在現實生活中的無理數是怎樣存在的？
這個問題深深困擾我多年…即使大學了也忍不住總會折磨我… 嗯，
乃無限不循環小數對吧…它卻可以用直角三角形那個兩邊都是1的開根…那這麼說這兩個1的頂點連線就有了這麼一個存在於現實里卻無限的東西…好奇怪怎麼做到的？還有
也是…周長為
謝腰
1.無理數在現實中隨處可見 你隨便拿一根棍子，那麼它精確的長度是無理數的可能性極大。因為棍子的長度對應一個實數軸上的實數。
而實數軸上"幾乎"都是無理數。一般測量的時候因為保留一定的小數位數，所以呈現的是有理數。2.不需要糾結實數的10進位表示，只是實數的一種表現形式罷了。題主你不要糾結十進位表示是無限的這一點。因為即使是你能夠很好理解的有限小數在十進位裡面也可以無限。比如2.33我可以表示為:2.3299999999.........3.說點正經的。題主可以可以就把無理數理解為，直角邊為1的等腰直角三角形的斜邊長。
或者方程x^2=1的一個解。但是從分析的角度我們應該理解為，度量空間的完備化。
因為Q上的數列不一定都收斂到Q上，所以將它完備化變成R。如此一來。R上的柯西列都收斂，並且收斂到R上。從數論上可以找到證據，比如有理數都是有限連分數表示。然而如果把一個連分數的項一直加下去，來一個極限，那麼結果就是一個無理數。
4.題主看問題不能靠感覺。數學的邏輯是這樣的:世界上的數都是有理數→發現x^2=1的解不是有理數(假設是令x=p/q,推出矛盾)→哦，原來這個世界上有不是p/q形式的數(有理數)
→原來這種數的十進位表示居然總是無限不循環的，好神奇~原來無理數那麼多，打開新世界大門(⊙o⊙)→(有一天又發現)x^2=-1的解居然既不是有理的也不是無理的...................(此處省略一大堆字)總之人們對數域的擴充就是這樣進行下去的樓主問了個很好的問題。回答是，這件事有點繞，得捋。從小到大，有的東西我們被不同的老師教了好幾次，比如a的平方根既是平方是a的那個小數，又是面積是a的那個正方形的邊長；如果我們兩句話都信，就必須多信一點，那就是這兩種說法是一樣的。論證這個相容性的數學非常繁瑣，題主不要去理它。我先用平方根的後一個定義（幾何定義）來試著回答2的平方根如何「存在」於現實中的問題。
這個過程就是題主描述的直角三角形那段的作圖化。給了一條線段長度為單位1，可以用尺規作等腰直角三角形，那它的斜邊長度就是2的平方根。為什麼呢？因為勾股定理，但注意，這裡勾股定理說的平方也必須照正方形面積理解。我們的意思其實是兩個邊長1的正方形裁成幾塊可以湊成一個新正方形。（事實上這個割補也可以用尺規作出來。）總之，假使我們的直尺和圓規都理想，那作圖得到的新邊長就是根號2。你拿單位1的線段去量它，每次量不盡的十等分再量，每量一次就寫下一個小數位，就得到了無限不循環小數1.41421…唯一的遺憾是，現實里我們的直尺不是太直，我們的圓規不是太圓，我們的筆頭還有粗細：新正方形是一個馬馬虎虎的正方形。結果這串數寫著寫著就寫不下去了，根號2就這樣存在於馬馬虎虎的現實中。
那題主的困惑又是什麼呢？大概是所謂的潛在的無限。其實上面的過程中，線段都是定的，每次寫下的小數位也是定的，存在於現實中的一定是有限的一串數字。數學定理只是預言你一直理想地寫下去的話，數字串永遠不會周始而已。不過數學定理並不在經驗世界中，而叫作有實在性，換句話說，根號2是不是有理數是不以人意志為轉移的。
圓周率的事情更麻煩，因為弧長和面積不能由割補定義，需要極限和積分，還要定義三角函數。總之也是有各種東西需要定義，正確定義之後，圓周率的無理性就是一個實在的定理。注意加粗的部分（我知道不必要轉載這麼多但這段太好玩兒了我忍不住）。比方說，他發明過開平方的機器，那東西是一個木頭盒子，上面立了好幾排木杆，密密麻麻，這一點像個烤羊肉串的機器。一側上又有一根木頭搖把，這一點又像個老式的留聲機。你把右起第二根木杆按下去，就表示要開2的平方。轉一下搖把，翹起一根木杆，表示2的平方根是1。搖兩下，立起四根木杆，表示2的平方根是1.4。再搖一下，又立起一根木杆，表示2的平方根是1.41。千萬不能搖第四下，否則那機器就會嘩喇一下碎成碎片。這是因為這機器是糟朽的木片做的，假如是硬木做的，起碼要到求出六位有效數字後才會垮。