柯西之前人們對微積分有哪些相對錯誤和混亂的理解？

01-05

以及有沒有什麼書來介紹這種數學史？
「．．．1821年柯西提出極限定義的方法，把極限過程用不等式來刻畫，後經魏爾斯特拉斯改進，成為現在所說的柯西極限定義或叫

定義。當今所有微積分的教科書都還（至少是在本質上）沿用著柯西等人關於極限、連續、導數、收斂等概念的定義。他對微積分的解釋被後人普遍採用。柯西對定積分作了最系統的開創性工作，他把定積分定義為和的「極限」。在定積分運算之前，強調必須確立積分的存在性。他利用中值定理首先嚴格證明了微積分基本定理。通過柯西以及後來魏爾斯特拉斯的艱苦工作，使數學分析的基本概念得到嚴格的論述。從而結束微積分二百年來思想上的混亂局面，把微積分及其推廣從對幾何概念、運動和直觀了解的完全依賴中解放出來，並使微積分發展成現代數學最基礎最龐大的數學學科。」
柯西_百度百科

你翻下知乎上各種無窮大無窮小的腦洞問題就知道了。

如果沒記錯，好像叫第二次數學危機。

非數學專業且沒選修過數學史的學渣來答一發，畢竟這個問題我也思考好久了。

先回答題主後一個問題，美國數學史學家William Dunham《微積分的歷程：從牛頓到勒貝格》（The Calculus Gallery:Masterpieces from Newton to Lebesgue）一書微積分的歷史進行了較為詳細的介紹，其中專門用了一章來講述這一問題，以下答案中也大量參考於此。

牛頓和萊布尼茨在創立微積分時，均運用了了大量的幾何圖解而非分析，導致了早期微積分中很多重要概念的表述不明，需要大量的文字解釋。例如，萊布尼茨是這樣解釋「無窮小」的：

關於……無限小，我們理解為……某種無限的小，所以每次分割本身都成為一個級別，只不過不是一個最後的級別。如果有誰將這些【無限小】理解為最終的事物……，那麼，這也是可以的，而且也不會陷入關於延伸範圍或者一般而論的無限連續統或者無限小的真實性的爭論中，即使他認為這樣的事是完全不可能的。

是不是感覺他本人也沒有說清，所以說萊布尼茨的這種解釋只能說是一種權宜之計。

在他之後，偉大的萊昂哈德·歐拉是這樣解釋的：

毫無疑問，任何量都可以減小直到完全消失，以至最後不復存在。但是一個無窮小量是一種不斷減小的量，因此，它在事實上等於0……同其他普通的思想一樣，在這種思想中其實並沒有隱含什麼高深莫測的奧秘，使得無窮小的演算變得如此疑難重重。

歐拉的這種解釋，帶來的結果是將無窮小量 $dx$ 視為0，而 $(dx)^{2}$ 這樣的高階小量可以直接拋棄。這種做法很像我在學高中物理時接觸到的微元法，是一種對小量的高明的處理方式，但對於微積分來講，其嚴謹性還是存在著被質疑的可能，其中最著名的質疑者就是之前答案中提到的英國主教貝克萊。

貝克萊以 $y=x^{n}$ 為例，通過對 $x$ 增加一個微小的非零增量 $o$ 的方式求它的導數：

$frac{(x+o)^{n}-x^{n} }{o} =frac{nx^{n-1}o +frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}o^{2}+...+nxo^{n-1}+o^{n} }{o}$

$=$ $nx^{n-1} +frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}o+...+nxo^{n-2}+o^{n-1}$

到這一步為止， $o$ 依然被假設為一個非零的量。但是，隨後， $o$ 忽然變成了0，所以我們才能得到 $frac{dy}{dx}=nx^{n-1} +0+...+0+0=nx^{n-1}$ 這一結果。

在貝克萊看來，這一過程中的前後兩個假設完全衝突。若 $o$ 不為0，那麼則不能推出任何結果；若 $o$ 為0，那麼它就不能作為分母且 $x$ 根本沒有增加。從而陷入了「當提到讓增量消失時，前面那個增量為某種量的假設就被破壞了，然而，由這個假設所推出的結果，即由它獲得的表達式卻保留了下來」的進退維谷之中。

在柯西之前，拉格朗日也曾嘗試對微積分的基礎進行修正。他設想了一種「排除無窮小量、逐漸消失的量、極限以及流數所有因素在內」的微積分。

他的基本思想是把無窮級數作為微分的源頭而不是結果。這就是說，拉格朗日從他要尋找導數的函數 $fleft( x ight)$ 開始，把 $fleft( x+i ight)$ 表示成 $i$ 的無窮級數 $fleft( x +i ight) =fleft( x ight) +ipleft( x ight) +i^{2}qleft( x ight) +i^{3}rleft( x ight) +...$ 的形式，其中，正如他指出的那樣，「 $p$ ， $q$ ， $r$ ，…將是從簡單函數 $x$ 導出的並且與 $i$ 無關的新函數」。於是 $f$ 的（一階）導數恰好就是 $pleft( x ight)$ ，在這個展開式中， $pleft( x ight)$ 為 $i$ 的係數。

以 $fleft( x ight) =frac{1}{x^{3} }$ 為例， $fleft( x+i ight) =frac{1}{(x+i)^{3} }=frac{1}{x^{3} }+ipleft( x ight)+i^{2}qleft( x ight) +i^{3}rleft( x ight) +...$

$Rightarrow i[pleft( x ight) +iqleft( x ight) +i^{2}rleft( x ight) +...]=frac{1}{(x+i)^{3} }-frac{1}{x^{3} }=frac{-3x^{2}i-3xi^{2}-i^{3} }{(x+i)^{3}x^{3} }$

$Rightarrow pleft( x ight) +iqleft( x ight) +i^{2}rleft( x ight) +...=frac{-3x^{2}i-3xi^{2}-i^{3} }{i(x+i)^{3}x^{3} } =frac{-3x^{2}-3xi-i^{2} }{(x+i)^{3}x^{3} }$

在這裡，令 $i=0$ ，即可得到 $pleft( x ight) =frac{-3x^{2} }{x^{6} } Rightarrow f$ 這樣一個現在我們已經熟知的結果。

但是，這樣一個理論顯然遠非完美，既割裂了導數與斜率之間的關係，又無法保證每一個函數都能做如上的化簡。直到1822年，柯西舉出了反例，徹底宣布了這一理論的失敗。

接下來柯西所做的工作我們就都很熟悉了，他所建立的極限理論和中值定理，以及之後的黎曼、魏爾斯特拉斯、康托這些追隨者不斷補充和完善，才將數學從早期的直覺時代帶向了分析時代，也就是今天大學裡微積分教材里的模樣。

有種貼吧叫民科吧;

有種神人叫三江方士;

有種級數叫中華級數;

有種調和級數收斂到400。

在牛頓時代大家不使用極限，都是用幾何方法的。

回去要是記得就找點例子給你。

by the way，分析學在當時叫代數。

柯西之前，雖然有一部分人已經發現一些無法輕易求解的微分方程，比如李卡蒂方程，但是依然樂觀的認為只是沒找到初等的方法求出解，而沒考慮過有些方程本身無初值解，都認為通過某些初等變換是可以求出通解的。

到李卡蒂證明出李卡蒂方程無初等解的時候，柯西綜合歐拉等前人的積累，總結出了柯西初值問題解的唯一性和存在性定理，這就為微分方程的發展邁出了巨大的一步。