定態波函數的本徵函數族是完備的？

01-05

謝不邀。

事實上，這是個泛函分析的著名定理：無界自伴運算元譜分解定理。

根據量子力學公理，我們知道每個可觀測量都對應一個自伴運算元（self-adjoint；物理教材通行的叫法「厄米算符」），這些自伴運算元幾乎都是無界的（參見GTM 267，經典情況的動量、哈密頓量等與量子力學對應的可觀測量都是無界的；或者考慮張永德老師津津樂道的「中國數學家挑戰量子力學基礎」中泡利犯的錯誤：無視動量算符定義在實軸的稠密子空間上而非僅僅在無限深勢阱內部。。）。

（僅對有界自伴運算元）自伴定義為 $A^{*}=A$ (而量子力學書都已這條為準)；而無界的情況是微妙的，由於定義在稠密子空間上，我們要求 $ext{Dom}(A^{*})= ext{Dom}(A) ext{ and }forallphiin ext{Dom(A)}~A^{*}phi=Aphi$ ，詳見 GTM 267。（此處筆誤謝 @杜大荒指出）

這裡請讀者暫停細想為什麼只能定義在稠密子空間（我一直強調這點）？

本徵方程（以定態 $ext{Sh"{o}rdinger}$ 方程為例） $hat{H}psi=Epsi$ 的本徵函數族完備的問題，用不嚴格的語言說，等價於找出全部複平面上的譜點全體 ${E_{lambda}}$ ，因為特徵值和特徵向量總是一起出現的。更精確的說法叫把埃爾米特空間分解為 $hat{H}$ 不變的子空間的直和。另外要特別注意譜可能包含連續譜，而這是線性代數無法處理的。

由淺入深，我們先考慮有限維（或者無限維中的離散譜）的情形，根據線性代數中的正規運算元的譜定理（如，見 Artin pp.200），我們知道每個埃爾米特陣（以及酉矩陣）都可以對角化，即

$exists ext{ Unitary matrix $P$ such that }P^{*}AP=egin{bmatrix}lambda_{1}\lambda_{2}\cdotsend{bmatrix}$ ，

對角化後我們將空間分為了 $A$ 不變子空間的直和（每個子空間都是一維的，由線性無關的特徵向量張成）。

注意到這些子空間可由向量空間上的投影運算元給出，為了更好地延展到無限維 Hilbert 空間(這裡要嚴厲指出，Heisenberg 粗陋的所謂「無限維矩陣」，作為量子力學建立初期的探索還能說過去，現在應當摒棄)的情形，我們將上式寫為（以酉矩陣 $U$ 為例）

$U=sum_{i=1}^{n}lambda_{i}P_{i},quadsum_{i=1}^{n}P_{i}=I$ .

看到這個形式，我們類比大家初學黎曼積分的情形

$int_{a}^{b}f(x)~dx:=lim_{lambda(P) ightarrowinfty}sum^{n}_{i}f(xi_{i})Delta x_{i}, ext{ where $P$ is a partition}$

一個自然的想法便是定義一個投影運算元值的測度，並在其上定義積分（這已經不是黎曼積分了），以求將酉運算元譜分解。(始終記住這是我們的目的，不要迷失在茫茫證明中。。)

上面都說的是動機，下面開始概述性地給出思路。

一下參考文獻多為夏道行的《實變函數論與泛函分析（下）》。

先定義譜測度，記 $mathcal{P}$ 為 Hilbert 空間投影運算元族全體，設 $m{R}$ 是集合 $X$ 上的代數，映射 $E:m{R} ightarrowmathcal{P}$ 稱為譜測度，如果滿足

$a)~E(X)=I;$

$b)~ ext{$A_{i},A_{j}in{A_{n}}$ satisfy $A_{i}igcap A_{j}=varnothing$ and $igcup_{n=1}^{infty}A_{n}inm{R}$, then}\centering Eleft(igcup_{n=1}^{infty}A_{n}=sum_{n=1}^{infty}E(A_{n}) ight).$

再定義(弱)譜積分，設 $(X,E,m{R})$ 是譜測度空間（ $m{R}$ 是 $sigma-$ 代數）， $f$ 是其上可測函數，稱 Hilbert 空間的有界線性運算元（記作 $int f(t)~dE(t)$ ）為弱譜積分，如果對於任何 $x,yin H$ ，都有

$leftlangleint f(t)~dE(t)x,y ight angle=int f(t)~dleftlangle E(t)x,y ight angle$ .

