數分量不能為 0。請問誰知道有什麼文獻對這個有專門的解釋嗎？

簡單的來說，光子無靜質量，對於零質量的矢量粒子， $m_z$ 不再是一個好量子數，此時的一個好量子數是helicity，其本徵值為 $pm 1$ 。

再來胡亂的抄一波書

我們可以通過考慮卡西米爾算符的本徵值來給出龐加萊群的兩種不同的表示（當然還有其他表示）。

一、靜質量 $m e0$ 時

考慮 $P_mu P^mu$ 和 $W_mu W^mu$ ，其中 $W^mu$ 為Pauli-Lubanski四矢量。

前者的本徵值為 $m^2$ ，對於後者，我們找到靜止系（靜質量 $m eq 0$ 所以能夠找到）， $P^mu=(m,0,0,0)=P_mu$ ，有 $W_mu W^mu=-m^2S^kS^k$ ，其本徵值為 $-m^2s(s+1)$

此時群表示的基記為 $|m,s,P_i,s_3>$ ，對應不同的粒子態。其中 $s_3=-s,-s+1,...,+s$ ，即自旋為 $s$ 的有質量粒子有 $2s+1$ 個自旋自由度。

二、 $m=0$ 時

因為此時 $P_mu P^mu$ 和 $W_mu W^mu$ 的本徵值均為0，我們需要尋找新的洛倫茲不變數。

而這時我們注意到，在 $m=0$ 時， $W^mu=lambda P^mu$ ，顯然 $lambda$ 在proper orthochronous（這個對應中文叫個啥來著？適當正時？）洛倫茲變換下是不變的，事實上它就是粒子的自旋在其動量方向的投影——helicity.

$lambda=frac{W^0}{P^0}=-frac{1}{2}frac{varepsilon^{0ijk}P_iS_{jk}}{P_0}=-frac{P_i S^i}{P^0}=frac{vec{S}cdot vec{P}}{|vec{P}|}$

其值可以考慮繞 $vec{P}$ 的 $SO(2)$ 有限轉動算符 $exp[iphi vec{S}cdot vec{P}/|vec{P}|]$ ， $lambda$ 為 $frac{vec{S}cdot vec{P}}{|vec{P}|}$ 的本徵值，

故 $lambda=0,pmfrac{1}{2},pm 1,...$ 正負兩個值可以通過宇稱變換聯繫，因為 $frac{vec{S}cdot vec{P}}{|vec{P}|}$ 是贗標量。

$|lambda|=s$ 為粒子的自旋， $pm s$ 為自旋的兩個helicity值。

即自旋不為0的零質量粒子只有兩個自由度，表示的基記為 $|P_i,lambda=pm s>$

對於光子即 $|P_i,lambda=pm 1>$

簡而言之，有質量總能boost到相對靜止的系，出SO3，無質量的沒法boost到相對靜止，剩兩個橫向的空間軸（波波）

事實上各大qft教材對此都有很完整和嚴密的表述，不過我不大能簡短的將其表述，所以選擇了分享現在看到的這個思路。

應該是後一種解釋，因為光子的靜質量是零，所以只有±1兩個自旋量子數。通俗的說法是一個自由度被吃掉了。。具體可以查看各種量子場論教科書，應該都會有介紹。

通俗點的說法是光子是橫波，本來三維空間內應該有三個自由度的，但是光波是橫波，橫波條件約束了它：

實際的自由度只剩下了兩個。

有意思的是用經典電動力學也能算出這個結果，Jackson的《經典電動力學》就把這個問題當成一道習題拋給了讀者（Jackson的習題確實名不虛傳）：

質量不為零的粒子存在一個SU(2)代數。所有關係，包括自旋投影的個數來自於此。

質量為零的粒子不存在這個角動量代數，取而代之的是個E(2)代數。

評論指出了小群方法。其實可以直接構造算符，例如，對於帶質量的粒子，

$vec S = m^{-1}Big( P^0 vec J + vec K imes vec P - vec P frac{vec Jcdotvec P}{P^0+m}Big)$

可以證明， $vec S$ 的三個分量滿足角動量代數，並且 $vec S^2$ 是個洛倫茲不變數，其本徵值為粒子的自旋。注意上式中，帶有質量的倒數 $m^{-1}$ ，因此不適用於0質量粒子。

需要區分 $vec S$ 與角動量算符 $vec J$ ，後者永遠滿足角動量代數，但其本徵值不是粒子的自旋及其投影。

若引入泡利-魯班斯基矢量： $W^mu = -frac{1}{2}varepsilon^{mu u hosigma}P_ u J_{ hosigma}$ ，易得 $vec W = P^0vec J + vec K imes vec P$ ， $W^0 = vec P cdot vec J$ 。對有質量的粒子， $vec S = frac{1}{m}Big( vec W - vec P frac{W^0}{P^0+m} Big)$ .

$[S_i, S_j] = iepsilon_{ijk} S_k$ 。

對於沒有質量的粒子， $P^2 = 0, W^2=0, Pcdot W = 0$ 。因此，可以引入旋度 $h$ ： $W^mu = h P^mu$ 。0分量 $h = W^0/P^0 = vec Pcdotvec J / |vec P|$ 與尋常定義相符合; 空間分量 $vec W = hvec P$ 。因此，算符 $vec S = frac{1}{m}Big(vec W - vec P frac{W^0}{P^0+m}Big) = frac{1}{m}Big(vec W - h vec P) = frac{0}{0}$ 沒有定義。

參考Weinberg I第二章，0質量粒子只有helicity，即自旋的z分量。

這裡的核心內容無非就是龐加萊群universal cover關於相應little group的誘導表示，我們可以藉此對單粒子態進行分類。當然物理概念上要注意m=0粒子的helicity與一般粒子自旋的區別。

不啰嗦了，

這本書安利給題主，這是我見過寫的最詳細的了。

因為度規的跡是2

t分量（標量光子）的-1和z分量（縱波光子）的1抵消了