請問該如何理解群的作用，軌道穩定子定理和西羅定理呀?

01-05

大家好(??ω??)??，想向各位大神請教：首先，請問如何理解群在集合上的作用?為什麼要定義這個東西，然後主要運用是什麼?
其次，在這部分內容下涉及三種情況的左平移（集合、左商集、共軛作用），定義這個目的是什麼?請問是說明如何運算嗎?另外凱萊定理說「任意一個群都同構於某一集合上的交換群」請問該如何理解?
然後，軌道穩定子定理我雖然看得懂證明，但是看懂了還是不理解。不明白應用場景，感覺和前面同態同構那些東西也好像
最後，西羅定理我主要看不懂證明，所以能否麻煩大家講講西羅定理的基本思路與應用呢?
非常感謝大家看完這個問題，實在是有點多。小女子不太聰明，且開學不久就準備為轉專業考試了，叨擾大家實在抱歉，還請各位大神不吝賜教?ω?~

謝謝謝謝謝謝謝謝謝謝謝謝謝謝謝謝！

謝邀。

我現在天天要用群作用，只不過是李群作用。理解群有兩種方式，一種是通過抽象的公理來給出，另一種就是通過群作用／表示論去理解。群作用就是群的一種具體實現方式，也就是把群裡面的元素看成某個集合上面的雙射（當然這個要在群作用是faithful，也就是映射單的時候才能這麼看）。像置換群Sn，一般線性群GL(V)，他們就是通過「集合上面的雙射」來定義的，所以他們的定義自帶著一個作用，有時候我們就叫「自然作用」。

另外凱萊定理是說「任意一個群都同構於某一集合上的置換群的子群」，這種基本定理不要記錯了。換句話說，任何一個群都可以看成某個「雙射群」的子群，群裡面的元素就可以看成一個個雙射。這個定理本身是平凡的，因為你直接把那個集合取成群本身，作用取成左乘或者右乘作用就行了；重要的是把群元素看成集合上面的雙射這種看待問題的角度。群作用不是什麼「錦上添花」的東西，它是理解群的一種基本觀點。群是對稱性的體現，群作用在一個集合（這個集合可以帶很多很多很多其他結構，比如可以是一個微分流形），體現的就是這個「帶了結構的集合」的對稱性。

軌道穩定子定理是跟同構第一第二基本定理一樣基本的東西。它無非是說，一個軌道的「特性」，由它對應的穩定子群來完全刻畫。穩定子群越大，軌道越小；軌道就是群商掉穩定子群得到的商空間（不是商群哦，穩定子群不一定是正規的）；西羅定理是有限群裡面的特定定理，它不像前面的那些結論那樣基本，帶一些技巧性；有限群相關的結論我平時用的不多，但是李群那是天天碰。群是現代數學裡面非常非常非常基本的對象，基本到跟四則運算、跟函數、跟微積分一樣基本的程度；像我一個做微分幾何的也成天要跟群打交道（主要是緊李群，當然跟我關心的問題有關，微分幾何裡面冪零群、可解群也是非常重要的），也要成天跟群作用跟軌道打交道。前天我剛折騰出SU(2)作用在SU(3)//T^2上面的所有穩定化子，一個稍微有點繁瑣的線代問題，今天晚上還要跟老闆聊聊這事；我算這個例子是為了驗證方老師那篇論文裡面的某個描述是否正確，現在看來好像不太正確。。

我在回過頭複習代數時候，是反過來複習，從域論開始，跳過去環，然後做群論。

群論是從sylow 三大定理開始，西羅定理第一證明存在sylow-p群，第二證明sylow-p群共軛，第三給了如何計算有限群sylow-p群個數。

先嘗試去運用，對給定個數的群做解析群結構，比如8,12,56等等，這樣的話，你會熟悉定理的模式和之前學過關於包括有限阿貝爾群生成定理，同構定理，類方程等等的運用，

西羅定理從廣義上來說，是從群階數來分析群結構，說是朗格朗日的部分逆推，不如說是補充，

一般來說，群的具體結構是很難去知道的，想像下矩陣或者向量空間，或者運算元，作用在某個集合，然後扒去雙運算其中一個，就是群作用這個東西，作用到其他集合上產生了中心等概念，作用到自己集合上產生軌道等概念，

