為什麼慣性質量不是張量?

01-05

換言之，為何某一方向的力一定產生該方向的加速度，而不是如角速度與角動量之間的關係
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鑒於下面的答案都開始糾結張量了，我把問題verify一下
題目中「不是張量」應該重新表述為「為一個對角矩陣且對角各元相等的張量」
另外原來的「為何某一方向上的力一定產生該方向的加速度」可能引起歧義並且不易於比較，現在改為如下

為什麼沿某一方向的動量嚴格地正比於該方向上的速度，且對於三個方向該比例常數相同
這個命題與問題題目等價，但與關於加速度和力的命題不等價（考慮了相對論情況）
在清楚一點就是對比轉動：Lj=Jjiwi，為何沒有pj=mjivi（抱歉手機碼字）
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ps。題主非物理專業，數學功底不紮實，希望答的時候能考慮一下用較「物理圖像」的方法來闡釋
謝謝啦～

先賣個萌：誰說加速度方向一定和力的方向相同呢？想想相對論動力學。

分割線線線線線

我們還是回到非相對論經典力學。

誰說質量不是張量的？

張量是什麼？就是多線性映射嘛。

F=ma里，F是餘切向量，a是切向量，m顯然應該是一個（0，2）型張量。

然後因為是歐式空間，我們的m是度規張量的倍數。（這個原因應該是各向同性）而默認歐式空間和它的對偶空間已經用度規等同起來了，所以我們只需要寫出質量張量是度規的多少倍就行了。所以質量就變成了數。

以上內容可以參考齊民友《重溫微積分》。

大一新生，自然沒有各位大神強，試圖答一下，有問題煩請各位客官在評論中提出。大量觀點來自於書本。

我第一次接觸到張量（tensor）這一概念的科普時，就是從牛頓第二定律的反自然推廣得到的。也就是說我們把 $vec F=mvec a$ 推廣成矩陣的形式，將它從單純的數乘上升到線性變換的高度，也就是寫成 $vec F=widetilde{M} vec a$ 其中 $widetilde{M}=egin{pmatrix} m 0 0 \ 0 m 0 \ 0 0 m end{pmatrix}$

值得注意的是，牛頓第二定律是在慣性系中成立的，朗道對於這一系的描述是這樣的：

似乎存在一個參考系，在這中間，空間是各向均勻的。

那麼我們就可以假設，在某個空間內，時空各項均勻不成立。那麼這時候 $widetilde{M}=egin{pmatrix} m _{x}0 0 \ 0 m_{y} 0 \ 0 0 m_{z} end{pmatrix}$

即這個時候在各個方向上力所產生的效果不同。

空間還有一個特性，也就是各向獨立性，每個方向上牛頓第二定律都單獨成立，如果這個時候這一特性也被打破，那麼慣性張量會顯的更複雜。

$widetilde{M}=egin{pmatrix} m _{xx}m _{xy} m _{xz} \ m _{yx} m_{yy} m _{yz} \ m _{zx} m _{zy} m_{zz} end{pmatrix}$

在這個情況下，各個方向上的牛頓第二定理將不再單獨成立，一個方向上的力會在另一個方向上產生影響。

這只是高中生的牛頓第二定律的形式。如果慣性質量是張量，那麼動量也會被相應地改寫，以此類推。（其實我很好奇在這種定義下動能該怎麼定義，此時會有 $Fcdot ds=d(widetilde{M} v)/dtcdot ds=v cdot (widetilde{M}dv)$ ，哪位大神回答一下）

當然，為什麼這一切最後沒有發生。

馬赫在他的《力學史評》一書中提出

任何物理學定理，在思維上應當都是最經濟的。

在這種定義下，物理學中有三個非常著名的對稱性。

空間平移對稱性
空間旋轉對稱性
時間平移對稱性

在這種假定之下，我們做出幾個最基本的假設

在某個坐標系下，各向同性，也就是拉格朗日函數並不依賴於質點的位矢方向和速度方向，即拉氏量 $Lsim vec v ^2 sim v^2$ 。又由時空的對稱性，L不應該是r以及t的函數。所以有 $delta int L(dot r ) =0Rightarrow frac{d}{dt} frac{partial L}{partial vec v}=0$

以上就是我們所謂的慣性定律。

考慮無窮小速度 $epsilon$ , $v$ ，因為空間的對稱性，拉氏量在每個空間中都應當成立。所以有 $L$ ，這是一個時間的全導數當且僅當 $Lsim v^2$

我們把這個比例係數稱之為m/2。

在我們的推導中，並沒有指明某一個方向，或者某一個時間段，它是由時空的對稱性推出的一項普適的規律。而m僅作為這個微分方程的一般解的係數，通過邊界條件來確定。此時並沒有張量意義。

如果我們僅從牛頓第二定律出發，通過空間的旋轉對稱性以及平移對稱性也可以得到相同的結果。

事實上，空間平移對稱性與動量守恆有關，空間旋轉對稱性與角動量守恆有關，時間平移對稱性與能量守恆有關。

參考文獻：

1.馬赫，力學及其發展的批判歷史概論，商務印書館，2014

2.landau，力學，高等教育出版社，2007

3.趙凱華、羅蔚菌，新概念物理學教程：力學，高等教育出版社，2002

這和張量沒關係…

可能和空間各向同性有關…

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更新一下…

質量本身是不是高於零階的張量客觀事實已經給定了，作為一個客觀的物理量，質量必然是張量，事實上客觀的物理量都應該是張量，所以問題不在於質量是不是張量。

空間各向同性是指，如果你的力作用在這個質點上，那麼力的方向已知，考慮到除了沿著力的方向外，其餘方向都不具有特殊性，那麼力作用導致的加速度應該沿著力的方向。

首先我想說，物理是解釋自然規律的的科學，不是數學，和你數學功底扎不紮實無關

你可以定義慣性質量為標量，也可以定義它是張量。可惜它的對角項都是相等的，非對角項都是零，這些事實都是建立在無數實驗觀察和測量上，而且經歷了幾百年的考驗，證明在低速的平直空間是正確的。這種物理規律的證明不是數學證明，只要在特定條件下的自然界里一個反例都沒有就是證明。

一個標量是零階張量.........

張量，標量，矢量難道不是與某種變換對應的嗎？那就該問為什麼在經典力學的加利略變換下慣性質量是不變數？似乎只是由物理規律得到的結論。。。因為質量並不是坐標的函數，加利略變換下當然不變，即標量。所以問題等價於：為什麼經典力學裡慣性質量與坐標無關？恩，這是個好問題。。。

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補充：其實如果深究的話，可以說沒有任何一個答案回答了問題，都只是說各向同性，但為什麼各向同性？其實我們恰恰忘了最根本的一點：物理是一門實驗學科，再高深炫酷的數學也只是為了對實驗結果進行描述。如果想僅在數學上得到一些比較根本性問題的答案，只能說是誤入歧途，毫無意義。注意不論是相對論或是量子力學或是更艱深的理論，它們的建立無不基於實驗的物理的假設，隨後才是數學演繹以及由數學得到的結論與解釋。忽略了實驗基礎與理論假設去探討數學是不對的。說到底，只是因為世界就是如此，大家都看到了。

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想想還真是的，偏偏大家都喜歡「張量」這種「高深」的技巧，推不明白了就求助於哲學，總之顯得厲害就對了。反正我是沒見過向前扔個球球打到我自己的情況。就像大躍進時期的浮誇風，賣弄風，玄虛風。