請問結構動力學中常說的一階和二階，三階頻率或振型等是什麼關係？
請問結構動力學中常說的一階和二階，三階頻率或振型等是什麼關係，是按時間的發展1、2、3按順序發生的嗎，還有常說的某某不能忽略高階振型的貢獻，是什麼意思，計算我知道，就是不能理解內涵。
這個問題還得從最簡單的一自由度質量-彈簧系統的自由振動說起，在結構動力學中我們知道一自由的質量-彈簧系統的固有頻率為:
w=sqrt(k/m)(用手機碼的，看的懂的我就不解釋了，看不懂也懶得解釋了。)如果質量塊被移動後在釋放的話，其將以這個頻率振動。若在質量塊上施加一個同等頻率的動載荷，質量塊運動的位移幅值將會劇烈增加，這種現象即為共振。
科普完了，所以為什麼要講上邊這些大家都可以理解的廢話呢？因為實際結構的自由度一般都大於一，因此在實際結構中也便存在大量的固有頻率。那麼問題來了，我們該如何計算這些實際結構的固有頻率呢?目前在有限元方法中常用的方法是通過考慮非載入結構的動態響應來確定系統的固有頻率，在動力學方程: Mu""+I-P=0中令P=0，則運動方程變為： Mu」+I=0對於無阻尼系統，則有I=Ku，因此： Mu」+Ku=0而這個方程的解具有如下形式： u=?*exp(iwt)將此式代入運動方程，便可以得到特徵值問題：K?=lamda*M?
其中lamda=w^2如果系統具有n個特徵值，其中n也表示有限元模型的自由度個數。若記lamda(j)為第j個特徵值，則w(j)是結構的第j階模態的固有頻率，?(j)則為相應的第j階特徵值向量，而特徵值向量也就是所謂的模態，有時我們也稱之為振型，其表示結構以第幾階模態振動的變形形狀。如果題主對有限元軟體比較熟悉的話，可以直觀感受下不同模態之間振型的差異。總的來說系統有多少個自由度就對應有多少階振型，此為系統的固有屬性，與振動時間神馬的並沒有多大關係。坐在洗手間馬桶上碼的字，有些公式看不懂的話我回去再換符號。------------------更新線---------------之前提到系統有多少個自由度就對應有多少階振型，現在的問題是這些振型之間有何關係以及不同振型對結構又有何影響，在有限元軟體中如果對結構進行模態分析的話是可以提取結構的各個振型以及振型參與係數(participation factor)的，振型參數則可以反映各階振型在具體哪個自由度上起主導作用，某個特定的自由度方向上是各階振型綜合作用的結果，其中有些振型起主導作用，而有些振型的作用在實際的計算中則可以忽略不計。一般來說提取的振型越多，後續的動力學分析的計算結果就越精確，但代價是計算資源也越多，我猜題主提到的有時在計算時某些高階振型往往不能忽略的情況是所研究的實際問題中恰好是某些高階振型在所關注的自由度上起主導作用，在這種情況下高階振型是不能忽略的，而在一般的工程計算中為了保證計算精度和計算效率，一般要求各個方向上的有效質量達到模型總質量的90%以上即可，提取的模態越多有效質量約接近模型總質量，計算結果也更加精確，但代價是消耗的計算資源更多，具體視實際情況而定。利益相關：CAE大法好。練拳不練功，等於一場空。建議買本結構力學教材讀讀相關章節（推薦同濟朱慈勉老師的《結構力學》）。
如沒耐心看公式的，請直接讀最後一段。
首先說系統的自振頻率。
有一個n自由度的系統，描述其自由振動的動平衡方程如下。此時系統既沒有阻尼（能量耗散）也沒有外荷載的激勵。
式中 m 和 k 分別為系統的質量和剛度矩陣（n×n），v""(t) 和 v(t) 分別為各自由度總的加速度與位移坐標向量（n×1），0為零向量（n×1），對應自由振動沒有外荷載激勵。動力學裡假設自由振動是簡諧的，那麼總 / 廣義位移向量v(t)可以寫成：
