物理或化學方程為什麼往往是偏微分方程？
一些物理量u，一般是空間變數xyz和時間變數t的函數，函數的形式往往是偏微分方程，這是為什麼？
謝謝 @王希邀請。
可以這麼來看：
常微分方程（組）描述的是n維動力學空間中的一個點隨著時間變化而演化形成的一個軌跡。偏微分方程（組）描述的是一個n維動力學空間所描述的一個曲線、曲面、超曲面隨著時間變化而演化產生的一個變化過程。
常微分方程組的各個變數都可以看做是其自身的函數，偏微分方程組所描述的則是多變數的函數的變化。因此常微分方程是偏微分方程的一個簡單的特例。
為什麼物理、化學方程常用PDE呢？因為我們研究一個具體的物體的時候，關注的東西是一個多個變數的函數的變化。比如琴弦，我們關注的東西是它作為一個整體在各處振動起來的高或低的分布情形，而不僅僅關注弦上的一個點的運動，它是時間和位置的函數，所以我們用PDE來描述這個東西所對應的動力學空間中的一個曲線的變化（一個空間的維度，一個時間的維度）。還比如二維的反應擴散系統中的圖靈斑圖，我們現在關注的是某種化學物質在各處的濃度作為一個整體呈現給我們的在一個面上的分布樣子（有些地方濃度高，有些地方濃度低，整體的分布呈現一定的規律）；因此我們用PDE來描述這個動力學空間中的曲面的變化，它在空間上需要兩個維度，時間上需要一個維度。摘要：解釋了何種物理現象是產生常微分方程，何種產生偏微分方程。進一步回答了題主所說的「為何不是『直接的方程』？」。補充了「無窮維」和「連續」的異同。［圖文混排，舉例說明］
我回答的第一個問題是「為什麼物理化學方程往往是偏微分方程，而常微分方程少見？」
另外補充了：
題主：我可能沒說清楚 我的意思是為什麼是微分而不是直接的關係
題主評論中問題的答案。
－－－－－－－－－－－－－－－－前言－－－－－－－－－－－－－－－
物理化學方程往往描述的是「狀態」與「時間」的關係，任何方程中，時間都是一樣的，那麼關鍵之處就在於「狀態」上了。「狀態」的形式，決定了到底是常微分方程還是偏微分方程。
常微分方程：是描述「有限維自由度」的狀態隨時間變化的規律。
偏微分方程：描述「連續系統」的狀態隨時間變化的規律。
那麼回到題主的問題，為什麼物理化學方程往往都是偏微分方程呢？因為描述大多數物理化學的這些「狀態」往往是「連續系統」。
－－－－－－－－－－－－－－舉例－－－－－－－－－－－－－
為了能更清楚的讓大家理解這個問題，下面通過幾個例子來說明什麼是「狀態的自由度」，以及「有限維」和「無窮維」自由度的區別。
簡單來講，自由度（degree of freedom）是描述一種物理狀態所需要坐標的個數。（不含時間）
例1，單自由度自由振動。
如圖所示，所謂單自由度，就是只通過一個物理量就能夠完全確定系統的狀態。這個例子中的位置坐標「x」就可以完全確定物體的空間位置。
這個例子中的振動方程是一個常微分方程：
例2，雙自由度自由振動系統。
如圖所示是一個雙自由度系統，有兩個物體，現在要確定系統的狀態就需要兩個物體的位置了。
這個例子中的微分方程也是一個常微分方程（組）：
例3，多自由度（有限維）自由度系統。
如圖所示是一個多層房屋的結構，中間有斜杠的代表剛梁（注意我寫的是「剛」，代表「剛體」的意思，不發生內部變形，可以近似代表樓板，有質量），細線代表柱子，可以發生彎曲等變形。
這個系統的動力學方程也是常微分方程，如下：
其中M是慣性矩陣（質量矩陣），C是阻尼矩陣，K是剛度矩陣，F是外力矩陣。
-------------------以上是常微分，下面是偏微分方程-----------例4，弦振動方程，連續振動系統（vibration of continuous system），這個是典型的「連續系統」。（重點來了）
如下圖所示，我們觀察一下這個問題和上面常微分方程問題的區別是什麼？在上述問題中，我們都能夠通過有限個物理量，唯一的確定系統的狀態（位置）。而弦作為一個連續系統，如果僅僅是有限個點的位置固定，總有其他沒有固定的位置可以發生位移。即使點的個數越來越多，在整根弦上分布的越來越密集，自由度也逐漸升高，也不可能做到弦上所有點的位置都能夠唯一確定。
因此，只能對微元進行受力分析！這也是產生偏微分方程的關鍵！在有限自由度的問題上，可以使用（x1,x2,x3｀｀｀）等坐標表示系統的狀態，從而描述和時間的關係；而連續問題就必須要用「dx」進行上下振動來描述和時間的關係，這樣就產生了偏微分。如下9.1.2方程為弦的振動方程，是偏微分方程。
以上圖片引用自：
Thomson W T. Theory of Vibration with Applications / W.T. Thomson.[M]// Theory of vibration with applications /. Prentice-Hall, 1981:15-27.