可以證明，積分若存在，必唯一。

另外，還可以定義（一致）譜積分，對值域在 $(m,M)$ 上的可測函數，以及分點組 $mathcal{D}$ ，記和式 $S(D)=sum_{i=1}^{n}xi_{i}E(X(u_{i-1}leqslant f<u_{i})),quad u_{i}leqslantxi_{i}<y_{i}$ ，如果

$forallvarepsilon>0existsdelta>0 ext{ and }lambda(D)<delta ext{ such that }left|left|int f(t)~dE(t)-S(D) ight| ight|<varepsilon$ ,

則稱積分為一致譜積分。

可以證明，對實值函數，弱譜積分與一致譜積分等價。並且有良好性質

$a)~int f(t)g(t)dE(t)=int f(t)dE(t)cdotint g(t)dE(t)$

$b)~leftlangleint f(t)dE(t)x,int g(t)dE(t)y ight angle=int f(t)overline{g(t)}dlangle E(t)x,y angle$

而譜系是定義在實軸上的單調、右連續、強收斂的投影運算元族 ${E_{lambda}}$ ，具體不展開了，簡單說就是形如定義在 $(-infty,a]$ 的投影運算元族。

一個複雜的定理證明了，由 $E_{lambda}=E((-infty,lambda])$ 聯繫的譜測度與譜積分可以互相唯一導出。

下面終於可以涉及酉運算元譜分解定理了：

設 $U$ 是復 Hilbert 空間上的酉運算元，那麼必有 $H$ 中唯一的滿足 $E_{0}=0$ 的譜系 ${E_{ heta}: hetain[0,2pi]}$ 使得 $U=int_{0}^{2pi}e^{i heta}~dE_{ heta}.$

首先，由 $ext{Swartz}$ 反照原理可以漂亮地證明正的三角多項式可以由另一個三角多項式的模平方給出。

注意到若譜分解成立，有 $U^{n}=int_{0}^{2pi}e^{inpi}~dE_{ heta}$ ，這樣對三角多項式 $P(e^{it})=sum_{ u=-N}^{n}c_{ u}e^{i u t}$ 有 $P(U)=int_{0}^{2pi}P(e^{i heta})~dE_{ heta}$ （這裡利用了前面的性質）.

於是 $forall x,yin H, langle P(U)x,y angle=int_{0}^{2pi}P(e^{i heta})~dlangle E_{ heta}x,y angle$ .

對給定的 x,y 以及三角多項式，左邊是確定的。而又注意到三角多項式全體在 $C([0,2pi])$ 上是稠密的，利用後者的連續線性泛函的表示（有界變差函數）（說到表示，哦，那又是牽扯另一個話題了，我們按住不表。。），構造 $H$ 上的雙線性厄米泛函，再用 $ext{Riesz}$ 表現定理，便可以給出自伴運算元 $E_{ heta}$ ; 下只需證 ${E_{ heta}}$ 是投影運算元族即可，亦即，考慮證明 $E_{ heta}^{2}=E_{ heta}$ ，其中使用了上面的「首先」.

當然，上面都是口頭說說，具體到嚴格的書寫還有幾十頁的距離（笑）

當酉運算元譜分解定理證明完畢後，再證自伴運算元譜分解定理就相對而言比較輕鬆了，主要就是機智地利用了 $ext{Cayley}$ 變換: 設 $A$ 是個自伴運算元，則按下式定義的運算元

$U=(A+iI)(A-iI)^{-1}$

是酉運算元，是內射，且有逆：

$A=i(U+I)(U-I)^{-1}$ .