其中向量 v^ 為系統 n 個自由度在振動時的振幅，振幅是常數，是不隨時間變化的，它描述了系統振動時總位移響應的「形狀」。ω是系統的自振頻率，θ是各自由度的初相角。由於 v(t) 是時間函數，對其求二階導數後可得 v""(t)，即：
將 v(t) 和 v""(t) 表達式代入動平衡方程，化簡後可得系統的特徵值方程：
在數學上，要使得以上方程有非平凡解（即非零解，振幅向量v^全為0的話問題本身就失去意義了），矩陣 [k-ω^2*m] 的行列式必須等於0，即：
把上式的行列式展開，其結果為一個N次ω^2的多項式。求出它的n個根（又稱特徵值）並進行由低到高的排列後，ω1、ω2、...、ωn，即為系統由低階到高階（「由柔到剛」）的自振角頻率。
現在來看振型。
前面說 v(t) 是該系統振動時總的位移坐標向量。利用線性疊加原理，它可以分解成n個相互獨立的振型。反過來說，n個相互獨立的振型也可以通過線性疊加形成系統總的位移向量。振型是不隨時間變化的，它表明某階自振模態下，系統振動的「形狀」。
假設以下懸臂樑體系只有三個水平自由度（忽略三個節點的豎向及扭轉自由度），那麼 v(t) 可以分解成下圖所示的三個振型，φ1、φ2和φ3（又稱特徵 / 模態 / 振型向量）。此時，自由度數即為質點數。
質點1、2、3的總位移坐標v1(t)、v2(t)、v3(t)可通過線性疊加原理表達為：
由此可見，系統振動時的總響應可由不同振型組合、疊加而成的。
好比你的基因里有你爸的，也有你媽的。你爸是第一振型，你媽是第二振型。往上看，還有爺爺、奶奶，外公、外婆的等等。他們的基因在你基因中所佔的「權重」是不一樣的。好比在此例中，振形φ1、φ2和φ3在總響應v(t)中的「權重」分別是Y1(t)、Y2(t)和Y3(t)一樣。
現在來看某階振形的貢獻。
以有阻尼的多自由度體系的受迫振動為例，其動平衡方程為：
相較於無阻尼自由振動，此時系統多了阻尼（矩陣C）和質點荷載向量p(t)。
此時，總位移坐標向量v(t)仍表示為n個振型的線性疊加，即：
對上式求導可得速度向量v"(t)、加速度向量v""(t)，先將它們帶入動平衡方程，再將兩邊同乘以振型矩陣的轉置矩陣，並利用振型正交性原理，可得到n個解耦（互相之間沒有聯繫）的、單自由度的二階常係數微分方程。其中第 k 個方程描述了結構第 k 階、單自由度振動，即：
這n個獨立的微分方程既可以頻域求解（傅里葉變換法）也可以時域求解（杜哈梅積分、時域逐步積分），殊途同歸的是，你最終會求得Y1(t)、Y2(t)、...、Yn(t)。再次通過線性疊加原理可最終得到系統總的位移坐標向量v(t)。
上式中的 ξn 是系統第 n 階振動的模態阻尼比，它是隨自振頻率ωn單調增大的。以高層建築為例，這種增大趨勢是因為對於高階 / 頻振動，非結構單元（填充牆、幕牆等）對結構總阻尼的貢獻越來越大。需要說明的是模態阻尼只是為了計算模型的而引入的一種概念/手段，用它來近似模擬結構中未知的非線性能量耗損。但它並不是結構的實際屬性，它甚至違反了動力平衡原理。
下圖描述了一單自由度、質量-彈簧-阻尼系統在時刻t=0受到單位衝量 / 錘擊後，在不同模態阻尼比（5%、20%、80%）下的位移響應變化。可以看到：系統對於相同激勵，隨著一階模態阻尼比的增大，系統的振蕩衰減得更快，振幅更低，每周期耗散的能量也越大（結構儲存的應變能與位移的平方呈正比）。
由於系統各階振動的廣義質量、廣義剛度、模態阻尼比和廣義荷載都是不一樣的，系統的總響應中，來自每個模態的「貢獻量」都是不一樣的。對於高階模態，當來自它們的貢獻已足夠小時就可以忽略。
