π 等無理數的存在能否說明人類從自然數起步發展的數學存在缺陷？

01-05

前兩天看到如果數學規律被改變，世界將會變成什麼樣子？ - 哲學這個問題下
的嘯語回答，想起了這個問題。本人高中生，題目中的說法可能存在很大的錯誤（題目以及下面問題中在表達，知識和邏輯上的問題也歡迎大家指正），我的意思是，從幾何上看π似乎應該是確定的，一個兩直角邊均為1的直角三角形的斜邊（長度根號2）的長度也應該是確定的。一個確定的長度我們用數字卻無法確定地表達，這是否暗示一種缺陷？一種從自然數和自然數運算規則出發發展數學而帶來的缺陷？我們對於自然的直觀印象是否限制了我們利用數學描述它的能力？
下面貼一些嘯語引用的《三體》中的片段
「我們的數學計數方法只能無限精確地逼近π，但是卻得不出其最終定值。」
「π是定值嗎？」

「肯定得是定值吧，否則怎麼會有圓和球？黑洞又怎麼會形成穩定的視界屏障？」矩陣二號說，「只不過我們的計數法出了問題，無法描述那個值。」
「那是π本身的特性決定的。」大腦說。
「不，
那是我們的數學本身的劣根性決定的！」矩陣二號糾正道，「我們的數學是數字化的，而不是幾何化的，我們的數學進率是10，是2，是6，是各種各樣的數字，
而不是圓周率，不是漸開率，不是π，也不是e，所以才會在解決現實問題時遇到各種各樣的悖論難題！」矩陣二號說道這裡，頓住，說，「『宇宙是幾何的，而不
是物質的』，你還記得我以前跟你說過的這句話吧？」
也是由上面這一段內容，我提了一個相關的問題，這裡是鏈接是否已有人發展並非基於數字而是一些幾何關係（例如π黃金分割等）的數學？這種數學是否能更有效地描述現實？ - 物理學

大部分人對於數學的認知仍停留在第二次數學危機前，哪怕其中有一部分人已經能夠熟練計算微積分。

更別提像題主這樣把第一次數學危機後解決的內容強行套在第二次數學危機上了。

PS：這裡是正題。十進位不是表達數學的全部。不要因為自己說了一輩子漢語就覺得不說漢語的人不能準確表達自己的意思。

我們無法描述 $pi$ 嗎？恰恰相反，因為數值語言實在是不能精確的表達，所以人類發展了抽象的數學。從而發展了大量的分析工具，可以精確的描述 $pi$ 。

數學更關心一個東西為什麼存在，它的性質是什麼，而不是它到底是多少。我們定義了 $pi$ ，是為了更好的研究它可以幹啥，而不是它是多少……

所以追求 $pi$ 的數值是多少這種事情，其實是很low（我不是說計算數學很low，只是這件事情很low）

1. $pi$ 就是準確表達。

2. 你引用的一段《三體》中的話是偽造的，《三體》中並沒有這樣一段話。大劉雖然不是數學家，但是不會犯這種低級錯誤。

3. 先學了高等代數，你才有討論這個問題的資格。

4. 高中生解決胡思亂想的方法是多學習，而不是四處道聽途說。

再把這個是否已有人發展並非基於數字而是一些幾何關係（例如π黃金分割等）的數學？這種數學是否能更有效地描述現實？ - 彭柯堯的回答覆制一次

首先要定義序數，序數你可以理解為某種順序。

我們用集合來，首先，zfc公理中有要求空集存在，於是我們就讓第一個序數用?來代表。接下來是這個集合{?}，然後是這個集合{{?}，?}再然後是{{{?}，?},{?}，?}……

於是序數是一個集合，由它之前的序數組成。

於是我們就可以這樣自然地得到自然數0，1，2……

然後我們又可以定義加法，乘法以及他們的逆運算。這樣所有有理數我們就可以得到了。

但是實數怎麼辦呢？這麼嚴格定義一個實數呢？

解決這個問題有很多方法，常用的是這個:

一個實數是所有小於它的有理數組成的集合。

比如說我們要定義√2

於是√2就代表所有q2

你可以看到，再我的推理中，用到的數字不過是用來代表一種抽象的東西的，把0，1，2，3……換成座子，椅子，瓶子，罐子也沒有問題。

慢慢學會把認知模式從畢達哥拉斯時代遷移到牛頓時代.

我覺得知乎應該設一個功能，你提問時如果添加了「數學」標籤，就彈出個 checkbox，上書：

我已看過《數學悖論與三次數學危機》，對這本書提出並試圖解決的問題有所瞭解，並且保證我的問題在這本書中沒有出現過，或者沒有給出比較好的解答。否則我是孫子。

不打勾不讓問。

大劉雖然不懂科學，但是我相信他沒有不懂到這個地步.....