他曾經扛著這台機器到處跑，尋求資助，但是有錢的人說，我要知道平方根幹什麼？一些木匠，泥水匠倒有興趣，因為不知道平方根蓋房子的時候有困難，但是他們沒有錢。直到老了之後，衛公才有機會把這發明做好了，把木杆換成了鐵連枷，把搖把做到一丈長，由五六條大漢搖動，並且把機器做到小房子那麼大，這回再怎麼搖也不會垮掉，因為它結實無比。這個發明做好之後，立刻就被太宗皇帝買去了。這是因為在開平方的過程中，鐵連枷揮得十分有力，不但打麥子綽綽有餘，人挨一下子也受不了。而且搖出的全是無理數，誰也不知怎麼躲。太宗皇帝管這機器叫衛公神機車，裝備了部隊，打死了好多人，有一些死在根號2下，有些死在根號3下。
王小波《紅拂夜奔》
《什麼是數學》第二章前兩小節（這個說得最好，最推薦）
康托爾、哥德爾、圖靈——永恆的金色對角線(rev#2) （從 大道至簡——康托爾的天才 開始往下看三個小節，看到 實數集和自然數集無法構成一一對應？！）
跨越千年的RSA演算法 （開頭部分）
對角論證法希望有幫助http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Diagonal_argument.svg算了我貼上來吧：算了我還是不貼了，要看自己打開鏈接找。數學的"世界"與我們的現實世界並非完全重合。現實世界中有無理數嗎？沒有數學意義下的嚴格的無理數。一個邊長為一的正方形的對角線長度不是無理數嗎？可是有嚴格的正方形嗎？有長度嚴格為一(m)的宏觀物體嗎？現實世界中有無窮大嗎？宇宙或許都有始有終。你說呢。我們對現實的測量永遠是不嚴格準確的，這可以解答你的疑惑。
數學是現實的抽象與外延，數學中的概念未必有現實中的對應。
無理數是什麼？99.9%的人這輩子都不會知道無理數的本質。人們對於實數的直觀認識是不完備的。即便是數學家們，他們也用了上千年的時間才搞清楚了實數到底是什麼。樓上講進位什麼的完全就是在扯淡嘛！10進位，2進位都是我們用來描述實數的一種工具都不是本質的東西。下面講講無理數的來歷:此處假定已經有了整數的定義。有理數：兩個整數的比值叫做有理數(0當分母請自動排除)，整數也是有理數哦!下面不考慮負數以下是關於戴德金的定義的描述無理數:嚴格的說無理數是一種叫分劃的東西。比如，所有平方比2小的有理數的集合我們將它定義為根號2。
沒錯，你沒有看錯真正的無理數是一種有理數的分劃，然後可以定義這些分劃的運算，不能細講了，打住。要想詳細了解抱歉我只能推薦你去看數學分析。通俗化的解釋？抱歉，沒有。數學基礎這東西，沒法通俗化。數學基礎跟你通俗化地講只會不三不四。就像樓上的答案一樣，逗了半天圈子啥是無理數還是沒說，就事論事，不是人蔘公雞。總結一下吧，不了解無理數是啥就不要再瞎想了。啥？你非要搞懂無理數是什麼。好啊，去看數學分析啊。看不懂，不想看，想要通俗的解釋？騎自行車能上火星嗎？不能。
好孩子！可我還想懂無理數是什麼，555555。一本
瀉藥，我覺得 @沉默的羔羊 的答案已經很通俗了當然你的想法其實是和Hippasus發現無理數的時候的感覺一毛一樣，這種喪心病狂的感覺直接導致了我們的小Hi被其他畢達哥拉斯學派的同學們給沉了。
「數學」作為一個體系來說，其實主要解決的問題就是把這些我們無法理解的東西通過數學變換、模型和理論逐漸變成可以理解的，可以處理的，和可以操作的，這個思路無論是畢達哥拉斯學派試圖通過抹殺無理數，還是到今天試圖解釋世界的各個方面，都是一樣的。
題主你知道得太多了！畢達哥拉斯學派的希伯索斯就是因為發現
喜歡排名第一的答案。確實思維定式是一個理解上的巨大障礙。
如果說題主的問題在於怎麼可能存在一個無限不循環（或循環）小數，那麼讓我提一個問題吧：如何在長度上存在1？或者1是怎麼在長度上存在的呢？
整數並不是只說明數量（不連續），比如一個蘋果，同樣可以表示長度這樣連續的東西。其實在現實中沒有正正好好一米的東西吧，除了定義一米的那個鉑金棒之外。我們只能做出1.0000000000082642786……或者0.999999992637264572……這樣長的東西，也就是說在質疑無理數存在的同時，我們也應該質疑為什麼整數存在。
