哥德爾定理是否支持不可知論？

01-05

哥德爾不完全性定理的意思是：數學意義上的「真」和「可證」是兩個不重疊的概念。
更進一步的意思是，基於可滿足性定義的「真」，和，基於句法推演證明的「可證」，是兩個不重疊的概念。
舉一個例子來說明句法推演和語義滿足之間的區別，我們分析的對象是這個命題 $p ightarrow p$ ：
通過句法推演這種手段，我們要做的事情是證明：在 Hilbert 公理系統下，由系統的前兩條公理 $p ightarrow (q ightarrow p)$ 以及 $(p ightarrow(q ightarrow r)) ightarrow ((p ightarrow q) ightarrow(p ightarrow r))$ 以及恰當的推理規則可以得到 $p ightarrow p$ ，即， $p ightarrow p$ 是可證的。

(1) 根據代入規則，分別將公理 2 中的 p、q、r 替換為p， $p ightarrow p$ ，p，得： $(p ightarrow((p ightarrow p) ightarrow p)) ightarrow ((p ightarrow (p ightarrow p)) ightarrow(p ightarrow p))$
(2) 根據代入規則，分別將公理 1 中的 p、q 替換為p， $p ightarrow p$ ，得： $p ightarrow ((p ightarrow p) ightarrow p)$
(3) 由 (1)、(2) 根據 MP 規則，得到： $(p ightarrow (p ightarrow p)) ightarrow(p ightarrow p)$
(4) 根據代入規則，分別將公理 1 中的 p、q 替換為p，p，得到： $p ightarrow (p ightarrow p)$
(5) 由 (3)、(4) 根據 MP 規則得： $p ightarrow p$ ，即為所證。

很複雜是不是？
要說明 $p ightarrow p$ 在語義上是真的，很容易說清楚：

p 的賦值是 T 的時候， $p ightarrow p$ 為真；
p 的賦值是 F 的時候， $p ightarrow p$ 也為真；
因此， $p ightarrow p$ 在所有賦值下都得到滿足，即， $p ightarrow p$ 是重言式（永真式）。

句法系統中沒有真和滿足的概念，只有代入，替換，MP 規則，等值替換（如果已經證明了 $phi leftrightarrow psi$ ，那麼我們可以將公式中一個或者多個 $phi$ 的出現整體替換為 $psi$ ，並且不改變命題的真值）……

而另一方面，語義系統中沒有證明和推演（演算）的概念。
對於一階邏輯和命題邏輯來說，給定一個合適的語義，我們總能找到一個合適的句法證明系統，使得這個系統中所有可證的命題都是真的，所有真的命題都是可證的。前半部分叫做弱可靠性，後半部分叫做弱完全性。這也就是所謂的一階邏輯的（弱）可靠性完全性定理。
強可靠性和強完全性的定義需要依賴句法推演（句法後承）和語義推演（語義後承）這一對概念。

語義後承（semantic consequence），符號是 $models$ （models）。語義後承在一般情況下是連接一個命題集合和一個命題。如果，在任何一種語義賦值下，只要命題集合 $Sigma$ 中的每一個命題都為真，那麼 $phi$ 就一定為真，那麼，我們就說 $phi$ 是 $Sigma$ 的語義後承，記作 $Sigmamodels phi$ 。

句法後承（syntactic consequence），符號是 $vdash$ （vdash）。句法後承的用法和語義後承類似，也是連接一個命題集合和一個命題，如 $Sigma vdashphi$ ，表示的是 $phi$ 可以通過句法證明的方式從命題集 $Sigma$ 中得出。即，存在一個證明，使得每個前提要麼是公理，要麼是 $Sigma$ 中的命題，而證明的結論是 $phi$ 。具體來說，一個證明是一個命題序列，其中每個命題要麼是公理，要麼是前提，要麼是由前面的命題通過證明規則得到的。其中最後一個稱為結論。
另一種定義句法後承的方式如下：說 $phi$ 能從 $Sigma$ 中推出，如果（ $phi$ 是可證的，或者，）存在公式 $psi_1,ldots,psi_nin Sigma$ 使得 $(psi_1wedgeldotswedgepsi_n) ightarrowphi$ 是可證的。如果 $phi$ 不能從 $Sigma$ 中推出，則記為 $Sigma otvdashphi$ 。但是這種定義本身依賴於我們良好地定義了 $vdashphi$ 這個概念。而說一個命題 $phi$ 是可證的，自然就是說存在一列命題，這一列命題中的任何一個命題要不然是公理，要不然是根據之前的命題通過推理規則得到的。並且這一列命題中的最後一個命題是 $phi$ 。