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最後說說對於建築結構，為什麼高階模態的響應通常可以忽略。
首先，不論是風還是地震，雖然在時域里看，激勵看似雜亂無章（如一條地震波或風力時程），但它們都有自己的卓越周期。對時域信號進行離散傅氏變換/頻譜分析後，就可以清楚地知道它們的頻率構成情況。比如在哪些頻段，激勵的諧波成分是重要的，哪些頻段是不重要的甚至是可忽略的。
另一方面，結構都有自己的自振頻率。在自振頻率上，一個很小的激勵輸入就可以引起很大幅度的振動（共振）。在其他頻率上，激勵經過系統的傳遞是減小的。而在高頻段，模態阻尼比已經足夠大（從時域角度上講），系統復頻響函數*（又稱傳遞函數）的模已經足夠小（從頻域角度上講），以至於在該頻段下，系統產生的輸出量在總響應里所佔的比例已經非常小。此時，我們就會說來自結構的高階響應可以忽略。
注*：頻響函數H(ω)為複函數，其絕對值|H(ω)|等於系統進入穩態振動後，響應與激勵的振幅比。
其實你問的問題就是模態分析，嘗試引用他人文章回答一下（我看過比較通俗的解釋之一），侵刪98.02????????????????--------------------------------分割線---------------------------------------你不是第一個要求我用通俗易懂的語言解釋模態分析的人，這樣一來，任何人都能明白模態分析到底是怎樣一個過程。簡單地說，模態分析是根據用結構的固有特徵，包括頻率、阻尼和模態振型，這些動力學屬性去描述結構的過程。那只是一句總結性的語言，現在讓我來解釋模態分析到底是怎樣的一個過程。不涉及太多的技術方面的知識，我經常用一塊平板的振動模式來簡單地解釋模態分析。這個解釋過程對於那些振動和模態分析的新手們通常是有用的。
時域數據提供了非常有用的信息，但是如果用快速傅立葉變換（FFT）將時域數據轉換到頻域，可以計算出所謂的頻響函數（FRF）。這個函數有一些非常有趣的信息值得關註：注意到頻響函數的峰值出現在系統的共振頻率處，注意到頻響函數的這些峰出現在觀測到的時域響應信號的幅值達到最大時刻的頻率處。
如果我們將頻響函數疊加在時域波形之上，會發現時域波形幅值達到最大值時的激勵力振動頻率等於頻響函數峰值處的頻率。因此可以看出，既可以使用時域信號確定系統的固有頻率，也可以使用頻響函數確定這些固有頻率。顯然，頻響函數更易於估計系統的固有頻率。
許多人驚奇結構怎麼會有這些固有特徵，而更讓人驚奇的是在不同的固有頻率處，結構呈現的變形模式也不同，且這些變形模式依賴於激勵力的頻率。
現在讓我們了解結構在每一個固有頻率處的變形模式。在平板上均勻分布45個加速度計，用於測量平板在不同激勵頻率下的響應幅值。如果激勵力在結構的每一個固有頻率處駐留，會發現結構本身存在特定的變形模式。這個特徵表明激勵頻率與系統的某一階固有頻率相等時，會導致結構產生相應的變形模式。我們注意到當激勵頻率在第一階固有頻率處駐留時，平板發生了第1階彎曲變形，在圖中用藍色表示。在第2階固有頻率處駐留時，平板發生了第1階扭轉變形，在圖中用紅色表示。分別在結構的第3和第4階固有頻率處駐留時，平板發生了第2階彎曲變形，在圖中用綠色表示，和第2階扭轉變形，在圖中用紅紫紅色表示。這些變形模式稱為結構的模態振型。（從純數學角度講，這種叫法實際上不完全正確，但在這兒作為簡單的討論，從實際應用角度講，這些變形模式非常接近模態振型。）
我們設計的所有結構都具有各自的固有頻率和模態振型。本質上，這些特性取決於確定結構固有頻率和模態振型的結構質量和剛度分布。作為一名設計工程師，需要識別這些頻率，並且當有外力激勵結構時，應知道它們怎樣影響結構的響應。理解模態振型和結構怎樣振動有助於設計工程師設計更優的結構。模態分析有太多的需要講解的地方，但這個例子僅僅是一個非常簡單的解釋。
