為什麼二階導數要這麼記d^2y/dx^2？

01-05

$frac{ d^{2}y }{dx^{2}}$ 形如這樣的形式

對 @Milo Yip 的答案有些補充。

然而事實上是這樣的： $mathrm{d}^{2}y=mathrm{d}(mathrm{d}y)$ 是二階微分的寫法， $mathrm{d}x^{2} =(mathrm{d}x)^{2}$ 是一階微分的平方，更一般地，高階微分是用歸納法定義出來的： $mathrm{d}^{n}y=mathrm{d}(mathrm{d }^{n-1}y)$ .

由一階微分形式不變性，

$mathrm{d}^{2}y=mathrm{d}(mathrm{d}y)=mathrm{d}(f^{prime}(x)mathrm{d}x=mathrm{d}(f^{prime}(x))cdot mathrm{d}x=f^{primeprime}(x)(mathrm{d}x)^{2}=f^{primeprime}(x)mathrm{d}x^{2}$

這麼做是為了保證當 $x$ 不是自變數時亦能算出其導數，不會出現矛盾。舉個例子：如 $y=x^{2}$ ，當 $x$ 為自變數時 $mathrm{d}y=2xmathrm{d}x$ ， $mathrm{d}^{2}y=2mathrm{d}x^{2}$ ，如果令 $x=t^{2}$ ， $y=t^{4}$ 則 $mathrm{d}^{2}y=12t^{2} mathrm{d}t^{2}$ ，現在把 $x=t^{2}$ ， $mathrm{d}x=2tmathrm{d}t$ 代入的話，得到的卻是 $mathrm{d}^{2}y=2(2tmathrm{d}t)^{2}=8t^{2}mathrm{d}t$ .後者顯然是錯的，原因就在於過程中 $x$ 並非自變數，所以我建議不要將二階微商 $frac{mathrm{d}^{2}y }{mathrm{d}x^{2}}$ 看作比例（這種低級錯誤應該沒人犯吧），寫成這個樣是有歷史原因的，建議從下面這個式子理解二階導數（或高階導數）：

$frac{mathrm{d}^{2}y }{mathrm{d}x^{2}} =frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x} frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x}=frac{mathrm{d}(frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x}) }{mathrm{d}x}=frac{frac{mathrm{d}xcdot mathrm{d}^{2}y-mathrm{d}^{2}xcdot mathrm{d}y }{mathrm{d}x^{2} } }{mathrm{d}x }=frac{mathrm{d}xmathrm{d}^{2}y-mathrm{d}^{2}xmathrm{d}y }{mathrm{d}x^{3} }$

這樣無論 $x$ 是不是自變數，都能很好地計算出二階微商 $frac{mathrm{d}^{2}y }{mathrm{d}x^{2}}$ 。

這裡還要提一句，前面我們推出了 $mathrm{d}^{2}y=f^{primeprime}(x)mathrm{d}x^{2}$ ，基於方便我們有 $frac{mathrm{d}^{2}y }{mathrm{d}x^{2}} =f^{primeprime}(x)$ ，其實 $mathrm{d}^{2}y=f^{primeprime}(x)mathrm{d}x^{2}$ 應當理解為 $mathrm{d}^{2}y=f^{primeprime}(x)mathrm{d}x^{2}+Box$ ，後面的這個 $Box$ 因為 $x$ 是自變數才沒了，這就可以解釋為什麼沒有更高階的微分不變性了。

$egin{align*} frac{d}{dx}(frac{d}{dx}(y)) = (frac{d}{dx}frac{d}{dx})y\ =(frac{d}{dx})^2y\ =frac{d^2}{dx^2}y\ =frac{d^2y}{dx^2} end{align*}$

參考 Notation for differentiation

我贊同前面引用的等式。

有一種觀點認為數學是形式邏輯，它不重視除了形式邏輯以外的內容，它重視的是形式的推演符合邏輯。由此，你的問題就可以安全的問出來，而不會得到形如：「他的定義就是以這樣的形式記錄的」這樣認為不用回答的回答。

二階導是一種運算。運算符號單獨寫出來毫無更多的意義，所以樓主加了一個多餘的y，用以表示對y求二階導。而更為多餘的是dx。樓主的符號里加了dx用以表示是對y求關於x的二階導。

如果泛指二階導這種運算，完全不需要x,和y。d^2就已經足夠成為一個如「+」、「-」之類的符號來表示對於某一個函數或者其他對象求二階導。(d(dy))=(d^2)y，等號之所以成立，是因為默認了，對某個對象求二階導，分兩部完成與一口氣完成是一樣的，事實上，從這個等號就可以看出，二階導定義中就包含了這樣的意思：「對某個對象求一階導，然後對這個結果再求一階導，就是二階導」。

為什麼把2放在d的指數位置，而不放在其他位置，因為在很多運算中，「d」這個運算符號看起來具有乘法的性質。比如y=2t，t=2x。問dy/dx=多少。首先求出y=2t=4x，然後求出dy/dx=4。這個結果和(dy/dt)*(dt/dx)=2*2=4是一樣的，有這樣的結論：dy/dx=dy/dt*(dt/dx)。看起來dt因為乘除法而消去了，大量的運算看起來都是如此，於是將二階導的2放在指數的位置在誤導了很多人的情況下也啟發了很多人。

很多人不理解為什麼分母中少了一個d，難道我要重複一遍，那裡沒有分母么？好，那麼為什麼少了一個d呢？因為除非做出額外的定義，我們絕對不會遇到關於求導符號的乘法運算。作為一個符號，能反映出形式中蘊藏的邏輯就已經足夠，過猶不及。如果依然固執地認為無緣無故少了一個d不符合邏輯，我只能偷偷以非正式的口吻告訴你，你可以將dx^2理解為(dx)^2的簡寫。如果你強迫症認為為什麼d可以被無緣無故的忽略，雖然2階導數之忽略了一個d，那麼N階導數忽略了N-1個d怎麼辦。我舉一個例子a*b*b*b=a*b^3從我們學乘法和乘方開始，有人質疑過為什麼少寫了兩個乘號嗎？為什麼不寫成a*b*b*b=a(*b)^3。

$varpi int_{a}^{b}$ sorry

d^2y 是一個整體，是二階微分，不能加入運算而dx^2 這種可以加入計算,比如消去其中一個變成 dx，這是可以的，dx^2是一階微分的平方。