關於高等數學的導數，微分的一個問題？

用手機碼公式很難受，所以我把我的問題拍下來了：

求大佬們指出這個證明中錯誤的步驟，謝謝啦！

----------------------------

有大佬說條件不夠，我再補充下條件：

設f（x）在x=x0的某鄰域有定義,在x=x0的某去心鄰域內可導.

反例是有的，這個是書上一道題目，舉了反例，他的錯誤的證明方法是用洛必達證明的！下面是反例：

f(x)= x^2 sin(1/x^2), x !=0

f(0)=0，x=0

函數在x0=0處， f"(0)=0 , 但 lim（x趨於0）f"(x）不存在。

---

謝邀。

這真的是高數中最常見的錯誤之一。

根據拉格朗日中值定理，存在 ，使得 。

但是這個 的選取，是依賴於 的，並不代表 這個區間內的任意一點。

你這個證明過程只能是說，隨著 ，拉格朗日中值定理選中的那個點上的導數會趨向於 ，但不能代表所有的點都有這個趨勢。

做一個簡單的類比，你做一個序列：

隨著序列往後，你總能選中一項，它的趨勢是趨於零的，但是不代表這個序列整體極限是零。

---

因為 存在，設 ， ，則

這相當於函數 在 處的函數值為 ，則它在該點的極限也等於 ，

這不成立，因為函數 在該點未必連續。

連續才可積，可積才有原函數 ，原函數求導才等於 。

所以第一個求導定義式不一定成立，那個定義式是假定 連續的情況，這個假定不一定成立。

---

f"(x0)存在只說明f(x)在x0連續。但你這裡需要f"(x)在x0連續。

---

極限的定義，趨近於，但就是不能等於，倒數第二步錯了

你這個最後一步證明明顯需要導函數連續的條件，但是沒有這個條件

---

y的變化量和y的微分差一個高階無窮小

---

如果這是一個震蕩函數，你還覺得f(x+無窮小量)=f(x)?你可以腦補下sin(1/x)

還有就是你描述不太準確 我們一般都是說某一點函數存在或者不存在 如果我們想描述一個區間上導函數存在 我們通常會說 在這個區間上可導

又一句繞口令 可導必定連續 連續未必可導

---

談談我的理解吧，我重新寫一下你的思路

對吧？其實這樣寫就相當於承認了：左導數等於導數的左極限，右導數等於導數的右極限。這結論顯然是錯誤的。

這推導乍看上去很有道理。第一個等號是導數的定義，第二個等號是拉格朗日中值定理，第三個等號似乎是顯然的。其實從定義再到拉格朗日中值定理都沒有錯，問題出在了最後一個等號。

糾結在於

其實仔細觀察，右邊的條件更強。右邊是左邊的充分條件。

右→左：如果右邊的存在，x能以任意的方式趨近於x0，那麼當然對於ξ的序列，ξ的序列的極限也是x0，根據海涅定理二者相等。（導數極限定理）

左→右：如果左邊的存在，左邊只是一種特殊的情況，也就是白神所說，只是保證了拉格朗日對應的ξ可以趨近於x0，不能保證其他鄰域點也能成立。

綜上所述，導數存在不能蘊含導數連續。

那麼，問題來了，什麼條件可以蘊含導數連續呢？

---

@alphacalculus首先謝謝大佬回答啦！（因為你關閉了評論......）

但是我並沒有假設f(x)的導數在該點連續呀。

前面是根據定義式求導數，對定義式用拉格朗日定理（這個是f(x)連續但不是導數連續），最後之所以等於f"(x0)是因為這就是導數的定義式得到的，相當於是個已知條件不是推導出來的。

---

謝邀。

拉格朗日用的不對吧。。

能夠易得這是個假命題，"則"後面的內容表示導函數連續，但是題目只給出了導函數只在x0存在，其他啥都沒有啊。

不過我暫時想不出反例。。

還有上邊那個回答F(x)在此點不一定連續，不連續怎麼可導的？

---

推薦閱讀：