理論力學有什麼作用?

01-05

從理論力學的最主線的劇情，大概是對於單演力學體系( Monogenic System )的研究：

完整體系( Holonomic System )的Hamilton原理：
如果受到完整約束的體系的自由度是 $s$ ，則可以選取 $s$ 個廣義坐標 $(q_1,q_2,cdots,q_s)$ 來描述系統的位形，並且同時可以給出廣義坐標到常意坐標的變換關係 $mathbf{r}_i=mathbf{r}_i(q_1,q_2,cdots,q_s;t)$ 。據此我們可以尋找到系統的速度表達式 $mathbf{v}_i(q,overset{.}{q};t)=dfrac{mathrm{d}mathbf{r}_i}{mathrm{d}t}=sum_{k=1}^sdfrac{partial mathbf{r}_i}{partial q_k}overset{.}{q_k}$ ，進而寫出系統的動能和勢能的表達式 $T(mathbf{v})=T(q,overset{.}{q};t)$ 與 $V(mathbf{r})=V(q;t)$ 。最後，我們定義系統的Lagrangian為 $L(q,overset{.}{q};t)=T(q,overset{.}{q};t)-V(q,overset{.}{q};t)$ ，把它對時間積分，定義出作為 $q(t)$ 泛函數的作用量 $S[q(t)]=int_{t_1}^{t_2}L(q,overset{.}{q};t)mathrm{d}t$ 。有了上述準備，我們就可以給受到完整約束的體系的運動規律做一個很簡潔的描述，也就是Hamilton原理：如果已知某個運動在位形空間( Configuration Space )中的起點和終點，那麼在所有連接著這兩點的（超）曲線里（對應不同的 $q(t)$ ），實際發生的運動是使得作用量 $S$ 取駐值的那一條（即 $delta S=0$ 的那一條）。很顯然，在這樣的第一性原理下， $q(t)$ 顯然完全由體系的Lagrangian $L(q,overset{.}{q};t)$ 決定，在數學上，這樣的 $q(t)$ 的變分問題可以轉化成 $q(t)$ 的微分方程，也就是大家熟知的完整體系的Euler-Lagrange方程 $dfrac{partial L}{partial q_k}-dfrac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}dfrac{partial L}{partial overset{.}{q_k}}=0$ 。
完整體系的Hamilton正則方程：
如果你獲得了完整體系的Lagrangian $L(q,overset{.}{q};t)=T(q,overset{.}{q};t)-V(q,overset{.}{q};t)$ ，那麼，你總可以通過一個Legendre變換來變換體系的Lagrangian，這個變換是對 $overset{.}{q}$ 做的。我們令 $p_k=dfrac{partial L}{partial overset{.}{q_k}}$ ，進而得到Lagrangian的變換後的函數Hamiltonian $H(q,p;t)=sum_{k=1}^s p_koverset{.}{q_k}-L(q,overset{.}{q};t)$ ，只是注意其中的 $overset{.}{q_k}$ 應該利用變換 $p_k=dfrac{partial L}{partial overset{.}{q_k}}$ 寫成 $(q,p;t)$ 的函數 $overset{.}{p_k}=overset{.}{p_k}(q,p;t)$ 。至此我們已經把描述系統的狀態參量由 $(q,overset{.}{q})$ 改寫成了 $(q,p)$ 。根據Legendre變換的性質，我們可以把 $L(q,overset{.}{q};t)$ 所滿足的微分方程改寫成 $H(q,p;t)$ 所滿足的微分方程: $overset{.}{q_k}=dfrac{partial H}{partial p_k}$ 和 $overset{.}{p_k}=-dfrac{partial H}{partial q_k}$ 。在這裡，我們利用Legendre變換把體系的Lagrange運動方程（ $s$ 個二階常微分方程）轉化成了Hamilton運動方程（ $2s$ 個常微分方程）。類似Lagerange的思路，你可以構造一個在Hamilton思路下的作用量，再用最小作用量原理來作為力學系統運動的一個很簡潔的第一性原理：修正的Hamilton原理（其實原來的Hamilton原理並沒有什麼錯誤TT，我只是不知道該怎麼翻譯Modified了而已TT）。事實上，這個作用量是從 $overset{-}{L}(q,p,overset{.}{q},overset{.}{p};t)=sum_{k=1}^{s}p_koverset{.}{q_k}-H(q,p;t)$ 構造的： $S=int_{t_1}^{t_2} overset{-}{L}(q,p,overset{.}{q},overset{.}{p};t)mathrm{d}t$ 。