換一種說法。正因為長度是連續的，如果我們真的恰恰找到了1，那麼如果要到2的話其中必然要經過1.2，1.3，1.4以及根號2，永遠不存在1.4到1.5的跳躍。所以在數軸上一定有一個點的數值是根號2。
所以……呃……連續在數學上是個很神奇的東西。建議了解一下連續和極限之類的概念。
極限（limit）Limit of a sequence補充：在提問中說有無數無限不循環或循環小數逼近整數，其實有很多有理數的數列最後的極限是無理數。
看到一個類似的問題，或許有幫助呢 如何證明根號 2 的存在？占坑，想好了過來答，這幾乎已經不是數學問題了
整理一了一下回到開頭先回答，再闡述觀點
解：現實生活中到處都是無理數，所謂的有理數、整數都是你設想出來的。
觀點：
其實，你以為現實生活中的數字都是有理數嗎？都是整數嗎？拿把尺子量個什麼東西~~~~~（我往下看了看又覺得尺子不夠用）比方說一元硬幣，國家規範，一元硬幣直徑25毫米，拿尺子，用0那根線對準一頭，尺子另一端對另一頭，25mm，沒有錯。假如用放大鏡去看呢？0那根線那麼粗，你把尺子有沒有放到圓點上，25mm那根線又那麼粗，根本不是完全準確的25mm。用遊標卡尺呢？千分尺呢？肉眼看上去沒問題，放大到顯微鏡上看，差遠了去了現實生活里根本沒有準確的數值可用，所有有理數都是理想中，概念上的。
這個觀點自從我懂得了分子的概念我就開始這麼覺得了假如說參考芝諾的做法，把一枚硬幣滾動，從它滾動過大概在10mm的地方和滾過超過50mm的距離上，硬幣肯定滾過了一個長度絕對精確為25mm的點，這件事情肯定發生了，25mm這個長度的確存在，但是在哪一刻滾過的長度才是25mm，這一點又是無法回答的，所以精確的25mm仍然是人為的概念。我這種想法是不是不可知論啊~~~（讀書少，就聽過這個名字）
那麼整數的概念呢？一個蘋果，兩個蘋果，這不是整數嗎？難道還有
3.1415926535897932384626433832795028841971593993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821個蘋果嗎？（我就會這麼多不知道錯了沒）還真有
比方說高中那時晚自習學校停電，我喜歡的那個女生在這張桌子旁邊站著，她是一個人，後來她往前走開了，我又走到了那張桌子旁邊，我又是另一個人，那麼這裡是不是有過兩個人？
不不不不~~~~她是一個人，是由各種元素各種原子組成的，那些原子之間不是完全綁在一起的，最起碼外圍有些原子就會飄動，在空氣中痙攣了一般地飄動啊飄動直至被別的物質吸引住了，我走過來，有些原子就飄蕩到我身上來了，那麼這些原子在她身上時，她是一個人，它們飄蕩到我身上，我身上的原子也飄蕩到不知什麼地方去，怎麼可能還是兩個人呢？我不是大大呀，不知道可以回答一下嗎？並且我的數學也不好。
說圓吧，可能我們見到的圓都不滿足數學裡定義的圓的標準。可能都是通過很多邊形近似畫出來的（以前畫CAD無聊把一個圓放大到很大，結果弧線就變成直線了）。還有啊，我在用圓規畫一個直徑為1的圓，這下不是多變形近似了吧。按道理是畫不出來的，為什麼最後畫出來的了？
以前，我一般是這樣畫圓的。先順時針畫大半個圓，然後逆時針畫大半個個圓。這樣，兩個大半個圓就拼成了一個整圓。可能，我一共畫了4cm，但是圓的周長只有 π cm，沒關係，對不對，重疊的地方就讓它重疊吧，反正我畫了一個圓，哈哈哈哈。
數學不好，但是我知道我的生活中有很多的近似和誤差。所以，我才能見到圓，和直角邊為根號2的三角形。德國科學家克羅內克說：「上帝創造了自然數,其它都是人的作品」。 數學是人發明的，基於幾個公理的邏輯體系，所以是個抽象的東西，所以像圓周率之類的數字因此而存在。而數學定理都是有前提的，前提一變，結論隨之，比如非歐幾何中，圓周率就不等於π。自然界中有離散的1，2，3，比如一根木棍，兩根木棍，但是2cm長的木棍誰也不能保證嚴格是另一根1cm木棍的兩倍長，同樣1cm直徑的石頭圓盤，截面周長也不是嚴格的π cm，大多數數學概念，只存在於抽象世界。
1/3化成小數，再×3，不得1。但如果是3進位表示，就不同了。——————————————1/3就是1/3，不是0.33333....。根號2就是根號2，不是0.414....。小數都只是近似，不能還原。只是在不同坐標系中的映射，並不是同一個東西。
樓上很多答案是誤導。