現在我們能更好地理解模態分析主要是研究結構的固有特性。理解固有頻率和模態振型（依賴結構的質量和剛度分布）有助於設計雜訊和振動應用方面的結構系統。我們使用模態分析有助於設計所有類型的結構，包括機車、航天器，宇宙飛船、計算機、網球拍、高爾夫球杆……這些清單舉不勝舉。
在理解「階」之前，要先理解與「階」緊密相連的名詞「自由度」。自由度是指用於確定結構空間運動位置所需要的最小、獨立的坐標個數。空間上的質點有三個自由度，分別為三個方向的平動自由度；空間上的剛體有六個自由度，分別為三個平動、三個轉動自由度。一個連續體實際上有無窮多個自由度，有限元分析時將連續的無窮多個自由度問題離散成為離散的有限多個自由度的問題，此時，結構的自由度也就有限了。
因此，可以這樣理解，一個自由度對應一階，連續體有無窮多階。像彈簧--質量模型為單自由度系統，故對應的頻率只有一階。兩自由度系統有兩階。一個具體的系統，每一階對應著特定的頻率、阻尼和模態振型。
對基本的運動方程進行求解，實質是進行特徵值求解，特徵值對應的是頻率、與特徵值對應的特徵向量就是模態振型，因此，一階固有頻率對應一階模態振型。將頻率按從小到大的順序排列，對應的就是所謂的一階、二階、三階等等。
每一階模態包括3個參數：頻率、阻尼和振型。實質模態分析就是求解這三個參數的過程。當然，這些參數是由結構的質量分布、剛度分布和阻尼分布所決定的。
因此，一個結構理論上有無窮多階固有頻率，但是我們通常只關注低階頻率，特別是第一階，也稱為基頻，這是因為，頻率越低，越容易被外界激勵起來。
舉個例子，部隊在過橋時，為什麼不能整齊的步調一致過橋呢，而要自然的走過去呢？就是因為橋樑的頻率特別低，一般有個經驗公式就是100/跨長，如果橋長100米，那麼它的頻率就是1Hz，因此，這麼低的頻率是很容易被激勵起來的，所以，要自然的走過，不能步調一致了，就是防止橋樑共振。
另外，各階模態並不是按1，2，3....也就是說並不是按從小到大的順序發生的，到底哪個發生，還得看外界的激勵頻率。我們之前所說的各階模態，是結構的固有屬性，外界激勵與否，這些特徵都是存在的。如果外界的激勵頻率與結構的某一階固有頻率相等，那麼，結構就主要按這一階的振型發生運動，當然，還有其他階，但這一階佔主導。
你可以這樣理解，你的調味盒裡有各種各樣的調料，但是你的菜里，只有放了調料的才能這個味，但是你調料盒裡的調料全部都有，只是，你一次炒菜只用了少數幾樣而已。這就好比，結構如果受到外界激勵，可能只能激起幾階模態，是這幾階模態響應的總和組成了總響應，但是，結構是具有所有階模態的，只是其他的，沒有被激勵起來，並不是不存在。
不能忽略高階振型的貢獻，主要還是看激勵，如果有高頻激勵，這時就不能忽略。你也可以這樣理解，假設是對級數，你有的時候可能可以忽略高次項，但有的時候你不能忽略，這主要看高次項在這個級數的貢獻。
希望，以上回答對您有幫助。關於這些方面的問題呢，建議您關注，我的公眾號：模態空間，裡面都是有介紹的。
像上面的」白水「網友引用 的」模態分析「那個回答內容，就是出自我的博客《模態空間》，當然這些是我翻譯Peter Avitabile的《Modal Space - In Out Own Little World》。不過，現在我已停止更新我的博客了，改用公眾號：模態空間，了。如果搞這方面的工作，建議關注，對 您有幫助。我的頭像就是公眾號的二維碼。又見此題，拋磚引玉，非科班出身，如有錯誤敬請指正