群作用相當於這樣，你不知道一個人咋樣，所以你通過跟他接觸的人對他的看法來了解這個人，想想大多數我們都是這樣來了解別人的，關於如何自己了解自己，本身就是很難的

而關於具體的證明，我不覺得有太多需要說的，大多數在作用歸納總結和群作用的基礎概念，

仔細去分析一下，慢慢體會那種思想，

群作用在一個集合上其實就是對於群中的每一個元素都對應這這個集合自身的一個置換，只不過這個對應關係是和群結構相容的。比如g，h是群中兩個元素，它們分別在集合上的置換的複合，要等於gh這個元素在集合上的置換。

理解了這一點之後就不難看出如下定理成立：

設X是n個元素構成的有限集，則群G在X上的作用與G到置換群Sn的群同態一一對應。

所以可以發現有限群在有限集上的作用是有限的。（好繞。。）

下面我們把群G作用的集合X叫做G-set，對於X中的兩個元素x,y，如果存在G中的元素g，使得gx=y，那麼我們就稱它們在同一個軌道中。你可以直觀的想像成在x,y同一個軌道中，就是用一條線將它們連在了一起，g就是這條線，於是集合X中的元素都可以通過這樣的「線」彼此相連，或者不相連，不嚴謹地說，這些被連在一起的元素全體，就是X的一條軌道。將x所在的軌道記為Gx。

於是可以發現

X在群作用下，被分成了若干條軌道，並且每條軌道都不相交。

如果X內只有一條軌道，那麼我們就稱X是可遷的。由上面的結論就可以發現，我們要研究G-set，只用研究可遷的就可以。

顯然，我們不區別同構的G-set，兩個G-set同構的意思是它們之間存在保持群作用的雙射。

下面我們來討論穩定化子。定義X中元素x的穩定化子為S(x)={g|gx=x,g belongs to G}。顯然這是G的一個子群，對於穩定化子，我們有如下重要的結論（自己可以驗證）：

$S(gx)=gS(x)g^{-1}$

即同一個軌道中的元素的穩定化子都是共軛的，這個事實其實就是在告訴我們G-set X應該和G自然作用在商群G/S(x)是同構的。同構映射為：

$phi:X o G/S(x),y o gS(x),if y=gx,gin G$

（這裡其實不是那麼顯然，並且能把二者聯繫在一起需要對這部分知識有一定理解，如果一開始無法理解，可以把穩定化子是共軛的和同構當做兩個結論記住，並直接使用就可以。）

這樣我們就弄清楚了所有可遷的G-set都同構於G自然作用於其一個商群。而對於一般的G-set，它都是一些可遷的G-set的並。這裡不妨想一想有限群G能否可遷的作用於一個無限集合上。

由上面結論，我們就可以得到軌道長度、穩定化子的階和群G的階的關係。

現在我們來說一下群作用有什麼用。一般而言，對於不同的目的，我們會選取特殊的群作用來達到。最常見的就是共軛作用於自己本身，這時群中一個元素的穩定化子就是其自己的中心，常見的還有題主提到的作用於自己的左乘右乘。

舉一個群作用應用的例子。我們來證明A5是單群，讓其共軛作用於自己，則每一個軌道是它的一個共軛類，我們可以直接計算出每個軌道的長度，注意到一個群的正規子群必然是這個群的一些共軛類的並，所以如果A5有正規子群，那麼這個正規子群的階一定是某幾條軌道的長度的和，同時還要是A5的階的因子。而我們任取若干條軌道，它們的長度和都不能整除A5的階，所以A5沒有正規子群。

證明A5沒有正規子群還可以直接算，這裡舉這個例子只是說明群作用可以如何應用。我記得當時我看到過萬有覆蓋空間的存在性的一個證明也是用的群作用，不過具體的我忘了。。。

再比如我們可以用群作用來定義群代數上的模，群G在K向量空間上的線性作用和KG模是一一對應的，K是一個域。

最後，關於西羅定理，這個定理我感覺它的證明沒啥意義。。。沒啥意義的意思就是說，後面的學習中沒有用到它的證明中的想法（至少目前我沒有遇到。。），所以我的建議是記住會用就可以了，其證明看過一遍弄懂就可以了（這句話是說我早忘怎麼證明了。。）

給定一個群G，給定一個集合X.