強完全性寫作：如果 $Sigmamodelsphi$ ，那麼 $Sigmavdashphi$ 。強可靠性則是倒過來。
另外一個值得注意的事情是不一致的概念。不一致是一個句法意義上的概念，而不是一個語義概念。它被這樣定義：如果 $Gamma otvdashot$ ，則這個公式集 $Gamma$ 是一致的，否則，是不一致的。符號 $ot$ 代表句法符號假，當然，如果我們一定要避免語義的真假所產生的混淆，可以用公式 $pwedge eg p$ 代替這個符號。
哥德爾不完全性定理所說的是，任何一個表達力不弱於 Peano 算數系統的邏輯公理系統，要麼是不一致的（說系統是不一致的即是說系統本身可以推出公式 $pwedge eg p$ ），要麼是不完全的。這裡的完全性是指弱完全性，自然不是弱完全就不是強完全的。不是弱完全的即是說存在不可證明的真命題。存在不可證明的真命題。
看不懂是吧，看不懂沒關係，哥德爾不完全性定理說的就是：

有兩個你看不懂的概念，在特定的條件下它們是不同的！
人腦（人類語言）的不完備性對應出來體現在這樣一個地方：我們到底能不能證明下面這個 p？p 說的是：

p 是不可證明的。

當然，由於人類的語義和句法推演經常混淆在一起，並且自然語言是非常模糊的，所以這個例子本身是沒有太大的說服力的。但是如果我們能像在數學中那樣清楚地分出證明和語義的概念，那麼就……
請注意，數學中雖然有不完全性定理可能成立的情況，但是從來沒有不可靠的情況，也就是說，凡是數學家證明出來的東西，它都是（在對應的語義下）真的。從這個意義上來說，不完全性定理對於數學並沒有我們想的那麼大的破壞。甚至，根本沒有破壞。因為實際上任何數學分支中的哥德爾句都是一種非常難的，幾乎不可能出現的，生造出來的表達式，數學家們自己根本就見不到要處理哥德爾句的情況。

不完全性定理不是不可知，只是不可證。
我們知道一個公理體系的一些句子是真的，但證不出來——但你總歸知道它為真。
這個定理意義在於揭示真與可證性在外延上並不相等，和測不準原理一樣並不站在神秘主義者一邊。

不知道什麼是不可知論。但不完備定理的確動搖了數學的柏拉圖主義，就是數學的確定性，既一個關於自然數的命題（如哥德巴赫猜想）要麼真要麼不真。
不完備定理有哪些顯著的哲學影響？ - mathiq galory 的回答
但這和丘奇圖靈論題無關。圖靈論題中嚴格證明了一些定義（由不同的人提出）之間的等價關係。然後，圖靈據此說，這個概念就是我們一直以來直覺上的可計算（可操作）這一概念。之所以圖靈論題不是嚴格的數學命題，因為可計算本身並不是嚴格的數學概念，它只存在於我們的直觀里。圖靈只是因為很多致力於刻畫可計算的定義給出了相同的概念而相信存在可計算的嚴格數學描述（就是那些相互等價的定義給出的描述）。但萬一有天有人給出了同樣符合可計算直觀但不等價的定義呢（無法證明這種情況不存在）。當然，絕大多數數學家相信圖靈論題。此外可以看出，圖靈論題不是通過實驗證明的。