1、2、3階振型，見過的分法有兩種一種按結點在線上的數量分，你看第一個沒有點，第二個一個點，第三個兩個點
不能忽略高階振型的貢獻：
先說為什麼有時候能「忽略高階振型的貢獻」以簡諧激勵下的穩態強迫振動為例，如左下圖
簡單說幾句，沒啥理論推導。
1.模態包括頻率和振型，是結構的固有屬性，取決於結構剛度和質量分布。
頻率的單位Hz；振型一般是指在某個頻率下結構上各節點位移，不一定是真實位移量，無量綱。2.比如系統1階頻率50Hz，2階60Hz，3階80Hz……當外界輸入激勵是50Hz的時候，表現出來的主要振型就是1階振型；60Hz的時候是2階振型，以此類推。
3.線性組合:
當激勵頻率不是固有頻率的時候，系統表現出來的振動就是各個階次振型的線性組合，係數就是各振型所佔的不同權重。其實就是線性代數裡面的特徵值和特徵向量，特徵值就是頻率，特徵向量就是振型，具體可以看看振動力學的教材。4.共振時，此時激勵頻率等於某階固有頻率，結構節點上的振型就是該階固有頻率對應的振型。可以差不多認為上麵線性組合中共振的振型的係數等於1，其他階次均為0。說法有點不嚴謹，見諒。╮(╯▽╰)╭
5.相對位移概念
振型中的相對位移是指各節點位移同時除以某個係數，跟特徵向量的概念一致；節點的相對位移是指應變數，可以用來尋找結構中的薄弱環節。6.用有限元軟體計算系統自由模態時，不施加任何邊界條件，一般得到的前6階頻率值為0。
7.激勵頻率由小到大增加的話，那麼比激勵頻率小的系統固有頻率對應的「共振」都會依次出現，但是持續時間很短暫……想想洗衣機，甩水的時候，有時候穩定轉動之前，會有振動的特別厲害的現象，可以理解成共振啦……(?&>ω先想到這麼多，有錯誤還請各位多多指教。不要帶公式，不要帶公式，不要帶公式。
振型和頻率只和約束，剛度與質量分布有關，而和外載荷無關。各階振型和頻率，是從結構的振動微分方程上求解獲得的，由於連續體的質量和剛度矩陣可以認為是無限階的離散質量和剛度矩陣，所以求解出的頻率和振型有無限多個。那麼這些振型和頻率為什麼會有個排序呢？可以這麼理解，所謂的一二三階振型，可以認為是結構以哪種形式的變形最容易的排序。
舉個栗子，簡支梁，它一階振型就是嚴最小慣性矩的方向彎成一個弧形，即半個正弦波，二階就可能是完成一個完整的正弦波，也可能嚴沿另一個方向彎成半個正弦波。可以自己用手彎一根長木棍，哪種最容易彎出來就是一階振型了。
頻率是對應於各階振型的，它可以這麼理解，想獲得結構各階振型是時，施加的外部激勵的
還沒想好怎麼說，先到這。理論計算到處都是 找起來很容易但是不方便直觀理解推薦個視頻視頻網站上面搜索振動 沙子會有試驗視頻正弦激勵下結構振動形態被十分直觀的看見了固有頻率這些是結構的本身特定參數 與質量 剛度 約束有關 跟時間無關
理解「階」之前，要先理解與「階」緊密相連的名詞「自由度」。自由度是指用於確定結構空間運動位置所需要的最小、獨立的坐標個數。空間上的質點有三個自由度，分別為三個方向的平動自由度；空間上的剛體有六個自由度，分別為三個平動、三個轉動自由度。一個連續體實際上有無窮多個自由度，有限元分析時將連續的無窮多個自由度問題離散成為離散的有限多個自由度的問題，此時，結構的自由度也就有限了。因此，可以這樣理解，一個自由度對應一階，連續體有無窮多階。像彈簧--質量模型為單自由度系統，故對應的頻率只有一階。兩自由度系統有兩階。一個具體的系統，每一階對應著特定的頻率、阻尼和模態振型。延伸問題：「同一個結構為什麼各階頻率、阻尼和模態振型又不相同？」這是因為雖然結構還是這個結構，但是參考各階運動的結構上的質量和剛度都不相同，參考每階響應的並不是結構所有的質量和剛度，而是這一階「活躍的」有效質量（結構中的部分質量），所以各階所對應的模態參數不完全相同。 參考技術鄰問答http://www.jishulink.com/content/post/5560
