對於數學研究生來說，（在你的方向）"打基礎"到什麼地步可以開始做研究了？

01-05

有兩個截然不同的典型風格，一種是很多美國學生，本科就開始做本科研究REU，雖然很多做的沒什麼價值，但是也不乏厲害的。還有一種典型是法國學生，很多在M1、2課程結束之後才開始做研究。
這兩種典型不好說哪種好，不具備大量的知識儲備是很難做研究的，極端來說只會加減乘除做「研究」肯定是民科了；但是，正如溫伯格說的「沒有人知道所有的事情，而且你也不需要每件事都知道。」，基礎永遠沒有打好的時候，肯定要一邊研究一邊學。
（在你的方向，比如算術代數幾何，表示論，PDE，組合），"打基礎"到什麼地步可以開始做研究了？

謝邀。

微分幾何這邊學完do Carmo或者Peter Petersen的黎曼幾何教材就可以上手看論文了，對於一些經典的黎曼幾何問題（比如comparison geometry,我覺得整個正曲率幾何就是comparison geometry的一部分）最起碼你就能看懂了，不至於一頭霧水。當然你如果要做比較前沿、比較現代一點的微分幾何，比如幾何分析、比如Calabi-Yau、比如Kahler-Einstein等等，那你可能需要再學一些幾何分析，比如也許可以看看Yau的幾何分析相關書籍。但是看書和看論文並不衝突，學習和研究在時間點上並沒有一個明確的cutoff，很多年輕人做到postdoc做到ap以後也是會系統性地學自己領域以外的東西的——我不是說老人就不學了，他們也想學新東西，但是一方面思維固化／思維產生惰性了，另一方面精力也不夠了；今天中午參加graduate student seminar，我老闆也來了，講的是什麼collapsing theory裡面定義的一個叫F structure的東西，有一種版本的定義用到了sheaf。結果他表示他不知道什麼是sheaf，也不理解為什麼要引入這一套語言。。

謝邀

我也不知道我自己算是做什麼的，籠統的來說，代數幾何，具體的來說 Birational geometry in the point of view of derived category and interaction with moduli problem.

我個人覺得Hartshorne 2,3,4,5 以及附錄是一定要非常熟悉的，尤其是第二章2.6,2.7, 2.8 第三章3.11,3.12. 以及第四章全部，第五章全部。高維代數幾何我也是最近開始做一點三維的variety以及Hilbert scheme of points 才真正算是讀了一點東西，沒有什麼發言的資格。然後導出範疇啥的，其實就是把exceptional collection那些基本操作， mutations, 各種exact triangle 誘導long exact sequence的計算搞清楚就行了，什麼semi-orthogonal decomposition其實學起來挺簡單的。然後就是Hodge theory，至少Deligne的Hodge to deRham spectral sequence 這篇文章搞明白，然後對應版本的Hochschild to cyclic homology ss搞明白，然後就是hochschild homology這一套東西在導出範疇里是怎麼玩的，HKR啊什麼的，其實學起來特簡單，都是很自然的。 Vosin 的兩本書的第一卷或者Huybrechets的復幾何導論弄懂就差不多了。

然後就是K3 surface 和moduli space，也是Huybrechets的那兩本書，挑著章節，仔細學過一遍就差不多了，要對那些chern character 和Todd class 怎麼算，各種cohomology class 的運算，積分搞得特別清楚，比如什麼Mukai vector之類的。然後就是Bridgeland stability condition的那兩篇文章，第二篇是專門講K3 surface上的，然後再加上Macri那篇曲線上的stability condition就真的差不多了。對了，還有就是Fourier-Mukai, spherical functor 什麼的，但這些東西學起來都不難。

以上好像看著東西多，其實關鍵核心就是Hartshorne，你這本書吃透了，後面的那些東西都是用這套語言寫的，看起來特別自在舒心，尤其是比如線性系統這套東西，Hartshorne裡面的徹底搞明白了，閉著眼睛，迷迷糊糊都能把那幾個等價想明白的話，後來學K3 surface上的那些線性系統，就特別輕鬆，甚至還可以自己推一些結論然後跟書上對照，特別好玩。