例5，平板二維熱傳導，連續系統。
如下圖所示，平板上的每一點都有溫度（顏色和數值標識），同樣不能通過有限個點的溫度確定全部的溫度，因此也是無窮個自由度的問題。建立方程時，也需要針對「微元」建立方程，所以最終的方程是偏微分方程。
上圖是平板的一個微元，對微元進行分析，產生一個偏微分方程。
－－－－－－－－－－以上截止2016年8月14日11:15-－－－－－－以上圖片引自：
Fourier analysis:an introduction[M]. World Scientific, 2006.
題主：我可能沒說清楚 我的意思是為什麼是微分而不是直接的關係
通過以上的論述，不管是常微分方程還是偏微分方程，都只能描述內部所滿足的方程，但不能描述「直接的關係」。那麼為什麼不是「直接關係」呢？如何才能描述「直接關係」呢？
這個就涉及到數學物理方程中的一個很重要的概念「定解條件」！從上述方程的推導過程中，沒有涉及到初始條件，邊界條件等等的問題。但眾所周知，初始條件或邊界條件不同，對系統後續的狀態有很大的影響。
例如，對同一個粉筆頭，做豎直上拋和自由落體運動的動力學微分方程是一樣的。但是這兩種狀態完全不同。如果從一維的情況來看，這個方程是一個二階常微分方程，通解有兩個待定常數，因此需要兩個條件來的出題主所說的「直接關係」！
再例如弦振動方程，同一根弦，初始條件可以是不同的位置，後續運動狀態也不同。熱傳導方程，一開始的溫度分布也會影響後續的情況。所以對於一大類問題，也不能直接給出「直接關係」！
相信大家對常微分方程已經比較熟悉了，下面簡單說說偏微分方程的「定解條件」，就是題主所想要確定的「直接關係」。
定解條件粗略的分為「初值問題」和「邊值問題」。
初值定解條件為：能描述所有初始狀態所有特徵的方程。如一個質點初始的位移和速度；弦在初始條件下的形狀，弦上每一點的速度；平板溫度擴散，初始時每一點的溫度。
［例6］波動方程和熱傳導方程初值定解條件如下圖：
邊值定解條件為：在邊界位置需要滿足的條件。如弦的兩端固定，或者一段固定，另一端以某種規律發生位移；熱傳導平板邊界的位置，有恆溫熱源，還是絕熱。
［例7］桿的縱振動邊值定解條件如下圖：
當定解條件確定時，再結合前面的偏微分方程，就能得到一個「具體的」，「唯一的」，「確定性的」，「直接關係」！
上述圖片引自：
吳崇試，數學物理方法，講課的ppt。
網址可參見我的另一篇答案，乾貨。
如何在兩周內搞定數學物理方法？ - 曾彥的回答
綜上所述，是否是偏微分方程，和系統的「狀態」的形式非常相關，關鍵在於，是否可以用有限的「自由度」唯一的確定系統的狀態。若為有限自由度，則為常微分方程，若為無窮自由度（連續）則為偏微分方程。
最後回答題主的問題：因為物理和化學中，大多數都是連續系統，所以基本都是偏微分方程！
題主補充的問題：想要得到一個確定的方程，需要定解條件，而定解條件也是數理方程的一部分！－－－－－－以上更新截止至2016年8月15日11:08-－－－－－－－我看到下面有人回復「連續性」，突然讓我想到另外一個問題。我把前面所有的「無窮維自由度」全部備註了「連續」。怕讓人產生誤解，下面來解釋一下「無窮維」和「連續」的區別。學過《數學分析》，或者《實變函數》的知友可能知道，「無窮」也是有大小的。有種無窮，它的基數（勢，base）和自然數對應（countable）；有種無窮，它的基數與實數對應（uncountable）。