怎麼理解「G作用在X上」呢？

step1:任何一個集合X都天生就有個兄弟S(X),這叫做X的對稱群，特別的，如果X是有限集，比如說有n個元素，那麼S(X)=S_n(X),即n 次對稱群，它裡面的元素都是對X的置換操作，即S(X)={σ:σ是X的置換｝

step2:現在我們有了兩個群G和S(X),還有一個集合X.群跟群之間的聯繫我們熟悉啊，所以暫且將集合X擱在一邊，先考慮兩個群。假設存在一個群同態ψ:G—&>S(X),這樣我們就在這兩個群之間建立起了一扇傳送門，群G中的元素可以通過此傳送門改頭換面以S(X)中的元素的樣子重新出現。

step3:所謂「群G作用在集合X上」本質是「S(X)作用在集合X上」。

你可能會疑惑這還不是一樣的嘛，你還是沒有解釋什麼叫群作用？！別急，其實已經有點不一樣了。S(X)相比一般的抽象群已經具體化了，而且跟集合X已經有關係了。你想一下，如果讓你來規定怎麼把S(X）作用在X上，你會怎麼做？很自然的就是按照S（X）里的置換，來置換X嘛！

這就是群的作用！

舉個例子，怎麼把群G中的某個元素g作用到集合X中的某個元素x上？首先我們按照群同態ψ把g變成S(X)里的元素ψ(g)，注意這時ψ(g)就表示集合X的某個置換了，然後用ψ(g)去置換x，因此

g作用到集合X中的某個元素x的結果就是ψ(g)(x).

看到了嗎，「群G作用在集合X上」本質是「S(X)作用在集合X上」，就是這麼個道理！

為了不這麼繞來繞去，人們把ψ(g)(x)簡單記成g?x，直接說g 作用在x 上，把背後起實質聯繫的群同態ψ給隱藏了起來！

我們可以進一步證明：每一個群作用「?」一一對應於一個群同態ψ：G—&>S(X)。也就說，當你給了我一個群G到對稱群S(X)的同態ψ，就確定了一個群作用? ；反之，你給了一個群作用? ,那麼冥冥之中一定有某個群同態ψ在聯繫著群G和對稱群S(X).

先寫這麼多，有機會再回答題主的其他困惑～

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再來談談為什麼要定義群作用以及為什麼這樣來定義？

我個人覺得這其中的動機可能源自於凱萊定理：任何一個有限群都與某個置換群同構，或者說，任何一個有限群都能嵌入某個S_n。

正是由於凱萊定理建立的這種聯繫，任意給定一個有限群，我們都應該能給它找到一堆東西(a set of things)，讓它去「置換」這堆東西。由此不難理解為什麼群作用要定義的如此曲折。

至於軌道-穩定化子定理，它的應用可多了，一個典型的應用是證明最簡單版本的「局部化公式」

再由此一氣呵成可證明最簡單版本的西羅第一定理，即所謂的柯西定理：

謝邀。不敢亂答。思考後，回答部分

1。為什麼要群作用

答：在學群作用之前的概念都是群和群之間玩，共軛元，子群，陪集，商群，同態，同構這些都是群與元素，群與群之間的關係。僅僅自己和自己玩，影響力有限，還需要一個工具，群和集合玩，就是作用action。比如置換群，天生就是為了改變集合。再舉例，矩陣的數乘，也可以看成實數加法群對矩陣集合的作用。

2.為什麼說群作用和置換群同態？

答：有兩點

1.群作用的結果是封閉的，生成的結果還是在集合中。這一點，書上一般不提，因為集合的定義就是保持封閉。但是這一點對理解很重要。封閉的另外含義就是置換。

2.置換群的特徵是：一次置換後，不同的元素必有不同的結果，即結果可逆。而群作用也滿足這個特徵：同一個群元素，作用於集合中不同的元素，結果必然不同。

證明： $acirc x=a circ y Leftrightarrow a^{-1}circ a circ x =a^{-1}circ a circ y Leftrightarrow x=y$ 。