話說回來，如果你有一種老是想先把基礎打好再做研究的想法就說明你其實是懶懶懶懶懶，不想走出舒適區，因為做研究的時候時時刻刻都覺得啥也不懂，有時候就是猜，蒙，湊，這個好像是對的，這個先不管它對不對，假設是對的，看看後面能不能推過去。我經常跟我的一個合作者這樣說「我預測這裡的邏輯是這樣的，應該有一個這樣的東西，然後推出一個那樣的，然後用哪裡的一個定理能推出我們預期的結論」其中每一步都是完全不清楚或者只是知道一些例子，零星的證據的。這和讀書的過程非常不一樣，時時刻刻都在受挫。如果你幻想著能夠多讀書打基礎而規避這一過程，我覺得完全不可能，所以應該儘快開始投入做研究的過程中來

有個教授和我開玩笑說微分方程的數值解只需要兩個東西，分部積分和泰勒展開，雖然是玩笑話，但的確會這兩個就可以開始初步，淺顯的研究了。本科生早點做還是有好處的，哪怕做的很naive

專業特殊函數。感覺下面這三本看完就非常足夠了

G. Kristensson, Second Order Differential Equations - Special Functions and Their Classification,

E.D. Rainville, Special Functions,

G.E. Andrews, R. Askey, R. Roy, Special Functions

不過很慚愧，我自己的話，也就是每本看過三分之一的樣子。。。

做研究對於學生來說，不一定就是為了做出個什麼結果，很多時候也就是一個鍛煉。所以我的答案是：只要會Do Carmo黎曼幾何的內容，在老師或者高年級的學生帶領下讀一些paper就可以開始做一些幾何方面的研究了。

不過你得接受一個事實，就是在這樣的基礎下，你是不可能做出什麼有趣的東西的，更不要說深刻的數學了。不過鍛煉重要的是過程，所以慢慢來就好。

在研究偏微分方程這個問題上有一個思路是依靠泛函分析處理。一個數學家往往做好幾個（相鄰的）方向，他帶不同子「方向」學生的時候，讓他們打基礎也會有所不同。我個人其實也做好幾個不同的方向，雖然籠統來說都是泛函分析和偏微分方程的交融，但是具體到每個方向都需要點不同的「基礎知識」。我做的第一個方向是Banach空間上的evolution equation。下面介紹一下我當年看第一篇paper前的知識量。

首先是一本yosida或者Brezis的泛函分析。rudin和其他人的不作為首選，它們作為「泛函分析」這個領域上的教材是有優點的，只是對於我這個特定的方向，他們不是第一選擇，因為他們不怎麼談閉運算元。而閉運算元在這個方向是吃飯的傢伙。因為Yosida和Brezis這兩個人都做Banach空間上的抽象方程的大師級人物，Yosida更是運算元半群理論的奠基者。所以，在這個方向上的學生比較偏好那兩個人的書。然後是pazy的運算元半群理論，同時把Evans的偏微分第二部分看完。還有郭老的「非線性泛函分析」，我當年沒看完，只知道無限維的微積分那部分就好。什麼單調運算元的，那個時候我還不知道。

放心，這個量是肯定不能保證你看論文不卡的，你一定會卡住。這個知識量可以讓你在卡住的時候能通過查詢reference在一段時間內弄明白，而不至於完全找不到北而已。一般來說，你一旦有「這種量」就可以開始看你方向上的paper了。而且這個基礎量大部分導師都明白。

然後是邊看paper邊學習「各種基礎」。「單調運算元」是什麼？趕緊回頭看。運算元的index是什麼？趕緊回頭看。一般看個「一章」就能繼續看。當然了，比較慘的是某個作者骨骼驚奇，用了一個需要你看完一本書才能更上的思路。當然了，如果他本質上只是「應用」，你只需要能明白這個「定理」在說什麼就夠了，那隻需要幾天時間。嚴格地說，能用上的「分析技巧」都是可能的基礎。所以，我後續在讀paper的過程中就積攢了了很多這方面的知識。比如一般空間上的調和分析、運算元譜理論、插入空間理論、非線性偏微分方程、有限元方法、有限差分。