因為原文中寫不可知論描述世界第一性質為不可知，會誤導不懂的人，誤認為不可知論是一種本體論。雖然這樣的描述沒有什麼大的問題，但鑒於我們需要更清晰地分清不可知論是一種認識論，其產生本就意在弱化本體的重要性。所以進行了少量修改。
-—-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------是證明了，不是支持。它是能夠直接邏輯推理出來的，文章最後推一下。高一獨立從語言描述推出等同於哥德爾不完備定理結論的路過。那時候學政治，一開始思考意義是什麼？年少輕狂嘲笑思考意義瘋掉的哲學家，並評價道尋找意義或懷疑一切必先找到依託，意義本身不能解釋自身的意義。(不過結果是大學四年為了感受懷疑感官的不真實性自己也有段時間陷入其中。)那個時候政治課剛好講到悖論，其實主要是就羅素悖論(後來才知道，之前自己叫它自定義悖論，因為只要出現定義自己的命題，必出現悖論)，其實和尋找意義的本質是一樣的。
其實內容也不難，不過需要用數學語言表達出來還是有一定的難度，特別是用數學語言自指，不過用簡單的語言講還很簡單的(在用語言描述理解之後有方向地推理難度也能接受)。悖論的出現是因為自定義，只要自指就難免出現矛盾。設定系統a，必然能找到一條不能證明為真也不能證明為偽的推論，(其實含義就是系統a，自指後會出現矛盾，即不能自證)而不得不引入系統b，雖然系統b能協助證明系統a但系統b也不能只證，整合系統ab為系統c，但是c仍然不能自證，類比得出結論:任何系統都能找到一條不能證明且不能證偽的命題。推論任何系統的完備性都需要其他系統輔助得來，即可用來自證自身相容性的系統是不相容的。不過有特殊情況，"此命題是不可自證的。"但這不就是不完備定理本身？用數理邏輯的回答可以看羅心澄大神的回答。
不可知論是指世界是不可全知，這種不可知不是技術或科學方法的提高能解決的。或者說世界的第一屬性是不可知的(注意不是不可認識)，這是一種認識論，不是本體論。維基百科沒給可知論定義，不可知論有但是也沒給定義介紹內容基本都是對神的看法，這是因為維基百科的學術嚴謹性導致的，每當我想研究問題就難免遇到這種情況……但是馬哲上說的詳細所以百度上有，順便推翻一波唯物辯證主義
唯物論唯心論這些本體論一邊去，世界是不可知的。休謨同時是實用懷疑主義者，主要體現在其懷疑或者說知道歸納法的局限，但是推崇歸納法(同時嘲笑演繹推理的效率低和先驗性)。雖然我們的感官認識的世界是不真實的，但是我們離不開這些感官來間接認識世界(懷疑感官是可以的，但依靠是絕對的，即我們不能離開感官來懷疑感官)。即使推演法歸納法不是絕對靠譜的，但是我們能夠通過實驗/實踐的方法不斷驗證我們的結論。

好了，接下來大部分人不明白不完備定理和不可知的關係，那隻好手推了。
世界不存在不能認知的事物/命題/系統。首先這是一個全稱命題，我們能找出其相反的特稱命題，但是它解釋說那是因為我們當下認知能力的局限性。現在嘗試讓它自指，世界不存在不能認知的事物/命題/系統是不存在的(但最終是可以的，之所以認識不到是因為我們當下認知能力有限。)如果存在自相矛盾，如果不存在自相矛盾。證畢。
世界是存在不可認知的事物/命題/系統。嘗試自指，世界存在不可認知的命題/事物系統這個命題/事物/系統是可以被認為不可完全認知的(之所以展開是怕有人把不可知理解錯)。如果存在，自洽，不特么廢話，說自己是自己。如果不存在，矛盾，所以存在。證畢。
和數理邏輯推理的關鍵之處都一樣，在於巧妙的命題構造出含義為真但是命題的兩面都可以證明。
世界是不可知的，但是是可以認識的。

哥德爾好像自己私下說過人腦有直達真相的能力

在讀Jaynes的Probability Theory正好看到講哥德爾定理的這節，發現Jaynes講的很有趣，轉述下書里的話：
「哥德爾定理——在數學系統中存在我們無法判斷的真命題——給當時的邏輯學家帶來了很大的心理打擊。但是仔細想想，其實有一大堆命題是不能根據演繹邏輯判斷的。比如說，我們常常會遇到這樣的情況：能證明某個集合中存在具有某種性質的元素，但是又不能明確地列舉出這些元素（存在性的證明）。舉個例子，有兩個人A，B目擊了某個事件後對這個事件給出了完全相反的兩份證詞，然後都死了。根據演繹邏輯，我們很容易知道其中有個人在撒謊，但是在給出更多的信息前，你不能確定誰在撒謊。」
仔細想想這段話，在Jaynes所舉的這個例子中，確實存在一個真命題（命題p：A撒謊or命題q：B撒謊）是你所不能判定的（通過邏輯推演確定其為真），但「這種不確定性不是命題本身的屬性，而只是缺乏足夠的信息」。
我自己並沒有研究過哥德爾定理，所以如果有錯誤，歡迎指正:P。

是哥德爾定理說明了了本質不可知

哥德爾關於不完備性的分析適用於【可數的】的邏輯系統：比如康托對角線法所揭示的、如果假設可判定命題的數量是可數的、那麼在可判定命題之外可以構造出不可判定的命題
但是上述結論可能不適用於【不可數的】邏輯系統~~

因為它本身是一個定理，揭示了世界上一個普遍的規律，而且這個定理是人類發現的，人類知道了這個規律，而且這個定理的內容與「是否可知」有關。連這麼抽象的定理，人類都能證明出來，毫無疑問說明了人類的智慧是很高的，這是可知論的一大勝利。

我能說圓滿即止止非無量么。。。。

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