如果引用來自「二相鉑大戰孫悟空」，當我沒說

所以才會在解決現實問題時遇到各種各樣的悖論難題

所以他們的現實肯定沒有皮亞諾遞歸....

絕大多數數學跟進位制毫無關係。

題主的提問說明數學教育有缺陷，小學生提這種問題還差不多，初中生已經在訓練擺脫具體的數了，高中生一年才用幾次十進位。

現代的代數學是無關進位的，對象也都不是數字。

劉慈欣的數學水平看完樂一樂就可以了。

劉慈欣的數學水平也配談數學？，你就當科幻看得了，不必當真

十進位只是數的記號，不是本質，你不能因為張三的名不好聽就說他人品差吧。

那是得要多碰巧世界的所有常數才會正好是基本單位的倍數！！！

我還是建議普朗克常數h=1。

那樣圓周率也有救了！

關於計數法的問題，卓里奇的《數學分析》第一卷51頁做了一些描述，不過我認為書上的內容有一點小錯誤——他沒有明確提到進位必須是整數，但實際上他應該是這麼用的。

即使是看起來很low的問題，很多也可以做一個比較「好」的解答。

樓主的問題是：進位或者說實數的小數表示是什麼意思？為什麼我們不能使用 $pi$ 進位等等來描述數？

第一個問題：

任何一個實數a都能表示成大於1的整數的冪次的整數倍數和：

$a=a_pb^p+a_{p-1}b^{p-1}+a_{p-2}b^{p-2}...$

其中係數 $a_{n}$ 都是0到b-1之間的整數。n有上界，但未必有下界（也就是有最大值但未必有最小值。）

b等於幾就叫做幾進位。

舉個例子：

對a=137.4（這裡我們在表示a時已經使用了十進位計數法，所以有點循環論證的意思。這是為了方便描述。實際上我們指代的其實是137.4代表的實數，而不是這個具體這個表示。）

$a=1 imes 10^2+3 imes 10^1+7 imes 10^0+4 imes 10^{-1}$

所以 $a_2=1,a_1=3,a_0=7,a_{-1}=4$ ,都是0到9之間的整數。

我們前面也說了 $a_n$ 的n有上界但未必有下界。

舉個例子來說

$1/3=3 imes 10^{-1}+3 imes 10^{-2}+3 imes 10^{-3}+...$

n有上界-1，但沒有下界。

再舉個二進位的例子， $13=1 imes 2^3+1 imes 2^2+0 imes 2^1+1 imes 2^0$

所以二進位表示是1101。

整數進位計數法可以表示所有的數，同時又不會重複（這個進位法里是不允許0.9循環出現的。）

現在我們就講完了整數進位的內容。

而採用非整數進位，核心問題就是，我們能不能用類似的手段表示數？

比如取 $b=pi$ 或者 $b=1.1$ ?

而所有的 $a_n$ 取某個範圍內的整數，使得所有的

既可以包含所有的實數，又不會重複。

如果可以，那我們就實現了 $pi$ 進位或者1.1進位。

直覺告訴我這是做不到的，憑感覺 $pi$ 進位如果取 $a_n$ 為0,1,2,3的話，會導致重複的問題（幾個計數法表示同一個數），而1.1進位如果取 $a_n$ 為0或1，會導致無法表示所有實數。

不想推算驗證了，閑下來再補充吧。

有一種數是不可計算數。連自然數都無法表達。

就算是樓主所謂的幾何方法都無法表達這種數。

蔡廷常數。

1975
年，計算機科學家格里高里·蔡廷（Gregory
Chaitin）研究了一個很有趣的問題：任意指定一種編程語言中，隨機輸入一段代碼，這段代碼能成功運行並且會在有限時間裡終止（不會無限運行下去）的
概率是多大。他把這個概率值命名為了「蔡廷常數」（Chaitin"s constant）。

這聽起來有點不可思議，但事實上確實如此——蔡廷常數是一個不可計算數（uncomputable number）。也就是說，雖然蔡廷常數是一個確定的數字，但現已在理論上證明了，你是永遠無法求出它來的。

題主說到的根號2和pi的區別其實是困擾古希臘數學家很久的尺規作圖問題。通過自然數N，我們可以用尺規畫出所有整數Z，之後通過平移可畫出有理數Q。當然一些特殊的無理數，比如根號2，我們也可以通過勾股定理畫出來。以上所有數字都被稱為constructable numbers，但古希臘的數學家卻無法證明pi是不是constructable。

直到抽象代數，特別是擴展域(field extension)的發展才證明了尺規作圖是畫不出pi的。不止是pi，比如sin(1), ln(1)實際上都是畫不出來的，它們被稱作transcendental numbers; 根號2這些尺規畫的出來的數字則被叫做algebraic numbers over Q.

