BCS-BEC crossover是相變么？

01-05

BCS-BEC crossover是一個體系可以通過調整原子間相互作用強度，使體系從BCS態過渡到BEC態。
這兩個相的序參量都不一樣，可以說這個過渡是相變么？體系的熱力學量在這個crossover的過程中有躍變么？如果是相變，是幾階相變？
不過似乎有人不認為這個算是相變，所以用了crossover而不是transition。
以及，一般認為BEC態破缺了U(1)對稱性，BCS破缺了規範對稱性，這個crossover是如何在這兩種不同的破缺對稱性的態中轉換的呢？

超導體和超流體都是對 $U(1)$ 對稱性破缺相，而規範對稱性不是對稱性也沒有破缺一說（詳見文小剛的《Quantum Field Theory of Many-body Systems》）。

從Landau對稱性破缺相來說，BCS和BEC都是一樣的 $U(1)$ 破缺到 $Z_2$ 的相，擁有非對角長程序（可參考 https://www.douban.com/note/427021178/）。那麼唯象方面也是都用GL理論，GP方程描述宏觀波函數（序參量）。因為它們本質是都是BEC凝聚態。BEC-BCS crossover 說明的是超導體和超流體裡面的Bose condensate不同的形成形式的過渡區：從集體合作鬆散高度重疊的Cooper pairs到bosonic molecules。BEC-BCS之間配對差異在於凝聚態空間重疊程度。

這是因為我們已經了解一對對獨立的Cooper pairs並不能形成BEC凝聚，因為它們根本不滿足Bose對易規則，這也就是說如果形式上強制構造Cooper pair $b^dagger=sum_k varphi_k c_{kuparrow}^dagger c_{-kdownarrow}^dagger$ ，若多體波函數 $|Psi angle_N=(b^dagger)^{N/2}|0 angle$ 當作fermion對凝聚態，那顯然它並不是玻色凝聚態。不妨試一下看看其對易情況：

$egin{align*} [b^dagger,b^dagger]=sumvarphi_kvarphi_q [c^dagger_{kuparrow}c^dagger_{-kdownarrow},c^dagger_{quparrow}c^dagger_{-qdownarrow}]=0\ [b,b]=0\ [b,b^dagger]=sum_k|varphi_k|^2(1-n_{kuparrow}-n_{kdownarrow}) eq 1 end{align*}$

除非在 $n_kll 1$ （緊束縛bose分子BEC極限）下有 $[b,b^dagger]approxsum_k|varphi_k|^2=1$ ，才是fermion對Bose condensate。

在冷原子實驗裡面可以通過調節參量（磁場）來實現BEC-BCE crossover ，其中也可以說可能伴隨著著相變的發生，只不過不是有限溫度的Landau相變，而是零溫下通過參數競爭調製的量子漲落造成的相變。這一方面可以從凝聚態密度以及渦旋晶格的排布距離等方面看到。所以這本質是是一個Bose condensate的怎樣構成的，見下圖：

*關於 crossover 和 (quantum) phase transition

crossover 通常指的是物理系統的參數從參數空間的一個區域變化到另一個區域的情形。例如相互作用強度從強到弱，又或者維度的變化（從一維組態到二維組態）。本質不同的多體系統之間也可以出現crossover過程。總體而言，crossover 指不同參數區或者態之間平滑連續的演化或者過渡（這種行為常常從RG-flow圖可以刻畫）。而量子相變（或者通常的熱力學相變）則相反，從一個系統狀態到另一個狀態的變化是突然的，熱力學量會出現發散。 $ullet$ 例如這裡所討論的BCS-BEC corssover，局域序參量（參數）就表徵著相互作用的強弱，是從強到弱的連續過渡。

$ullet$ corssover 雖然是參數的平滑連續過渡引起，但是也強調了我們總能看到一個個參數區，這是因為系統在不同的參數區的基態也是不同的，而這些區之間可以說也是有邊界的，這也就是說corssover過程中也會出現標度律。例如在一個系統中，其相圖以及參數劃分為幾個獨立的區

