粒子的自旋數是怎麼得出來的，為什麼有些是1/2，有些是1，2？可以用對稱性求出來嗎？

01-05

謝邀

在場論中，認為場是更基本的物理量，而粒子是場的激發態。所以知道了場的性質，在此基礎上進行正則量子化就可以得到粒子的性質。這裡我們針對於場來說明自旋這個概念是怎麼出現的。

所謂自旋是內稟屬性，或者說自旋是時空的性質這種說法本身是對的，但是對於應用是沒有什麼意義的。

區分不同類型的場的關鍵依據是看場在洛倫茲變換下如何變化，比如標量場 $phi$ , 矢量場 $A$ 等。場是依據於洛倫茲群的表示進行變化的，我們看有多少種類型的場，則只需要找出可以存在多少不同的洛倫茲群的表示就行。

首先我們知道，洛倫茲群是一個矩陣，所以它本身就構成自身的一個表示，依據這種表示的場是矢量場。依據生成元的形式，我們還可以寫成 $Lambda=exp(frac{1}{2}Omega_{ hosigma}M^{ hosigma})$ , $M^{ hosigma}$ 本身構成一個洛倫茲李代數，或者叫做無窮小生成元，這個是很容易通過無窮小轉動和無窮小boost求得的。（ $Omega$ 只是普通的六個數。）

但是除了這個表示，物理學家們還找出了另外一種表示，它的無窮小生成元也滿足洛倫茲李代數，無窮小生成元有如下形式 $S^{ hosigma}=frac{1}{4}[gamma^{ ho},gamma^{sigma}]$ , 不難根據 $gamma$ 矩陣的性質推的 $S^{ hosigma}$ 也滿足洛倫茲代數，並且是和 $M^{ hosigma}$ 不同的。可以依據此構造表示 $S[Lambda]=exp(frac{1}{2}Omega_{ hosigma}S^{ hosigma})$ . 依據這種變換關係的場 $Psi$ 叫做旋量場。

我們說自旋是一種角動量的意思是，角動量是和空間旋轉不變性相對應的守恆流。

因為場在洛倫茲變換下也發生了變化，而不僅僅是坐標發生變化（對應標量場），所以無窮小形式的場的變化也要多出一項，所以在洛倫茲變換之後，根據諾特爾定理推守恆量那一套，這時相應的守恆量就可以變成 $(J^{mu})^{ hosigma}=x^{sigma}T^{mu ho}-x^{ ho}T^{musigma}-iar{Psi}gamma^{mu}S^{ hosigma}Psi$ 。相比於標量場，後面的那一項就是表示的自旋。

這是場出現的自旋角動量密度，之所以說它是內稟的性質，是因為這一項完全是由於場的變換性質而來的而不依賴於時空坐標的變換。就像global對稱性，也就是說是描述場的變換而不是背景時空的變換。

如果對場進行量子化自然的給出自旋為1/2的粒子。

這一套在場論里已經被廣泛接受，是最基礎的問題。關於細節，這裡介紹的可能不夠，題主需要看場論書補一下完全搞懂。

實驗上來說，主要看有幾個自旋態。比如有人提到的Stern-Gerlach實驗。

理論上來說，粒子自旋是從Lorentz群的表示中自然湧現出來的。所有不改變粒子動量的Lorentz變換操作，構成Lorentz群的小群（little group），它的不同表示對應了粒子的不同自旋。

對於有質量粒子來說，小群是 $SO(3)$ ，於是有各種表示和覆蓋表示。對於無質量粒子來說，小群是 $ISO(2)$ ，於是有螺度。

這就是所謂的Wigner classification。這種分類方法好在不用對粒子的「本質」做出假設，只要存在洛倫茲不變性，就可以用這種方法來定義粒子。

不請自來。

為了避免一些人產生「自旋只是物理學家們故弄玄虛整出來的東西」這種錯誤的印象，我想我有必要介紹一個關於自旋的實驗。

粒子因為自旋會產生很多影響，比方說粒子會有一個自旋角動量，又比如一些粒子會因為自旋而產生磁矩。但粒子自旋為1/2還有一層意思：一個粒子要轉兩圈才能恢復到原來的狀態，反映到波函數上，粒子轉一圈之後，波函數的相位會與原來的正好相反，只有轉兩圈波函數才能徹底恢復原狀。

直接測量波函數的相位當然不可能，但是我們可以測量相位差，如果人們能夠操縱粒子，讓自旋為1/2的粒子分別轉一圈和分別轉兩圈，再讓它們和原來的波函數疊加，會發生什麼現象？

就像托馬斯·楊的雙峰干涉實驗一樣，相位差不同的兩束波疊加在一起會發生干涉現象。這樣的話，通過干涉條紋的分布，我們就可以計算出相位差，也就可以證明粒子自旋確實是1/2了。

那麼剩下的唯一問題就是：如何操縱粒子轉圈？這不是什麼難事兒，前面已經說過了，粒子有磁矩，通過加上一個磁場讓粒子轉圈並不困難。

這個實驗，叫做「中子干涉」實驗，實驗的結果與量子力學的預測完全一致：中子轉一圈之後，波函數的相位與原來完全相反，兩束波疊加在一起會互相抵消；只有讓中子轉兩圈之後，波函數的相位才會恢復原狀，兩束波疊加在一切會大大增強。這就證明了中子的自旋，確確實實是1/2。

不請自來，因為看到熟人了；以及......我曾經也為這個問題困擾很久......