試著用最低的理解成本來通俗得解釋一下第n階振型，模態，固有頻率和它們的關係先解釋一下固有頻率，彈簧振子的自由度為1，彈簧的剛度係數為k，振子的質量為m，那麼它只會有一種運動形式，且其頻率是固定不變的為sqrt(k/m)，那麼那個頻率就可以視作這個系統的一階固有頻率，並且它只有這麼一個固有頻率。那麼兩個自由度系統呢，如下圖
簡單來說，就是一個物體它有很多個固有頻率。這些固有頻率按從小到大排列，稱為一階固有頻率，二階固有頻率等。
一階振型，就是物體的振動頻率達到一階固有頻率時，即物體發生共振時，所表現出來的物體上各個點最大位移（即振幅）的集合。你可以把結構中任意點的位移歷史曲線拿出來做傅里葉變換， 你往往會發現低頻率(低階)的幅值遠遠大於高頻率區域的。 這意味著振動能量主要集中在低階區域內(這在實際中往往是真實的)，高階(從哪開始算高階要看具體情況了) 貢獻可以忽略。
1 2 3 不是在時間裡的順序 是在頻域里的順序。
方程特徵值表示固有頻率，其對應的特徵向量即為其模態，這一點上文已有提到。前學渣 表示對不起 辜負了你的邀請
動力學方程解出來的特徵值的順序，也可以看做頻率由低到高，建議題主買一本振動力學，這是最基本的模態分析知識，書上全有的
階的英文是order，再翻譯回來是順序。各階模態之間就是個順序問題。
就是特徵值和特徵向量的關係，一一對應。
物體幾個自由度就有幾階頻率，將頻率由小到大排列，最小的頻率為第一階頻率，第二小的第二階，第三小的第三階······以此類推
。每一階模態都對應一階主陣型。
對一個結構系統進行模態分析，會得到固有頻率和對應的固有振型，通過頻率，振型分析，可以分析是幾階頻率對應的振型導致的振動最大，從而通過結構設計進行調頻。可參看西安交通大學的《振動力學》
前提：理論上動力學系統有多少自由度就有多少「階」模態（或者說振型），模態是結構的動力學固有特性，和初始條件沒有任何關係。
那麼你這個問題就是一個多自由度（或者連續體）的動力學模型。
我只說兩個方面，數學上，階是按照頻率從小到大排列的，對應力學上就是激勵從小到大激起的波峰，一個波峰對應一個模態（就是頻響曲線）。數學上是對於模型化方程求解的是理所當然，這個沒什麼好說的。另一方面，動力學上各階模態是用來合成響應的一個個分量，那麼低階的模態參與響應的能力相對強（就是對於階數前面的係數會越大，但是這個也只是一個非常籠統的說法），對應就是低階的模態容納能量多，佔比高。
對於所謂的高階振型不能忽略的情況，更多的時候是所處的環境是高頻的（比如高轉速的發動機，高速的飛機、動車、火箭等等），那麼激起的響應就是高頻對應的高階，所以說高階成了響應主要部分，自然就不能忽略了。PS：這個問題是一個初看很簡單但是又不知道怎麼恰當回答的問題。所以題主要麼是壓根沒入門要麼是很厲害已經開始追本溯源了。總之我就隨便一答~~~有瑕疵望見諒就是用傅里葉分析描述一個未知的震動。理論上要完美模擬一個震動，可能需要無窮多個頻率，然而這在現實中是不可能實現的。後來人們發現有幾個頻率在描述中佔主導，就把這幾個頻率疊加看成對現有震動的模擬，只要知道這幾個的頻率相位幅值就可以在誤差允許的範圍內描述震動了。
這幾個就成了魔胎…特徵矩陣中得出的頻率ω，從小到大排列，他們分別對應相應陣型。
放戰鬥機的模態，肯定會被請去喝咖啡。本想放梨子的模態，可惜知乎只支持大視頻網站的圖像。只能上個圖吧：
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