這些區是由相應表徵了不同的基態的能量標度 $Delta$ 決定的。而上面的虛線就是這些不同參數區的界限 $Tsim|g-g_c|^ u$ ，參數在這上面平滑過渡並不會引起整體的系統相變而是crossover，當然實際上相變也有可能存在於這些參數區之內。一個典型的例子是Kondo模型，可以從大N極限下將一般的k-通道Kondo模型視為0+1維超導模型去看一看這個well-known的問題。我們知道Kondo耦合是 $J_Kdelta(x)oldsymbol{s}cdotoldsymbol{S}$ ，我們將spin用fermion $chi$ 表示（於是這種fermion叫slave fermion），之後根據spin的symmetry（這裡不僅限於 $SU(2)$ 而可以推廣到一般的 $SU(N)$ -spin），可以表達出：

$J_Kdelta(x)s^a S^a=J_Kdelta(x)(psi_L^dagger T^apsi_L)(chi^dagger T^achi)=frac{1}{2}J_Kdelta(x)left[mathcal{O}mathcal{O}^dagger-frac{q}{N}(psi^dagger_Lpsi_L) ight]$

這就將Kondo耦合表達成一個經典marginal relevant的「double-trace」 deformation 型 $mathcal{O}mathcal{O}^dagger$ 耦合。這裡打引號意思是這個 $psi_L^daggerchi$ 其實並不是一個 $SU(N)$ 指標的矩陣的求跡，而是其行、列矢量的一個縮並。使用Hubbard-Stratonovich變換便可引入平均場 $langlemathcal{O} angle$ 線性化Kondo耦合。所以在大N極限下，一階的鞍點解得到序參量 $langlemathcal{O}(t) angle$ 反映低溫下bosonic field $mathcal{O}(t)$ 凝聚而形成一個平均場「相變」：當 $T>T_c$ 時 $langlemathcal{O} angle=0$ ； $Tleq T_c$ ， $langlemathcal{O} angle eq 0$ 。這個臨界溫度 $T_csim T_K$ 。另外計算關聯函數可發現低溫下 $langlemathcal{O}(t)mathcal{O}^dagger(0) anglesimfrac{1}{t^{1/N}}$ ，意味著 $N o+infty$ 下時間關聯發散，整個模型的 $SU(k) imes U(N_f) imes U(1)_c$ 對稱自發破缺（剩下對角元）。當然0+1維的SSB是不可能真實存在的（https://en.wikipedia.org/wiki/Mermin%E2%80%93Wagner_theorem），這個結果實際意味著大N極限抑制長時間漲落（這種漲落會破壞上面提的序），因此大N極限告訴我們這個單雜質系統裡面在 $T_c$ 附近並不會發生尖銳的相變，而是平滑的基態過渡（crossover）。於是 $mathcal{O}(t)$ 的凝聚的直觀物理圖像呈現是 $psi_L$ 與 $chi$ 結合到一起形成Kondo單態。

（想對Kondo物理理論了解更多的可以閱讀：https://chaoli.club/index.php/1959）

不是相變... 序參量本質上是一樣的, 而且在整個 crossover 的過程中連續變化.

先說實驗. 因為在 BCS-BEC crossover 中間的 unitary region 是強相互作用的, 因此我們其實沒有特別好的理論去描述它. 在這個 region 里有沒有發生相變, 最終是實驗說了算.

在拓撲學在物理研究中有哪些具體應用？ - andrew shen 的回答中, 我提到了 vortex 這樣一個拓撲激發. 拓撲激發直接反應了基態破缺的對稱性. 因此我覺得下面這個實驗最直接地顯示出在整個 crossover 中都破缺了 U(1) 對稱性:

(實驗來自 Vortices and superfluidity in a strongly interacting Fermi gas : Abstract : Nature)

在整個 crossover 中, 系統的狀態方程也是連續變化的, 因此有充分理由相信在這個過程中沒有相變發生:

(實驗來自 The Equation of State of a Low-Temperature Fermi Gas with Tunable Interactions)

再說理論.