我考慮的問題是，如果自由度是「無窮維」的，無窮維的「基數」和自然數對應，可能會無窮個常微分方程（每常微分方程對應唯一一個自然數）；如果「基數」與實數對應（連續統），則產生偏微分方程。有關「無窮」的知識，可以看《測度論》，《實變函數》，某些《數學分析》（卓里奇）也有。下面是一些相關知識的鏈接可數集，不可數集，來自維基百科，英文。也可以自己百度中文的。Countable setUncountable set時間倉促，難免有不當的地方，望大家諒解，歡迎一切正當的指教！
您的贊同是對我的寫下更多優質答案的鼓勵，如果有表述不清楚的地方，可以在評論中留言，我再完善。謝謝！
如果要描述一個系統的時候，實際是想要描述在特定時間和空間點上的系統狀態，如果要通過空間變數和時間變數來描述這個系統狀態，比較簡單（或者說可行）的方式是用一些參數變數（比如速率常數，擴散常數，熱導率等等）來描述，很多情況下的參數變數或者常數都是系統某種狀態的微分（比如最常見的就是速率：反應速率，擴散速率，傳導速率，流速等等），這樣的話，如果用數學語言來描述那隻能用微分形式來描述，因為你關心的物理量的微分確定了得話，你就可以得到該系統的狀態。（另外，使用這些常數/參數的原因是，有些是可測的/可計算的，在物理上有意義；有些則是跟其他的物理量相關的，在模型上有意義）
當然，如果你選擇用另外一種數學語言來描述的話，可以完全不用微分方程形式來描述。舉個栗子，如果你所研究的系統是有限個狀態的話，而你的系統是在這幾個狀態下轉變的，你可以使用automata的語言來描述，或者可以使用Markov Chain來描述（當然要符合MC的限定條件）。這樣你使用的參數就會是，狀態集合+轉移函數（automata）或者狀態集合+轉移概率矩陣（Markov Chain）。這個只是兩個簡單的例子，不一定可以適用於所有的physical systems。比如continuous time markov process 就是可以用微分形式來表示。
可以看到使用哪種數學公式/語言來描述你的物理、化學過程是取決於你如何抽象你的系統和過程，還有更高階的數學語言比如抽象代數和拓撲等等某種情況下可能也可以描述特定的物理系統或物理過程（這個已經超出我的能力範圍了），而不一定都只能用微分方程（屬於分析領域）來描述系統。在使用不同的模型/語言的時候，都有不同的適應性。比如你使用的物理量來進行描述的physical systems 是 homogeneous 還是 highly heterogeneous，是趨向於 continuous 還是 趨向於 discrete。
簡單來說，物理系統就是隨著時空的變化在不斷變化的。系統在特定時空下的狀態既然是你關心的，那用微分方程來描述就是很自然的。（或許可能是因為分析在數學領域中發展的最早也很完備，也可能是因為分析的語言對我們描述物理系統來說更直觀或符合我們的直覺。另外，可見我們目前還只是在使用非常簡單的數學工具來理解物理系統。）
我胡扯了一通，不一定正確，如果你覺得有點用也挺好。對一個系統建模時，人們通常是從分析系統的微元開始的，而微元的運動都由物理量的微分描述。不管是結構動力學還是流體力學都是如此。再加上多個自變數的依賴關係，偏微分方程就無法避免了。
因為你指的過程都是連續變化的，而變化速率跟狀態本身有關，就是這麼簡單。
愛因斯坦在一次紀念麥克斯韋的演講中說：「偏微分方程進入理論物理學時是婢女，但逐漸變成了主婦，」