所以一個元素可以與一個置換對應。之所以這樣，是因為群作用的定義保證了這一點，雖然群作用的定義只有兩條， f°g°x=(fg)°x,e°x=x，看似簡單，其實是一個很強的定義，類似於數乘，類似於函數複合，含有線性的特點。

要注意一點：群作用只是與置換群的子集對應，不是整個置換群。

迦羅瓦最開始只是提了置換群，是後來的人把群的概念更一般化了。但通過作用，發現任意群都是置換群的同態，所以研究任意群，其實只要研究置換群的一個子群就可以。所以說，後人雖然把迦羅瓦的概念一般化，其實有點畫蛇添足，置換群已足夠複雜。

3，左平移，左商集上的平移，共軛。。。幹嘛

這幾個概念其實是說，拿出一個群元素，和所有元素都發生一次關係，得到啥結果。你可以想像一下，自己一個人把班裡的同學都懟了一次是啥結果。

另：共軛其實是想看看兩個元素的運算是可不可以交換，可交換的話，在運算上更方便。

～~~~~~~~~~~~先到此，想好再答

其實最早大家是研究群作用（Group action），再抽象出群（Group）的。

群作用是一個更加容易被注意到的事情（規律？）。很多事物都符合群作用的要求。

舉個例子，假設你要研究魔方。

魔方的每一種可能達到的狀態可以看作一個集合（A）。你對魔方的旋轉可以看作群作用（G）。對魔方的旋轉有以下特性

1）無論你怎麼轉，魔方的狀態一定會在前面定義的集合（A）里

2）轉的步驟有結合律

3）轉的步驟可以被逆轉

4）可以不轉

很顯然，對魔方的旋轉構成了一個群，而這個群可以看作對魔方所有可以達到狀態的群作用。

然後這個群（G）同構於某個交換群的子群也很顯然。考慮到魔方所有的狀態（包括不可能通過旋轉獲得的，比如說任意把兩片色塊換位置，但色塊數量保持不變）（S），S是魔方經過某種置換（permutation）的結果且 A 是 S的子集。

後面的有空再寫

抽象代數|筆記整理（5）——群階數，西羅定理

我是屬於無聊到找點「有趣」的事才學自學抽代的。現在才剛開個頭，先是看顧沛的課程，介紹很NB，看到完全完全不懂他在說些什麼，不得已換了個老師，稍微好點，但問題還是一樣，先給出定義，然後一大堆運算和證明，耐心看還是能理解這些證明，但這些內容代表著什麼內涵完全懵逼，儘管我非常確定，這些一大堆亂七八糟的東西背後一定有非常簡單直觀的道理，但就是不能抓住它。後來看到 @匡世珉的回答，原來是老師教的不好。

由於我也是剛學，只能說一下我自己的理解，對不對我也不知道。

首先對於群G中的每一個作用對應於集合X的一個置換，這個應該都是明白的。

看圖， A,B,C,D,E,F是一個集合（就是正六邊形的頂點），現在有3個置換作用，編號1,2，3

這三個作用就是沿著對角線翻折，當然這3個作用對應著群G的作用。比如說經過編號1的作用，

A被換到了C，B點保持不動，C被換到了A，D被換到F。。。。,然後繼續經過編號2的作用，現在A被換到了E的位置，如果只有這3種作用的話，不管怎麼組合，作用多少次，A點只能被換到ACE三個點，不能夠換到BDF。軌道的定義很清楚（但是不能讓人理解），現在就能理解了，ACE就是A的軌道， BDF也是一個軌道， ABCDEF被劃分為了兩個軌道，軌道與軌道之間不相交，並起來就是整個集合。至於穩定子也已經很明白了。

這就是個人的一點理解，更多的東西還在學，也有可能中途就放棄了。

群作用是群論的本質和靈魂。逗機靈