從這些主幹，我覺得可以看出理論力學到底有什麼用。

最根本地，理論力學說明了正確的理論可以有不同的形式。對於力學系統的演化，你既可以說由 $mathbf{F}=mmathbf{a}$ 決定，也可以說是由（上面兩個之中的某一個）最小作用量原理決定的。這雖然看起來千差萬別，但無可辯駁地完全等價。事實上，如果我們做一些數學上的準備，我們很容易可以從Lagrange方程出發，來證明 $mathbf{F}=mmathbf{a}$ 和最小作用量原理等價。如果你夠仔細的話，甚至發現理論力學裡連力的概念都沒有引入。這也告訴我們，不僅規律的描述可能千差萬別，還有可能在某個理論體系里所定義的量，在另一個體系里就是沒有必要的。
然後，理論力學解決問題有著固定的步驟。顯然從上面的敘述中可以看出，你不必費事就可以得到系統的運動方程，因為事實上系統的勢能和動能函數是不難獲得的。牛頓力學裡，你又是還需要十分的洞察力才能把每個粒子的牛頓運動方程化簡成完全相互獨立的常微分方程。
其次，理論力學很好的處理了約束。如果你曾經用 $mathbf{F}=mmathbf{a}$ 來解決一些複雜體系的力學問題，你就會發現過程有多麼的不堪。比如，如果我們要研究平面n節混沌擺（簡潔起見，擺是由輕桿和安裝在鉸鏈處的重小球組成的），我們發現系統的自由度是 $n$ ，那麼我們就可以選取 $n$ 個擺的鉛錘角 $( heta_1, heta_2,cdots, heta_n)$ 作為廣義坐標，並且迅速地給出系統的Lagrangian，並且列出 $( heta_1, heta_2,cdots, heta_n)$ 的微分方程。然而同樣的目的，用 $mathbf{F}=mmathbf{a}$ 幾乎是不可能達到的（你會受到很多約束力的阻礙）。原因在於理論力學很好的處理了約束力的概念，不同於牛頓力學依賴「應運而生」的約束力力來約束物體，理論力學認為約束是減小了系統的自由度（也就是減小了系統實際可以運行的位形空間的維度）。這樣一來就避免了牛頓體系中對於約束力的複雜的消去過程。
還有，理論力學便於發現守恆量。

在Lagrange體系中，我們做一定的數學推導便可以證明Noether定理：如果對描述體系 $L(q,overset{.}{q};t)$ 的廣義坐標做一個（非退化的）的單參數變換 $Q_k=Q_k(q;t;epsilon)$ ，在這樣的變換下，如果系統的Lagrangian滿足 $L_epsilon(q,overset{.}{q};t)overset{ ext{d}}{=}L(Q(q;t;epsilon),overset{.}{Q}(q,overset{.}{q};t;epsilon);t)=L(q,overset{.}{q};t)+dfrac{mathrm{d}F(q;t;epsilon)}{mathrm{d}t}$ ，那麼這標誌著體系會擁有一個守恆量 $Gamma(q,overset{.}{q};t)=sum_{k=1}^{s}dfrac{partial L}{partial overset{.}{q_k}}left(dfrac{partial Q_k}{partial epsilon} ight)_{epsilon=0}-left(dfrac{partial F}{partial epsilon} ight)_{epsilon=0}$ 。這個定理說明了在力學體系里，如果系統的某種對稱性被一個坐標變換反映出來了，那麼這個系統就可以找到一個守恆量。這是非常抽象並且深刻的洞見（你在牛頓體系里也可以通過分析一些對稱性來獲得守恆量，但是Lagrange體系下，這樣做方便很多），知道現在「對稱性－守恆量」的對應，仍然是發現物理規律的靈感來源之一。
在Hamilton體系里，獲得守恆量更為方便。

