Lebesgue可測與Borel可測？

最近在看周明強的實變函數，裡面寫到:

R^n上的Lebesgue測度(定義在開集的基礎上)是一種Borel測度(定義在Borel集的基礎上)。

於是我就想，那Lebesgue可測的都是Borel可測的?

然後我就懵了，因為之前學過這些內容:

Borel集都是Lebesgue可測集;還做過一個習題，存在一個集合是Lebesgue可測集但不是Borel集。

這恰恰是個反的啊！ 所以該怎麼正確理解，R^n上的Lebesgue測度是一種Borel測度?

先謝謝好心人解答了！

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謝邀：簡單的回答：不是。 根據（Rudin的書）定義， 一個Borel測度 中的 代數 是包含全部開集的最小的 代數：也就是Borel集。這裡 必須是剛剛好的Borel集。 而Lebesgue測度則是一個包含了borel集合的「完備」測度。本質上，任何一個Lebesgue可測集合 都可以表示成一個Borel集合和一個0測度集合（兩者不相交）的並集，或者一個Borel集合減去一個0測度集合。這就是測度的正則性。也就是說，它是一個Borel測度的「完備化」，由於 上的Borel測度不是完備的，自然包含了一些非Borel集。我們可以寫成 。值得一提的是， 而是它們的完備化。這個錯誤也是初學者容易搞糊塗的，也就是高維的Lebesgue測度不是低維度的Lebesgue測度的積。

下面是複雜的回答了：

回到周民強的書，他的確說了這樣一句話：

這句話就很有意思了，我們必須回到一個很傻逼的問題上：什麼是測度？不同的書的邏輯不一樣的，我們來看看：

rudin的書上測度的定義是這樣的：

記住一個簡單的事情：函數是必須先有定義域，定義域不同，那麼函數就是不同的。所以，必須現有 -代數才能定義測度（在rudin的邏輯下，這個定義和邏輯也是國際通用的）。然後rudin的書上Lebesgue measure一開始就不是定義在borel上的。

讓我們看看Evans： 它的測度其實就是周的外測度，簡單粗暴。

周的定義呢？最模糊的就是他了

他的lebesgue測度定義是依賴於外測度的。對於一般的測度看起來也沒問題：

但是，這個定義給人一種測度是獨立於「定義域」的感覺。不過按照這個定義，lebesgue測度也不該是borel測度，因為前者的定義域比後者大。當然了，作者也可能是這個意思：我們把勒貝格測度限制到borel集合上，它是一個borel測度。這個回答是最精確的。

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Lebesgue measure是Borel measure的completion，因此限定在Borel sets上的Lebesgue measure就是Borel measure.

另外作為例子，Cantor set就有非Borel的measurable子集。

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最近正在學測度論，發現一個例子或許可以解答我們的疑惑：

http://www.math3ma.com/mathema/2015/8/9/lebesgue-but-not-borel

如果有人有需要我就把內容搬運過來。

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Borel測度就是定義在Borel集上的Lebesgue測度，Lebesgue測度是Borel測度的完備化，具體地說，每個Lebesgue可測集都是一個Borel集和某個零測集的並

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@dhchen 您的意思是這句話是錯的？

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對於lebesgue測度，borel可測集是lebesgue可測集的子集。

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