偶數集的元素數目等於整數集的元素數目嗎？我的分析有什麼錯誤嗎？

01-05

不是說整數的個數等於偶數的個數嗎？
我把整數集分為無限個子集，它們都由兩個連續整數組成且互不存在交集，那麼任意一個子集中整數數=2，偶數數=1，整數數＞偶數數，因此整數集中也應該「整數數＞偶數數」，應該和數學歸納法原理相同吧。。。
各位dalao，我的問題出在哪？

數學說白了就是要搞清楚定義，兩個的東西比較大小是通過構造「映射」來比較的，如果存在一個一一的映射 $f:A o B$ ,（也就每一個元素 $ain A$ 只和 $bin B$ 的一個元素對應） ,那麼我們就定義說兩個集合的勢（數量）是一樣多的,寫作 $Asim B$ 。可以證明，這個定義在有限集合和一般意義上集合大小是一致的, 也就是說這個定義是合理的「集合大小」的一個推廣。也是數學界公認的方法，你首先得去了解這個方法，而不是自己把嚴格的「數學定義」和「直觀混為起來」你的錯誤在於認為 $|A_i|<|B_i|$ ,那麼 $igcup |A_i|<igcup |B_i|$ ，可惜這個結果是「不成立的」，為什麼？反例不就是你自己舉的這個例子嗎？我們判斷成立與否，重點還是回到定義，而不是「直觀」，這是中學數學和高等數學的分野。整數和偶數是一樣多的，因為函數 $f(x)=2x$ 是整數和偶數之間的一一映射，根據「定義」，它們是一樣多的。下面的定理是主要的，通過「子集」來比較的定理，其證明最後還得回到構造一個一一映射上來。

換句話說，以後有人問你兩個集合的「數目」是不是一樣大的時候，你應該想到的是兩者能不能找到一個一一映射。不是直接構造，就是間接使用以上的Cantor-Bernstein定理。建議你去看一看周民強的」實變函數「中的「映射和基」這一小節，裡面有詳細的內容。事實上，要證明兩個無限集合不是「一樣大」比證明「它們一樣大」要難得多，後者只要找到一個「一一映射」即可，前者必須證明這個一一映射是不存在的。一般的方法是設法先證明它們的勢是可數或者不可數這樣的「完全不同」的類別。

如果你試圖用包含關係定序，則大量集合不可比較，這樣的序不普遍。(應該是個偏序)

按這種序，三個梨的集合不比兩個蘋果的集合大。

現有的基數理論是有定理保證的，兩個集合要麼等勢，要麼一個大於另一個。

這個定義最普遍，最有用。

絕大多數情況下，說多少，都是按照基數理解。

此外，有時人們也會說第二綱集比第一綱集的元素多。

在數論問題中，也可以用密度的觀點，說合數比素數多，素數比完全平方數多……

每一種講法都有背後的原因，應當根據問題的背景選擇合適的定義。

說複雜的定義有dalao講了。

我不從定義分析。就單純直觀來講。

題主你的問題出在忽略了無限集合和有限集合的區別。

無限集合的數是無限的如果你任意規定某個區間，哪怕這個區間非常非常大，但只要是個確定的區間，你都可以說整數比偶數多，可惜對於全體偶數和整數來說，這個上限是不存在的。你給定任意整數，你都可以找到任意兩倍於這個數的整數，從而這些數中的偶數和整數相同。