其實從零溫的平均場看 BCS 和 BEC 就是用同一個波函數所刻畫的, 這一點最早是由 Leggett 發現的: BCS 的基態是 $| Psi angle=prod_{k}(u_k+v_k c_{-k,uparrow}^dagger c_{-k,downarrow}^dagger)|0 angle=expleft(sum_kfrac{v_k}{u_k}c_{-k,uparrow}^dagger c_{-k,downarrow}^dagger ight)|0 angle$ . 如果定義 $b^dagger=sum_kfrac{v_k}{u_k}c_{-k,uparrow}^dagger c_{-k,downarrow}^dagger$ , 那麼 $| Psi angle=expleft(b^dagger ight)|0 angle$ . 如果 $b^dagger$ 是玻色子算符, 那這就是 BEC 的基態. 可以證明在 BEC limit 下 $b^dagger$ 確實滿足玻色子算符的對易關係.

從有限溫的微觀理論出發能最清楚看出來這一點的是 time-dependent Landau-Ginzburg theory, 其最早用於 BCS-BEC crossover 的是這篇文章: Phys. Rev. A 74, 033603 (2006).

大體說來, 從一個描述費米子的微觀理論 $S=int d au d^3x left(ar{psi}_{sigma}(partial_ au-frac{ abla^2}{2m}-mu)psi_sigma-gar{psi}_{uparrow} ar{psi}_{downarrow}psi_{downarrow}psi_{uparrow} ight)$ 出發, 用 Hubbard-Stratonovich 變換, 引入一個輔助場 $Delta( au,x)$ , 使得相互作用項變為 Gaussian 的: $ar{Delta}psi_uparrowpsi_downarrow+mathrm{h.c.}$ . 積掉費米子場, 我們得到一個關於 $Delta( au,x)$ 的有效理論: $S=int dt d^3xleft(ar{ abla}(gammapartial_t-frac{ abla^2}{2m^*}-r)Delta+frac{b}{2}ar{Delta}ar{Delta}DeltaDelta ight)$ .

在 BEC limit 時, $Delta$ 的運動方程就是 GP 方程. $Delta$ 就是描述凝聚體波函數相位的序參量.

在 BCS limit 時, $Delta$ 就是 Cooper pair 場.

在整個 crossover 中, $Delta$ 都是連續變化的:

你問的這個問題太好了，我上課時就有類似的問題（當然沒有你問的這麼專業）。上課的老頭聳聳肩說，他也不知道。大牛給了幅相圖 (Zwerger, Wilhelm (Ed.) 2012, The BCS-BEC Crossover and the Unitary Fermi Gas, Lecture Notes in Physics, Vol. 836) .

對於相變和交叉，Chevy, Salomon, Leggett, Zhang 是這麼說的，

另外，對於你耿耿於懷的相變，

翻譯一下，大致是說，在基態時，BCS到BEC是交叉不是相變（就是從圖中藍色部分過去），一直都是超流相；在激發態時有人認為是個量子相變，在a=0附近有個能隙（就是從圖中黃色的部分過去）。樓主你讀讀這個講義，然後給大家講講唄。

不太懂凝聚態。從和凝聚態同學的聊天中，我是這麼理解的：BCS得到了一個帶電-2的quasi-particle，這是一個scalar，在BEC過程中（我傾向於認為這是一種相變，是幾階應該依賴於這個scalar potential的形式，包括高階修正），這個scalar得到非零期望值，所以破缺了U(1)電磁規範對稱性。BEC之前應該是沒有破缺的吧。

外行淺見，坐等大神。

不是相變，要不然為什麼非得發明一個新詞叫crossover。。。。。。

如果從序參量的角度來看，連續變化，不是相變