但是證一個數是transendental並不簡單。已知的，其中大部分是在上個世紀才被證明出來。而自然數系統正是給了數學家們一個基石去構造有理數（有理數是一個域），進而可以討論Q的擴展域。

回答題主的問題：自然數系統對pi這些數並不是無能為力的。相反，允許了我們去證明它們是畫不出來的。如果定義數學作為算數的工具，說pi是個缺陷也無可厚非；但如果把數學當作嚴謹的邏輯推理，自然數則給了pi這樣的數區分，證明的條件。

孔子早就說過：「思而不學則殆。」

人類對數字的直觀感覺確實有局限，但近兩百年來這種局限早就被數學家們突破了。如今人類不僅可以精確描述π，甚至可以用很多種方式來描述，舉個例子：

雖然我也很喜歡大劉的小說，但科幻小說是不能用來學數學的。

其實，算術這個學科有一條自帶的評論音軌，告訴我們算術的本質和目的到底是什麼。可惜的是，大部分學習數學的人都忙於研究長除法和公分母，而完全關掉了這條評論音軌。

在我看來，這條音軌才是算術的本質：算術就是不斷尋找更全面、更完美的數字的過程。

如果我們只滿足於數數，滿足於加法和乘法運算，那麼自然數，也就是1、2、3……就足夠用了。但是，聰明的人類很快就提出了一個更為高級的問題：如果什麼都沒有，該如何表示？我們需要創造一個新的數字，那就是零。接下來，既然我們可以借款和負債，那麼我們又需要負數。加入零和負數以後，這個新的數字集合就是整數。整數和自然數一樣，是非常自然和完整的，但整數的產生賦予人類更多的力量：現在我們不僅可以進行加法和乘法運算，還可以做減法運算。但是，當我們試著和別人分享東西，新的問題又產生了。把一個數平均分成幾份有時是不可能的，除非我們再次擴大數字定義的範圍。為此，我們發明了分數。分數是兩個整數的值，所以它的學名叫作有理數。很遺憾，當接觸到有理數的知識，很多學生就開始感到迷惑，並視數學為恐怖的學問了。確實，除法以及除法的結果產生了不少讓大家迷惑不解的東西。其中最令人抓狂的莫過於描述整體的一部分居然可以有那麼多種不同的方式。

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0.121 221 222 122 22……每一循環節中，2的數目都比前一節中多一個。這樣的小數沒有辦法表示為分數。我們知道，任何分數轉化為小數以後，要麼是有限小數，要麼是無限循環小數，這個結論是可以嚴格地被證明的。既然這個小數既不是有限小數，也不是無限循環小數，它就不可能是兩個整數的比值，也就是說，這是一個無理數。當然，上面的數字是我們硬造出來的，因此，你也許會覺得無理數是十分稀少的。但實際情況恰恰相反，無理數非常多。更準確地說，幾乎所有的小數都是無理數，而且從統計上來看，這些無理數中各個數字的排列是相當隨機的。如果你可以敞開心胸去接受這些奇妙的事實，你就會發現，世界其實是多麼混亂不堪。我們熱愛和熟悉的整數和分數，其實是既稀缺又奇特的；而毫無章法的無理數才是主流。你還記得小學教室里的數軸模型嗎？我們都被它那整齊又無害的外表騙了，沒有人告訴過我們，其實它充滿了混沌和混亂。

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複數是非常偉大的發明，複數是數學的巔峰。複數有著實數的一切美好性質，你可以對它們進行加減乘除的運算。但複數卻比實數更好，因為複數的根永遠存在。你可以計算一個負數的平方根、立方根或者任何根，這些根仍然會是一個複數。更美好的是，我們還有一個相關的偉大定理，那就是代數基本定理。代數基本定理告訴我們：任何多項式的根一定是複數。

這個定理的重要之處在哪裡呢？

它意味著漫長的旅途終於走到了目的地，從此以後，數字的範圍再也不需要擴大了！

在這條漫漫長路上，我們人類走了很多年，這條路的起點是1，終點和最高峰則是複數。

————摘自《X的奇幻之旅》。

以前，連提出個無理數的概念，都是要判死刑的捏。。。

太好了，題主不是畢達哥拉斯派被拉出去餵魚的那一位

希伯斯由於違背了學派的誓言，遭受到殘酷的迫害。不久，他就失蹤了。畢達哥拉斯派的人說，那是海神普賽登懲罰了「叛逆」的希伯斯，海神颳起大風暴衝散了希伯斯的船隊，然後就捲起海浪吞沒了他........。但是，誰會相信這些騙人的鬼話呢？

-----楊絳