舉個非常簡單的無限例子：

一條2米的直線，和一條1米的直線。

2米的直線比1米的長。

估計你一看這個命題就知道是錯的，因為直線是無限延長的。1米2米不過是以為的長度。

和這個問題一樣。你以為整數只有n大，實際上n以外有2n，3n。所以從直觀上根本無法通過集合的元素有多少來確定無限集合大小的問題。

要比較就只能通過前人們給定的規則去確定。

根據等勢的定義，實際上任意兩個數的區間都和實數R等勢。比如（0，1）這個區間居然和整體實數R是等勢的(?&> &

考慮加法群的概念的話Z同構於2Z，同構意味著存在雙射，但是cardZ=inf，card2Z=inf，無限大之間不能直接比較

n個2相加，當n是正整數的時候比n個1相加要大，這沒錯。

但是如果n是無窮的時候就不對。

完結

謝邀。你的分法本來就是不恰當的，你把整數分為無窮個小子集Ai ，把偶數分為無窮個小子集Bj ，且讓Ai ＝2，Bj＝1，但是Ai ×∞與Bj×∞ 是沒辦法比較的，你沒辦法讓兩個無窮大的數比較出大小。你這種分法表面正確，也符合你的直觀感覺。但是很遺憾，這是錯誤的。如果學到實變函數的基數你可能不會這麼迷惑。現在我只能試著以映射來解釋一下吧。首先我先取一個簡單的例子，y＝2x 與y＝0在x屬於(0,1)時，兩條線段上的點是不是相同數目呢？

答案是肯定的，因為當你取定一個x0 的時候，兩條線段都有特定的一個點與x0對應，我們可以得出兩條線段上點的數目是一樣的。但是如果你去測量他們的長度，你會發現第一條線段更長，這與你的幾何直觀也是相符合的，如果你認定每個點大小相同的話，好像第一條線段點更多。但是點的概念是很微妙的，你可以認為它是沒有大小的，這時候你就沒辦法用一個箱子可以裝多少乒乓球的方法來衡量一條線段有多少個點了。

如果你理解了上面兩條線段為什麼點數相同，我們可以構建y＝2n 和y＝n，n=1,2,3 …這時候你會發現他們和上面兩條線段是相同的！你取定一個n兩個集合都會有一點相對應。

不知道我是否說清楚了，如果有什麼問題，可以繼續和我探討，謝謝。

數學歸納法不能應用於無限的東西。

這個問題裡面題主分了無限個子集，那麼有關這無限個集合的結論不能用數學歸納法。

數學歸納法雖說可以證明對「無論多大」的n結論都成立，但是那個「無論多大」仍是有限的，理解為「任意給出一個確定的正整數，無論多大，結論都成立」。

如果數學歸納法可以應用於無限之中，那麼可以推出「無限個開集的交是開集」「無限個閉集的並是閉集」，然而知道一點的人都知道這是假命題。

涉及到無限的數學問題要倍加小心。題主的問題在於把兩個無窮直接做數值的比較，這完全錯誤。無限集元素的多少是用「勢」這個數學概念來衡量的，利用Bernstein定理可以比較勢的大小(有興趣可以看看基數理論)。數學注重精準，而不是直觀。人的感知精度是有限的，直覺經常是錯的。

——感知精度不夠的例子——

完備疏朗集cantor集與實數集等勢，但是卻是零測集。

事實上，在數學分析中，任意無限可列集的勢都是相同的。所以，A＝｛（x,y）|x,y∈Z｝與B=Z，這兩個集合的勢也是相同的。也即，設n為可列集的勢，則有n2=n。

更進一步，可列個可列集之並仍是可列集。

cantor的theory，奇數集和偶數集都能與正整數集構成一一對應的映射，所以兩個集合都是countable的，數目一樣。

物理學生，自學數分，如果不嚴謹請指教

同意 @Wunn 的答案，實際上你的分割方法還是沒有搞清楚，也沒能解釋清楚無窮的定義。

首先你把整數按一對一對分，得到無窮多個。

可是我也可以把偶數按一對一對分啊，也能得到無窮多個。

你不能說這兩個無窮多前一個就比較多。

這涉及到一些關於序數的問題。

總之，到了無窮大以後就不能按個數比了，得按「階」比。

康托爾-伯恩斯坦定理

A與B的一個真子集對等

B與A的一個真子集對等

則A B 對等

現在題主已經說明了偶數與整數的一個真子集對等，並不代表偶數少於整數，因為存在偶數集的一個真子集和整數集對等(只需要取偶數集的一個子列編號0 1 –1 2 –2.......即可)

這兩個集合都有無窮多個元素，數學上為了比較這兩個集合元素的「多少」統一規定了一種方法，也就是用集合的「勢」來判斷。

討論無限時，整體大於部分和一一對應則等大兩個直覺不能兼容

前者叫測度，後者叫基數(勢

原因是前人對於無限多的情況下比較多少的定義你不清楚，並不是你的感覺不對

題主可以先思考一下你所說的「偶數數」具體怎麼定義呢？集合中元素的個數這個概念怎麼從有限集推廣到無限集？