能量本徵態與坐標本徵態為何都能作為空間的一組完備基？
隨便考慮一個系統，例如諧振子系統。任意時刻的量子態都可以展開成能量本徵態的線性組合，也可展開成位置本徵態的線性組合，即為波函數。從數學的角度看，這是因為兩組本徵態矢都構成了空間的完備基，但是能量本徵態集合的勢是可數的，而坐標本徵態集合的勢是與實數集等勢的，兩者為何還能張成同樣的空間。這意味著什麼，有什麼物理理解嗎？
對於量子力學來說，我們總可以找到一個最小化的模型，運用剃刀原理，從實踐角度出發，我們完全可以拋棄「連續」這個條件。可以說，「連續」這個條件是我們一廂情願賦予空間和時間的屬性，但實際上我們不需要，僅僅需要稠密性，就可以建立物理學的理論了。
從數學角度講，這個沒有「連續性」的理論實在是不好看，所以這個問題數學上更喜歡採用另一種方式來解決。保留連續性，但賦予一個奇怪的測度。在這個測度下，我們可以認為連續的坐標基和離散的能量基都是完備的。
說些題外話，實際上對於實際的物理系統，我們會發現能量基其實既是有連續部分的（散射態）,也有離散部分（束縛態）。對於很多情形我們在計算定態微擾的時候可以只考慮束縛態，但在一些特別的情形，我們也需要計算散射態的貢獻。這一點看起來很奇怪，但完備集展開確實就是這麼告訴我們的，而且散射態確實有非0的貢獻。
其實還有其他觀點來理解這個問題，其中之一就是所有的量子化都是「箱量子化」，所有的物理系統總是具有有限尺寸有限時間，真因為系統有限，才具有「量子化」的效應。在「箱量子化」下，我們可以使用離散的基展開量子態（就好像用離散的傅里葉變換來處理有限區間的函數一樣），而且所有的基都是離散的。這個觀點比較激進，雖然比較自然地給出了「量子化」來源，但相比之下還是不那麼令人滿意。我個人比較推薦的理解方式還是從建立物理模型的最小的模型出發去理解。
題主你搞錯了一個問題：你所說的位置本徵態也就是狄拉克函數，不是平方可積的，也即不可歸一化。對應數學的說法，它不屬於希爾伯特空間，代表著物理上不可能達到的狀態，也就是說物理上我們是不承認這樣的一個本徵態的。如果說一定要理解的話，我覺得把物理上允許的本徵態和不允許的本徵態進行比較是沒有意義的。
稍微想了想，發現這果然是個數學問題，還是作罷吧。
其實可以從一個更簡單的模型想起：為什麼任意周期函數都可以展開成傅里葉級數？按說「任意」函數的自由度和傅里葉級數的自由度也有不同的勢呀。
也許「無窮維空間的所有完備集等勢」本身就是錯的。畢竟涉及無窮，萬事都不能想當然，我們還是太年輕，有時很天真。坐等數學大神。話說，我不覺得把位置本徵態剔除出物理對這個問題有幫助耶，我們可以用波包呀，要找到連續統完備集應該不難吧。格里菲斯說過：我相信大部分物理學家只是懷著美好願望希望是本徵函數是完備的。（美式教材就是會賣萌）
李政道證明過一個定理： 一個厄米算符在本徵態無上限的情況下本徵態才是完備的，否則就不是完備的。
所以，我們有理由相信：大部分正常的厄米算符都是完備的。直觀點看，坐標本徵態所張成的空間要比一般物理意義的希爾伯特空間要大。
甚至可以包含不可測的向量
比如函數答案是坐標本徵態是不存在的，不能作為Hilbert空間的基。坐標表象只是物理上處理問題方便，但數學上不嚴格。要嚴格的話需要把Hilbert space擴充成Rigged Hilbert space. 在Rigged Hilbert space里能量本徵態只張成了全空間的一個子空間，坐標本徵態不在這個子空間中。
譜定理啊譜定理。。。。Self-adjoint operator
沒有坐標本徵態，只有坐標表象。與之對應的還有譬如動量表象。即是當用波函數把態表達出來的時候，自變數選取的是坐標還是角動量。
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