如果我們定義Poisson括弧 $[f(q,p;t),g(q,p;t)]=sum_{k=1}^{s}left(dfrac{partial f}{partial q_k}dfrac{partial g}{partial p_k}-dfrac{partial f}{partial p_k}dfrac{partial g}{partial q_k} ight)$ ，那麼對於任何一個力學量 $Gamma(q,p;t)$ ，它的運動方程可以寫成 $dfrac{mathrm{d}Gamma}{mathrm{d}t}=[f,H]+dfrac{partial Gamma}{partial t}$ ，如果這個等式的右端為0，那麼我們也可以斷言 $Gamma(q,p;t)$ 就是一個守衡量。
更加誘人的是，可以證明兩個力學量 $Gamma(q,p;t),Theta(q,p;t)$ 的Poisson括弧的變化率滿足 $dfrac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}[Gamma,Theta]=[dfrac{mathrm{d}Gamma}{mathrm{d}t},Theta]+[Gamma,dfrac{mathrm{d}Theta}{mathrm{d}t}]$ ，那麼這意味著守恆量還可以通過做Poisson括弧來生成新的守恆量！這簡直包含了對系統守恆量的無法估量的洞察力。如果進一步利用正則變換( Canonical Transformation )（保持變換後的體系仍然是Hamilton體系，可以被某個Hamilton函數 $K$ 生成的Hamilton方程來描述）的性質，再加上Hamilton-Jacobi理論來構造特殊的正則變化，那你甚至可以直接讓系統的新狀態參量變成守恆量……。

你簡直無法想像理論力學裡有多少種方法來獲得守衡量。

並且，最小作用量原理很容易被用來構造其他的物理理論（的一個描述），這讓人覺得好玩並且優美。形象地說，如果你要求解 $3x-2=0$ 這個方程，那麼你可以解決作用量為 $S=dfrac{3}{2}x^2-2x$ 的最小作用量問題。前者類似於牛頓力學的風格，後者類似於理論力學的風格。事實上，你在做同一件事。
最後，Hamilton力學很容易過度到量子力學。如果你對Hamiltonian中的某些量與量子力學裡的某些算符做一個對應的話，你可以直接從經典力學的Hamilton量過渡到量子力學的Schr?dinger方程（你並不是推導出Schr?dinger方程，因為Schr?dinger是量子力學的第一性原理）。

最後借用我們理論力學老師給我們講「為什麼要研究」的時候提到的The Big Bang Theory里的一句話，來作為收尾，這也許說明理論物理學家構造簡潔優美理論時的情懷：

Because we can.

說道理論力學有什麼用，我覺得，就是告訴我們，力學問題都是幾何問題，都是內嵌在我們的空間中的，是空間的固有屬性（大誤）。。當然，最小作用量原理才是決定動力學的最高原理，不管我們的空間的幾何結構怎麼變，最小作用量原理始終幫助我們給出動力學系統。