不知道我曾經的問題是不是與答主一樣，很早我就知道自旋這個東西是和群表示有關係的，但是仍然看不出來1/2這個數字是從哪裡來的。其實這個問題非常簡單，非常非常簡單。以下具體的數學來源可以簡要參考Birrell＆Davis(1982)

自旋的主要來源是O(1,3)群的群表示。可以證明O(1,3)群有一個二對一的泛覆蓋群SU(2) $imes$ SU(2)，前後兩個群的群元互相之間對易，而自身形成類似於角動量的對易關係，於是我們就叫它角動量了。

具體一點說（開始上數學了），我們現在有平動生成元 $K_i$ 和轉動生成元 $J_i$ ，它們可以共同構成O(1,3)的生成元，然後定義

$A_i=frac{1}{2}(J_i+mathrm{i}K_i)$

$B_i=frac{1}{2}(J_i-mathrm{i}K_i)$

然後我們發現 $A^2$ 和 $B^2$ 的本徵值有pattern $a(a+1)$ 其中 $a$ 是一個半整數。然後我們就用 $A^2$ 和 $B^2$ 的本徵值來label這些表示，就像 $(a,b)$ ，其中 $a$ 是 $A^2$ 的本徵值， $b$ 是 $B^2$ 的本徵值。

下面重點來了

如果表示是 $(0,0)$ ，也即這個表示空間裡面的元素在任何O(1,3)作用下均不變，則它是標量。那麼它的自旋是多少呢？我們就要做一個簡單的加法，把括弧里的兩個數字加起來得到0，於是它的自旋是0

如果表示是 $(0,frac{1}{2})$ 或者 $(frac{1}{2},0)$ 或者 $(frac{1}{2},0)oplus (0,frac{1}{2})$ ，則它是旋量。同樣的方法，我們把括弧里的加起來發現得到1/2，於是它的自旋是1/2

如果表示是 $(frac{1}{2},frac{1}{2})$ ，則它是矢量。同樣的方法，我們把括弧里的加起來發現得到1，於是自旋是1

你可以想像當我得知原來自旋的計算方法就是加法的時候，我的表情。。。

當然實際情況並不是這麼簡單，自旋這個數字還可以反映在很多其它方面，就不細講了。我的回答向來沒有人贊，要是過了50，我就接著寫一些關於「為什麼自旋為1/2的旋量是要轉兩圈才可以復原」這個在霍金的書里出現過的神奇結論。

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3月31日更新

好吧，真的過50了，受寵若驚。。。

那我就繼續寫了。其實評論里已經有人含蓄地點出來了。。。

我們拿最簡單的左手旋量來舉例，右手旋量和狄拉克旋量也可以類似處理。解釋一下，所謂左手旋量其實指的就是 $(frac{1}{2},0)$ 表示下的旋量，右手就是 $(0,frac{1}{2})$ ，狄拉克就是 $(frac{1}{2},0)oplus (0,frac{1}{2})$

好，我們著重看左手旋量。在 $(frac{1}{2},0)$ 表示下，我們在泡利表象下寫出上面定義的兩個算符

$A_i=frac{1}{2}mathrm{i}sigma_i$

$B_i=0$

其中 $sigma_i$ 就是著名的泡利矩陣。然後我們反解出

$J_i=frac{1}{2}mathrm{i}sigma_i$

$K_i=frac{1}{2}sigma_i$

現在我們關心的是轉動，也就是以 $J_i$ 為生成元的轉動群。這個群的群元可以由指數映射生成，也就是

$mathrm{Exp}{frac{1}{2}mathrm{i}sigma_i heta^i}=mathrm{Exp}{mathrm{i}sigma_ifrac{ heta^i}{2}}$

其中 $heta^i$ 是三個角度參數。這個時候有意思的情況出現了。我們發現角度參數下面出現的一個除以2，這就意味著如果這個參數是 $2pi$ （所謂的一圈），那麼其實在這個argument只相當於 $pi$ ，而只有當這個角度是 $4pi$ 的時候（所謂的兩圈），才會在argument裡面產生 $2pi$ 變化，也即所謂的復原。

（上面那個東西要是不好理解就想像成 $e^{mathrm{i}frac{ heta}{2}}$ 吧，雖然嚴格糾結起來是有差別的，會差一個SO(3)和SU(2)的李代數之間的一個同構映射）