「基礎打不完」說的就是很多人幻想把基礎打到看paper和看習題集一樣，相信我，那就容易無底洞了。即使是一個「方向」的人也不一定具有完全相同的知識結構和喜歡的處理方式，而且他們的這些東西也基本散落在自己的paper裡面，所以你往往需要往上去追溯，然後這個時候導師的作用就出現了，他們讓你知道什麼「從0到1」的那篇paper。放心，你還是會卡住，你不卡住說明這個paper價值不大。然後，你邊看reference邊啃，一般認真啃完這個paper，你的「基礎」也會提升。

這樣都是做的好處有幾個：第一，你知道什麼是重點，你也有迫切需要，所以你學習的動力和積極性比較高。第二，你更早的接近問題可以更早接近你要解決問題的核心。一個很難的問題的核心處理起開不是知識量的問題，往往需要靈感。靈感是需要時間的，多點時間總是好的。我曾經試過帶著問題「打基礎」，然後打著打著就「解決」的情況（當然了，後期需要不斷修補）。因為你在學習基礎的工具的時候會考慮「怎麼改造它」才能處理我自己這個問題。

謝邀。

這個問題我覺得不好回答。因為什麼叫做研究？我想每個professor都有自己對research的定義。不是每個人都把本科生做的東西叫research。按我們系某professor的說法，用別人的big theorem證明的結果，叫exercise，不叫research。Research要有自己的理解在裡面，有新觀點。不一定要有全新的理論，你可以對已有的東西進行簡化，因為你一旦做到這點，說明你徹底理解了問題的本質，並對其核心進行修改。這點是非常非常難做到的。按這個標準，大多數人都在做exercise而不是research。當然這僅僅是一個人的觀點。

說到這，我想我focus的還是graduate level的research。計算數學的research和純數學非常不同。它不抽象，但是有時候tedious，且需要對自己所在方向和計算數學的background有充分的理解才能做的好。一個現象就是，看計算的paper和計算的書，有時候你會覺得沒有用到任何高級的技巧或者理論，但是你根本就不知道它在講什麼，或者它為什麼要講這個。這就意味著你沒有看懂，沒有相應的基礎。不是說你不理解裡面的公式，而是所有的公式合起來，你就不知道人在幹嘛了。這是沒有打好基礎的典型特徵。是啊，很多地方真的只要用到分部積分三角不等式。但是大背景你不知道，你根本就是在摸瞎。

對於計算數學，以下幾個課程是必須需要的。

數值代數，數值逼近，微分方程數值解（這裡就不談本科低年級所必需的數分高代等）。

我的方向偏微分方程數值解，你還需要以下幾個，

泛函分析（Brezis 或者 Lax ），這裡需要提到，尤其需要學習Sobolev空間，少了這個你寸步難行。還需要PDE基礎，可以看Evans。有限元，可以看BrennerScott。迭代法，可以看Saad。這些都是基礎，你看paper的時候沒人會告訴你這些基礎是為啥，沒人會告訴你Lax-Milgram是什麼，inf-sup條件是什麼。你必須有這個基礎才能開始做。

到這差不多就可以開始做一些project，但是科研的過程永遠是在學習。哪天你想做隨機偏微分數值解了，那麼你又需要學習隨機的東西。哪天想做並行了，又要學習並行的東西。沒有盡頭的。

但是有了上述的東西，起碼你能理解，偏微分方程數值解是在幹嘛。而不是看完全篇，每一個公式都懂，但不知道這篇paper講的是什麼。

計算更在於對演算法對問題的深入理解，而不是拘泥於各種各樣的數學技巧，如果能用簡單的技巧解決艱深的問題，就完全不需要big theorem。我覺得這是作研究的一個principle。永遠不要試圖把問題複雜化，而是要把複雜的問題簡單化，這需要深厚的功力，能直擊問題的本質。一般這種人都是某個行業的帶頭人，他們能用相對淺顯的理論解決一大類問題。有限元方法就是一個非常好的例子。有限元之前，有限差分簡單易懂，然而分析卻不好進行。有限元顯然比有限差分深刻很多，它的框架直接把一大類問題都囊括其中，並且相對容易地可以分析問題的本質。

不請自來.......