科普：
有理數即整數和分數，分數可以表示為有限或無限循環小數。無理數，可以用有理數逼近的數（有好幾種定義，此處不再詳述），也可以表示為無限不循環小數。嗯，
並不是無限的東西。你只用兩個符號就將它表示了出來，怎麼能說是無限的？只是表示方法不同而已。
還有
關於圓周率是無理數的證明，請自行百度。（為何不能存在？）
那些整數，總有無限循環或者不循環的數無限接近它們，但是偏偏就差一點點就達到了，那麼這是有限的數字里可以包含無限的東西嗎？
「無限接近它們，但差一點就達到了」這是不正確的。
在極限的意義下，「無限接近」=相等。（0.9999……=1）關於無限的處理是用「極限」定義的，而「極限」的思想就是用有限逼近無限。對於無法用有理數表示的量，可以通過有理數的逼近來表示，這樣就將有理數拓展到了無理數。「無限不循環」不代表「無限的東西」。
事實上，有些數確實不能{用有限的信息}精確表示出來。無理數集大於有理數集，超越數集又大於代數數集。但不能表示不代表不能存在。數軸上絕大多數點都不能表示，但他們依然存在。而這些數的性質通常是我們不需要關心的。
順便多說一下，任何代數數都可以用有限多個有理數表示（多項式方程係數）。如果僅僅想要對數學理論做一了解，推薦《數學：確定性的喪失》，是一部很有趣的科普著作，可能對題主有幫助。你有這樣的疑惑很正常，數論的發展歷史就是先出現有理數（ 畢達哥拉斯 （Pythagqras）），後出現的無理數（希帕索斯（Hippasus)）。人類對無理數的接受過程也花費了很長時間，希帕索斯還因他的理論而被人丟到海里，淹死了。
回到正題，是無限不循環小數，這類數不能表示成兩個整數之比，但可以在數軸上標出來。是客觀存在，但也是難以精確度量的。之所以把這類數叫無理數，就是因為它與人類天性中存在的"萬物可度量"的觀念相違背。反映到數軸上，無理數就填滿了有理數之間的空隙。
你的小學數學老師一定告訴過你：「不在同一平面的東西是不可比較的。」無理數的無限是指它展示出來的數值是無限的，而它確切的大小是有限的，因此是可以被一段線段表現出來的。所以無限隱藏在有限之中這個描述是不準確的，一個是看到的數值，一個是確切的大小。兩者不是一個平面的物體。
題主我想你可能誤會「無限」的意思了。
數分靠背題過的文科生嘗試從文科生的角度答一下：
1. 不是因為周長為而圓存在，而是圓存在然後它的周長為
，並且是在人類的知識體系下它的周長為
，外星人可能就不這麼算。地球上數學家一算，噢原來周長為
的圓半徑為1/2啊，然後n年以後的小學小學老師就開始出題了：已知周長為
的圓其半徑為多少算不出來抽你？
2. 是無理數而1是整數，只是因為這個體系內是如此定義的，完全可以定義
為「1個」新的單位，但是你所說的那個圓並不發生任何變化。
3. 「差一點點就碰到了」……好！可！愛！的！說！法！
這個世界不能沒有我們文科生，不然……文明會失控的文科僧的思維真是沒法理解。
你首先要理解，什麼是存在。
然後要理解，很多存在的東西，不是以你的感受為中心的。只是一種抽象的概念。我下一個定義，邏輯上沒問題，這個東西就存在了。
抽象，你懂嗎？不要這麼自己，想簡單一點，就是它大小確定，且存在，只是不能用有限的小數點的方式來表現它。，所以有
，我們能給出一個明確的上下屆，這東西當然不是無限了。
你大概想到 Arithmetic coding 那邊去了。Arithmetic coding 說白了，就是可以把一段信息編碼成一個實數，所以會有蒙外行的段子說「一個圓周率中包含了世間萬物，包括你的身份證號，不列顛百科的全文，乃至世間一切問題的終極回答」之類，which 不能說錯，但是個毫無意義的結論。
你如果找一個無理數，找一套 codeword，按照 Arithmetic coding 的方法硬解，是能解出一些信息來的（雖然會搞得跟「瓦特太母耶斯耶特」一樣變成按字面來看熵值超高的亂碼）。但這是在特定的語境下，用特定的方法，從一個無理數上得到的信息量。這與這個數的數值大小沒有任何關聯。
如果你看不懂的話，看過忘掉就算了。在紙上畫一個數軸，用飛鏢扎，分分鐘扎出幾十個無理數不是事兒
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