1. 因為不是所有系統都能寫成最小作用量2. Markov Chain
簡單地說，很多物理現象都是一個有體積的對象在一定的時間內發生的事件，在這個物體上發生的現象就要對位置求取偏微分，而在時間上發生的現象就要在時間上求取偏微波，那麼其時空之間就用一個方程將其聯繫，那麼就必須使用偏微分方程了
因為變數不止兩個……
只要體系可以用幾個變數來描述（單個粒子的力學），那麼這個體系對時間的演變就是用常微分方程描述，假如體系是用某個連續統上的函數來描述（統計力學，量子力學，弦膜的振動），就是偏微分方程。
因為物理化學量往往不是單一變數的函數。要知道f(x,y)單獨對x的變化率，就是要知道f對x的偏導數。
說說常微分方程對應的偏微分方程吧。如果離散系統的演化方程可以寫成
現實中的變數之間都有反饋機制， 因變數x(t)的改變(哪怕一下子)會導到y(t)的改變，y的改變又會導致x的改變(即決定如何改變)。我們需要在「一下子」內操作，即要使用微分來表達 。 而時間t可理解為驅動x和y的馬達變數
常微分方程，一個變數。
偏微分方程，多個變數。比如三維時空中，總有時間量，三個坐標量，這就4個基本的物理量了。不同學科，還會用到溫度等作為變數。=====剛看到上面已經有人提過4個基礎物理變數，重複了看到這個題目突然想到中學政治的一句話：
事物是普遍聯繫的。
所以寫偏微分上高中的時候我們大家一定會做很多物理題，題中總是說把某球體抽像成一個點，把某管抽像成一條線，把某面抽像成一個絕對的平面。那抽像後的東西可以看作是偏微分方程里的微元。
而上了大學後計算時我們發現很多東西不能抽像成絕對的微元，而是由很多個微元按照一定的規律組合而成，為了對這個複雜的客體計算，於是我們需要在以微元為基礎進行擴展計算，那麼數學上就會自然使用偏微分方程了。翻書的時候正好看到相關內容，想起曾關注的這個問題，特引述一二作為回答：
」波動方程是一個偏微分方程形式。1860年黎曼（Riemann）的偏微分方程式的教材講得清楚而又簡明，堪稱這方面的範本。他在書中這樣說：『偏微分方程式是所有物理定律的基礎。在氣體、液體。固體中的聲波理論，在彈性的研究，以及在光學中都是用偏微分方程式寫出自然界的基本定律，去同實驗的結果驗證。真正的基本定理都只在微小空間中才能成立，因此一定要用偏微分方程式寫出來。將它們積分後我們就可以得到較大空間，較長時間中的定律。『 「
引自Enders A.Robinson的 《地球物理數據偏移》 （石油工業出版社，汪賢馴、吳暉譯）我囫圇吞棗地看過兩本數學史，我想從數學史的角度回答這個問題才是樓主想要的。牛頓一直在研究微積分，他成功地從微分推到積分，但沒反著推，結果是他一個朋友發明了微積分。反正，牛頓研究力，就要用微積分，用微積分才能對力學進行研究、計算、推導。以前研究的物理問題都是靜態的，而力是動態的；研究靜態的物理問題用加減乘除就夠了，但研究力不行，必須用微積分。比如，瞬時速度，比如一顆衛星飛到月球的受力方程。簡而言之，並不是所有物理問題都需要微積分，但是力學是現代物理的基礎，所以物理和微積分的關係密切。可能文不對題，但希望對樓主有一點啟發。
偏微分方程與維度有關和變數的個數不完全一致。變數個數不等於維度
涉及空間結構，必然是偏微分啊，常微分本質上就是一維的
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