專業homotopy theory，基本是啃完了Hatcher之後開始啃點generalized theory，spectra什麼的，然後看點基本的論文，終於差不多跨進九十年代了……而為了看懂這些，你還要會一門叫category theory的外語。我去年冬天過了入門考試，現在還是在刷背景牆，課程上同樣進度的學代數的姑娘學代幾的姑娘學數論的姑娘學數值的漢子都開始寫論文了，我連個problem都沒有，自己也不知道自己會啥，能研究啥......導師也不著急，笑眯眯地放我在spectral sequences里犯蠢╮(￣▽￣"")╭

記得上次跟系主任例行會面被問打算什麼時候畢業(因為我prelim和qualify過的比較早)，還在涎著臉說打算待滿六年，其實我覺得來個八年抗戰都不為過，代數拓撲要爬的背景牆太多了。

開始是可以很早就開始的，比如我開始做我現在做的這個問題的時候，也就只會一點點的黎曼幾何和PDE之類的東西，差不多就是粗略看了Peter Peterson的Riemann Geometry和Rabinowitz的那本小冊子，再有就是GilbargTrudinger的線性部分的水平。

但是開始做了之後我才發現要系統學習的東西真的很多，比如對Finsler幾何的重新認識，動力系統的相關內容，一些切觸幾何的基礎知識，一個法國人發明的叫做équations différentielles du second ordre的東西，然後我現在在啃Caffarelli在90年代建立的那一套關於fully nonlinear elliptic equations的工作。

而且這些還只是我目前認為『可能』有用的東西，不排除再過段時間實踐證明走到了岔道上還要再回過頭想別的方法的可能性。畢竟這之前我繞過的岔路，最後證明對我這個問題沒什麼用的內容也是不少的。比如我前段時間曾經提到的關於虧格大於一和沒有共軛點這方面那幾個人的工作，現在感覺對我這個問題就不是很必要。

謝邀。美國的話通過qualify exam，學過一些具體方向專業課的時候可以開始做問題了，法國的話上完M2上學期的基礎課的時候可以開始做問題了。這裡說的是一般情況，如果天賦異稟，越早開始做問題越好。

開始做問題不意味著就不學新知識了，往往是做問題，上課，參加討論班，自學同時進行。

謝邀

我導師是這麼說的：搞代數或者幾何，打個一年多基礎就能開始做研究並可能得到很好的結論。但是分析不行。分析要學的東西太多了。

打基礎和看論文不矛盾。

比如pde，如果打基礎，有的是書看，但是看來看去未必記得住。如果找一個課題研究，就會慢慢看到所謂基礎裡面理論的背景，也更容易理解。其他方向，比如數論，代數，也是類似。

其實本科前三年的基礎對於絕大多數研究足夠了。美國高校的REU是對的，數學應該是按照課題學，找一個你要弄懂的topic，然後看各種文獻去了解歷史脈絡，包括教材，最後開始自己的思考。真正做研究的人，看書是不會從第一頁看到尾的，都是看自己需要的那部分。

在我看來，學數學最主要是兩點：第一是找個好題目，爛題目（包括爛方向）不值得做，這可能對入門者比較困難，需要導師；第二是眼光要長遠，不要因為短期看似毫無進展而放棄，研究生一兩年沒有什麼進展是常有的事，但只要你每天都在考慮，都在看文獻或者算例子，其實收穫就在其中。

我是做組合優化的，感覺完全不用什麼前置技能，只要會小學數學大概就能做了吧。可能在知乎這個並不能算是數學。

我的答案很簡單，當你看能懂你專業方向的論文的時候，就可以了。

數學的創造，和文學的創造差不多，以及其他領域的創造一樣，當你可以以專業的視角欣賞的時候，離創造，搞出自己的東西，已經不遠了。

打基礎打到什麼程度都不過分，雖然還沒正式進入科研，但是作為科研新人的我秉承著鄧爺爺說的摸著石頭過河，一邊看書一邊實踐這樣也是挺好的。基礎的話本科水平就足夠了的感覺，畢竟有些博士做了三年，可能什麼都不懂，有些人什麼都懂但也是泛泛了解，並不認為後者會比前者好多少，重要的是能做出東西啊啊啊啊啊

最低最低看完Hartshorne第二第三章，概念都不懂還做什麼研究