理論力學裡有兩本書是令我印象深刻的。。

一本是朗道的力學，讓我感覺，物理學家對力學問題的處理簡直出神入化，尤其是到了哈密頓體系後，哈密頓-雅可比方程簡直是神器。。

另一本是阿諾爾德的經典力學的數學方法，讓我感覺，數學家比物理學家更懂理論力學。。（大概就是這本書讓我走火入魔了。。）

隨手貼幾張圖你們感受一下。。

以上圖片來自《經典力學的數學方法》，中文翻譯版。。

兩條脈絡：

拉格朗日力學中最小作用量原理，由此推出歐拉拉格朗日方程。

泊松括弧，從勒讓德變換開始。

其他的都是橫枝末節，記得這倆基本的，考慮約束問題，就搞定了。

至於作用，倆分別對應兩條脈絡：

諾特定理求守恆荷。

量子力學。

守恆荷的作用是構造代數結構，從而構造希爾伯特空間。
量子力學的作用是約束希爾伯特空間。

最終目的是構造完整理論，兩條路缺一不可。

分你是理科還是工科吧。

如果你學工科比如建築，理論力學主要核心應該是虛功原理等等。然後你就可以求解實際的材料的靜力學形變、平衡等等問題(我記得我看的第一本理論力學就是建築的，通篇在講各種奇怪的架子的受力和平衡)。理論力學在這裡提供了一整套算出數的方案。然後掌握了剛體的這些東西就能開始學材料力學和結構力學這種有彈性的物體的力學了。

如果你學理科但不是學物理的，理論力學就是提供了一種普適求解力學問題的方法，幫助大家練習微積分技術，還可以湊學分。

如果你學物理，理論力學在經典牛頓力學的範疇下提供了一整個物理理論的框架：最小作用量原理；Lagrangian/Hamitonian formalism；Euler-Lagrange/Hamilton canonical/Hamilton-Jacobi方程；諾特定理。然後上面本身有很多很好的數學結構，比如很多學到廣相接觸到的幾何觀念，如流形、切空間、餘切空間(比如其實第一個能夠接觸到的1-形式其實是pdq)、協變導數、李導數、聯絡等等其實已經出現在力學裡了。如果當時就能學到這些數學的話可以從一個更高的觀點去看以前的很多奇怪的問題：比如對哈密頓量變分的時候p.q是不是獨立的。

後面的數學我也不太懂就挑知道的說。經典力學本身有一個辛幾何的結構，因此提供了一個幾何量子化的很好的方案。而且經典力學的可積性問題是well-defined(不像量子可積系統「可積」這個詞的意思很模糊)，因此涉及了很多嚴格的數學。比如熟悉的正則變換的角變數其實就是可積系統的一個正則坐標。還有比如說天體運動(有心力場)中間有一個隆格-楞次矢量這樣使得整個系統變的完全可積了以後有很多很好的性質。。

總之理論力學是一門邏輯非常自洽，體系非常優美，數學非常深刻，應用也非常廣泛的學科，它是很多高深理論的基礎。

首先，理科與工科專業學習的理論力學課程內容是不同的，儘管它們都叫理論力學。

工科專業學習的理論力學主要研究的是工程材料上面的受力分析及其動力學方程，涉及分析力學的內容很少，甚至有些教材根本就不引入拉格朗日方程那一套東西。因此，工科專業學習的理論力學更像是牛頓力學的延伸，是材料力學、結構力學等課程的基礎。

理科專業學習的理論力學基本就是分析力學那些東西了，這個就不解釋了，四大力學之一同樣也是基礎，學不好這門課，後面的課程學起來會比較難受。

理論力學是宏觀力學的基礎，也是三大力學最基礎的課程。理力的研究模型是剛體，研究內容為靜力學，運動學和動力學。其中學到的靜力平衡，力的合成與分解，坐標系，能量方程，都是解決各種力學問題的基本知識。

讓你懷疑人生

對剛體系統進行建模

要進隊的孩子的裝逼神器（不是我！！！！！）

牛頓力學的延伸，引入分析力學，為量子力學打基礎

遇到有什麼用之類的問題我一般回答：

沒什麼用，你開心就好。

看了排名第一的答案，覺得問題解決得很完善，形式長得遠沒有F=ma漂亮。求一個更high level的解釋（就是所謂說人話），直觀上說說裡面的各種Hamilton和Lagrange。例如說「系統的Lagrangian」的數學定義這個形式有什麼直觀含義，為什麼長這樣。為什麼正好滿足某種意義的最值就正好是表現在世界上的運動形式。物理盲表示很感興趣，但是單看現在的答案還是不能理解到位。相信理論物理的世界是美的，而且翻譯回來人類的世界也不影響它的美。

工科生表示理論力學作用是為了材料力學、結構力學、流體力學和彈性力學服務。

它們是一夥的

教你如何處理畫不了受力分析圖的問題！