於是我們把一般自伴運算元與已經證明過的酉運算元聯繫起來了（內射的性質還對稠密的證明有益稠密），後面的細節大多書都有了，不再贅述。

$Huge ext{警告:}$

正常量子力學是在大三上學期開課，但要證明本徵函數族完備需要極多的超出物院本科生教學計劃的預備知識，幾乎需要完整看一遍泛函分析。

為了今年大二提前選量子力學，答主和另二好友 @張智浩@楊聖宇做大死在大一時囫圇吞棗算作啃下了這塊硬骨頭。。。
經驗之論，切記：斟，酌，慎，行（淚目）。。

不過相信還是有不顧警告如我者2333

故薦讀物如左：

夏道行的已經說了。幾乎需要自伴運算元譜分解之前全部知識，亦即，幾乎全本書。。（可以刪去一些旁支末節，但不要寄希望會刪多少。。）而且其間證明用的實變函數的東西，還得參考他的上冊。
GTM 267， Brian C.Hall 的《Quantum Theory for Mathematician》，由淺入深，娓娓道來，精準的指出尋常物理書中掠過的量子力學的數學問題（如：無界自伴運算元的定義域問題，以動量算符為例，張永德（張老師我不是故意的表打我我期末不想掛科。。）為了簡便，一維情況下直接取 $(-infty,infty)$ ，這是粗暴的。。事實上，應該清楚，自伴運算元定義在 Hilbert 空間的稠密子空間而非全空間）。裡面從尋常的有界自伴運算元到無界自伴運算元給出證明的另一條路徑。另外最近在看他的《Lie Group, Lie Algebra and Representation》(GTM 222)，也寫的很好，時不時和自旋角動量對比一下，習題很友好，循循善誘，推薦。
北師大的《泛函分析》，最後一章點名講量子力學的數學基礎，但屬於研究生課本，難度大於夏道行。我們當時被他的局部凸拓撲看哭了。。另外，附錄講了 $C^{*}$ 代數，這是另一條證明譜分解定理的道路，然而由於時間原因我們放棄了這條更加崎嶇的道路。。。
梁燦彬的《微分幾何與廣義相對論（二）》的附錄，如果沒有能力看太多數學，梁的量子力學數學基礎的附錄講得也很好（當然也給出了譜分解定理的樣子），至少讓讀者明白本徵函數族完備與否，是一件極其嚴肅的事。不長，值得一看。
劉培德的《拓撲線性空間與運算元譜理論》，不太推薦，關係不大。。（我不會說當時為了一勞永逸看完半範數的共鳴定理、開運算元定理、閉圖象定理、 $ext{Hahn-Banach}$ 定理去搞拓撲線性空間和局部凸拓撲。。不知道偏到哪裡去了（哭。。））不過寫的還蠻簡潔，薄薄的一本書，讓你產生很快能看完的錯覺。。

另外，他們倆還在讀者服務部買了《Methods of Modern Mathematical Physics Ⅰ: Functional Analysis》，也講清楚了無界自伴運算元譜分解（以及其他數學問題），不過篇幅比較小（但內容一點不縮水），適合有一定數學基礎的看。。

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但極其遺憾的是，國內教授量子力學的教授，就我所知，對此都是一筆帶過，得過且過。

幾乎所有課本都是把有限維本徵函數完備（有限維完備是屁話（譜定理保證了））故作高深地抬出來

$psi=sum_{alpha}c_{alpha}psi_{alpha}$ ,

然後草草提一句「對於連續譜，求和改為積分」，就囊括了無限維情況，說的太輕巧！

誠然，科研的時間是有限的，不可能什麼都學，但是面對求知若渴的學生，他們就不能放下固有的成見和偏執，就算自己不能接受，也讓學生知道，哪怕僅僅是名字，有一個厲害的無界自伴運算元譜分解定理，解決了這裡面的全部模糊么？!

求知者們，自會去求知。

完，畢竟大二 too young，目測有問題，懇望指正。

正如上面所證明的，及其複雜。恐怕大多數物理學家只是懷著美好的願望而簡單的假定其成立。——格里菲斯《量子力學概論》P23

感覺樓上的回答不夠「物理」，也來班門弄斧一下好了。

我認為從物理上看，薛定諤方程的本徵函數族是完備的這件事，其實是非常顯然的。下面用反證法給出一個不算嚴格的「證明」。

證明：

設定態 $ext{Sh"{o}rdinger}$ 方程( $hat{H}|psi angle=E|psi angle$ )，的全部本徵值為 $E_{1}$ , $E_{2}$ ,..., $E_{n}$ ,對應本徵態 $|varphi _{1} angle$ , $|varphi _{2} angle$ ,..., $|varphi _{n} angle$

（註：這裡的n可以是自然數，也可以是無窮大，不影響之後的證明過程）

假設 $|varphi _{1} angle$ , $|varphi _{2} angle$ ,..., $|varphi _{n} angle$ 是不完備的，則必然存在一個非零的態 $|alpha angle$ ，對任意 $min [1,n]$ 有 $langlealpha |varphi _{m} angle=0$

那麼由於 $|varphi _{1} angle$ , $|varphi _{2} angle$ ,..., $|varphi _{n} angle$ 已經定態方程的全部的解，所以不存在一個 $E$ ，使得：

$hat{H}|alpha angle= E|alpha angle$

這對應什麼物理情形呢？就是在該系統處於某一個非0的初態時，對能量進行一次測量，根本得不到任何結果，顯然這從物理上講是不可能的。因此假設錯誤， $|varphi _{1} angle$ , $|varphi _{2} angle$ ,..., $|varphi _{n} angle$ 是完備的。

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我想說的是，上面的過程不能當作嚴格的數學證明。上面的論述只是說明了，假如本徵函數族不完備，那麼量子力學的邏輯體系就是不自洽的。也說明了本徵態完備性背後的物理內涵：假如本徵態不完備，那麼對於某些初態，將根本無法獲得任何測量結果。作為一個實驗物理的搬磚工，我認為有必要認識到這一點，同時這也已經足夠了，剩下的事情甩鍋給數學家就行了233

物理的本質應該是simple的，能用上嚴格的數學工具自然是很好的，但很多時候一個直觀的理解才是更重要的。數學可以幫助你證明，然而很難幫你理解背後的物理。

PS：本人理論物理屬於渣渣，上面論述如有錯誤，還請指出。