也可以用相同的思路論證自旋為1的粒子轉一圈就復原。

最後引用著名的周彬教授的兩句話：

「李群李代數這種東西，博大精深，是我開多少學期的課都講不完的。」

「現在的理論學家啊，李群李代數玩得越好，水平就越高；像Witten那類人啊，就屬於特別會玩李群李代數的。」

再附一個參考文獻：http://arxiv.org/abs/hep-ph/0410370v2

是從時空的對稱性中得到的。確切的說是因為時空的對稱群的拓撲結構，而不是代數結構，因為 ladder operator 那套方法是不能處理 massless particle 的。

可以驗證 Poincaré 群的基本群為 $mathbb{Z}_2$ ，所以「轉兩圈」在 Poincaré 群里對應的那個路徑是平凡的。此外可以證明產生的 phase factor $U(Lambda)U(ar{Lambda})=e^{i heta(Lambda,arLambda)}U(LambdaarLambda)$ 只依賴於路徑的 homotopy class，所以轉兩圈這個操作不能產生額外的 phase factor，也就是說 $e^{4pisigma i}=1$ ，那麼自旋就只能是半整數的倍數。

最後，似乎這個問題和場沒有關係，畢竟只是問了單粒子態的自旋，而沒有問為什麼只有 boson fermion。

註：相關證明見 Weinberg, The Quantum Theory of Fields, vol. 1 里 Ch 2.7 和同一章的附錄 B。

除了其他幾位答主提到的實驗和場論對自旋的量子化，我想提供另一個視角供大家參考--自旋的路徑積分量子化。

我覺得劍橋的Simons對這個問題的闡述很清晰，大家如果有他的Condensed Matter Field Theory的話，那麼請看134-142頁Path Integral For Spin。如果沒有的話，可以看他掛在個人主頁的Lecture Notes(http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~bds10/tp3/pi.ps)的103-110頁。我相信當你看到最後的時候，很可能也會和我當時一樣，覺得自旋的路徑積分量子化得到的物理圖像很直觀（可以結合電磁學來較為直觀地理解自旋，我覺得很棒）。

文小剛的quantum field theory of many-body systems的section 2.3.1 quantum spin對此也有闡釋。

這完全是一個粒子的問題，可以避開場的概念，原則上就是量子力學中，一個靜止粒子所處的態在空間轉動操作下的變化，也就是SO(3)群的投影表示。相對論的，非相對論的都可以這麼理解

粒子自旋是實驗測出來的。

對稱性只能確定粒子的自旋屬於哪個李代數的表示，即，告訴我們該粒子的自旋屬於哪個Weyl Chamber.

靠實驗來確定粒子自旋對應該表示裡面的highest weight state。

前面已經有人說的很專業了，我就不複製公式定理，我也說兩句。

問題是「粒子的自旋數為啥是1/2？」，你也可以問「自旋數是1/2是啥粒子？」，其實這兩個問題完全等價。一般人一談到自旋就自動腦補出一個粒子跟陀螺一樣旋轉的圖像來，實際上這種腦補是完全錯誤，先不管什麼李群李代數，群論只是描述工具，理解自旋先要把原先把那種直覺類比的思維丟棄，用事件和拓撲的方式去思考，自旋只是一種事件，你可以叫他A事件或貓事件，狗事件隨便你，然後再根據這種事件來構建物理圖像，而不是反著來。

大家說了很多了，我補充一點，推薦起點低（本科水平）的系統講述Poincare群、Lorentz群的物理書：Physics from Symmetry

附上相關目錄：

已有的兩個回答答非所問，這個問題涉及到3+1維時空洛倫茲群的表示和3+1維時空的拓撲結構。

有時間再填坑

你可以wikipedia Stern-Gerlach experiment，通過測磁矩測電子自旋

很多人用了更複雜的數學描述了你說的現象。

簡單地說，實驗發現的事實就是這樣，而理論物理學家找到了一套數學描述而已。

我們只是描述，不是在解釋。

不好意思求摺疊... 但是我還是在看到這個問題的一瞬間無法控制的想起了穿著小內內光著腿，奮力吶喊的Sheldon...

"Ask me, go ahead, ASK ME!!!!"

Cohomology.

如何證明在3+1維中自洽的（二次）量子化方法只有採用對易關係與反對易關係兩種？ - 物理學

請參考以上問題的回答。上面問題的回答里包含了對題主問題的場論解釋。

莫比烏斯帶

1.有spin one half是因為，測有些粒子，在旋轉一周後總會差一個相角。

2.求所有可能的spin，用ladder operator求出所有eigenvalue，把eigenvalue最小的eigenstate向下爬再向上爬和把eigenvalue最大的eigenstate向上爬再向下爬都是零相等，通過常識捨棄minimal eigenvalue大於maximal eigenvalue的情況，得出這些可能的自旋數。

我可能還是太渣了，不太明白為什麼這個會涉及到場論。我也不懂場論。繼續學習。

這張圖讓我茅塞頓開，我不懂數學公式，但是最起碼不再糾結於怎麼會有自旋1/2的事物了，還是非常直觀和形象的，適合我這種渣渣

三維空間轉動群，通過構造角量子數的上升下降算符，通過對易關係運算即可得到：

L^2=n(n+1),with n=0，1/2,1,3/2…