既然一條直線的面積是零，那麼一個由無數條線組成的幾何圖形為什麼會有面積？

01-05

我們其實無法回答這個疑問本身。

我們只能是發展出一套理論，在這套理論之下，規避掉這個問題。

這個理論的核心就是，測度只能在可列個不交的可測集上相加。

為什麼要有這個理論？其實就是因為你的提問。

因為直線的面積是零，而由無數條線組成的平面圖形面積不是0.

所以，如果你要建立一套好的測度的理論，那麼測度不能隨便加。

因為測度加法不能把不可列個0加起來

反對部分答主的回答

點的半徑嚴格為0 直線的面積嚴格為0

數軸上[a,b]的對應線段的長度為b-a 是基礎定義不是不可數個0相加

長度面積體積等在數學中統稱為測度常用勒貝格測度

勒貝格一維測度的基礎公理很簡單（前2條也適用多維）：

空集的測度為0

可數個不相交可測集的並集的測度等於他們各自測度的和

數軸上a到b對應的線段測度為b-a

不可數個集合的測度只能用公理3對應到數軸上的長度並不能用測度相加

所以在涉及並集測度時加法只定義在可數範圍內

可數範圍內並集測度等價於加法有的人就混淆了加法和並集測度用到不可數範圍內這是不對的不可數個0的和依然為0 而不可數並集的測度是通過定義得到的

順便扯一點不可數個非0數相加是不可計算的

從可計算理論的角度想通常我們說的加法是遞歸的比如要算1+2+3=6 先算出1+2=3 再算3+3=6（當然結合交換著算都可以）所以想要算加法至少要能把所有的元素都列舉出來才能遞歸著一個一個加

對於自然數的和 1+2+3+... 雖然是無限個數但即使對於任意大的數只要這麼寫下去總會寫到那個數（和極限的定義異曲同工）這時候雖然數很多但總是可以加的

但實數就出了些問題可以證明實數是不可列的不論你怎樣機智的構造一個方法想把所有實數都列出來總會有漏掉一些數

這時候加法就很迷茫讓它把所有實數加起來可是並不能列出所有實數更不用提把他們加起來了所以一般地不可列個非0數的加法是不可計算的

題主可能認為的問題是「為什麼無數個面積為0的直線面積相加變成了有面積的面」。

最直接的回答是:面的面積不等於直線的面積之和。

首先我們注意到我們所熟知的「加法」只在特定集合中成立，一般是實數集。當然例如矩陣集中也有加法，但和實數集中的加法的運算規則是不一樣的。

回到問題，由於線組成的集合屬於一個「連續統」，而在「連續統」中，沒有我們熟知的「加法」。

關於「連續統」，它是元素數量為不可數無窮的集合，例如直線上的點組成的集合，一段時間內所有時刻組成的集合（注意，整數雖然也有無窮多個但它是「可數無窮」）。

所以，把無數條直線的面積值「相加」沒有意義」，面積大小的定義也不是通過這樣的相加得到。

//上述所有的直線應該改為線段

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關於「加法」和其適用集合的關係（準確的說是一種運算和一個集合能否組成一個「群」），在我另一個回答中有較詳細的闡述，就是「為什麼1堆糖+1堆糖=1堆糖，1+1=1？」那個問題。

我們把前提確定在R^2上的Lebesgue測度。

Lebesgue測度意義下面積只能要求有可數可加性，而一族直線的並不一定是可數多個直線的並，因此不能簡單地把直線（0測集）的面積相加若干（可能不可數多）次來得到你需要的集合的面積。

知乎的數學水平什麼時候這麼低了，上面基本都是誤導。

1.說直線的面積是無窮小量的回答顯然是誤導，直線在R^2勒貝格測度下測度就是0。

2.不可數集上的求和是有定義的，並不是沒有意義的事，可以參見陶哲軒的analysis，只不過想要得到收斂的結果，最終你發現還是在做可數和，這個集合上只有可數個元素非0。不可數個0加起來當然還是0，因為這個不可數集上的每個級數算出來都是0，然後取個上確界得到答案是0。

然而這樣加出來的東西沒有任何意義。數學家規定，想要求一個圖形的面積（集合的測度），你最多只能把它分成可數個不交的子集來求，不能分成不可數個。因此，雖然一個矩形確實是不可數個線段的並，但你不能把它這樣分開來算面積。

如果你能接受 [0,1]長度為1

它本身就是無窮多個長度為0的點組成的,

直線-面積也就迎刃而解了吧

嚴謹的答案當然好，但並不是題主能看懂的。我來說一段高中生題主大概能看懂的人話吧。

首先定義「可數無窮」。對於一個無窮集合S，如果我們能夠將S中的元素寫成一個列表，如｛a1，a2，…an｝，那麼我們說集合S的元素有「可數無窮」多個，或者說S是可數（可列）集。如果不能寫成列表，則說S中的元素有「不可數無窮」多個，或者說S是不可數（不可列）集。

舉例，自然數集N=｛0，1，2，3，…｝就是可數無窮集合的一個典型例子。

再舉一例，偶數集2N=｛0，2，4，6，…｝。

有理數集Q也是可數無窮集合。這個並不顯然，題主如有興趣，可以思考如何列出Q中的所有元素。

不可數無窮集的典型例子是實數集R。證明R不可列的方法之一是康托對角線方法。這個證明和問題本身無關，只放一張圖，不詳細展開。

相應地，閉區間[0,1]也是不可數集。

有了這些預備知識，我們可以進入正題。

考慮一個和題主問題相似的問題：線段[0,1]上的每一個點長度是0，為什麼作為這些點的集合，這條的長度是1，而不是0？

答案也不難。有限個零相加當然是零，但無限個零相加就不一定。相信題主一定知道1/2+1/4+1/8+...=1

這個無窮項能夠求和，正是因為這個求和的項數是可數無窮多的。直觀來說，可數無窮個數相加，容易定義，不可數無窮個數相加，沒法直接定義。具體到這一個問題，可數無窮個零相加還是零，不可數無窮個零相加，沒有定義。而線段[0,1]上，恰恰有不可數無窮個點，因此它的長度不能通過把它分解成無窮個點的長度和來計算。

希望這個不嚴謹但比較直觀的答案，能夠幫到題主。

很多人的回答都是錯誤的。

@不會功夫的潘達，回答是對的。想徹底弄明白它，可以看有人提到的那篇「長度是怎麼煉成的」。

我簡要解答一下，

1. 點的長度=0，線的面積=0都對，沒有任何問題。

2. 可列個點（即自然數那麼多個點）的長度之和仍等於0，也就是說可列個0的和為0，

但是不可列個0加和就可能大於0了

比如[0,1]區間是不可列個長度為0點構成的，結果長度變成1了

同樣的道理，可列條線(段)的面積之和一定是0，不可列條線(段)的面積之和就可能大於0了

3. 一維的長度，二維的面積，三維的體積，這都叫做集合的測度(集合大小的一種度量，當然測度也可以度量更高維的集合)

作為高中數學老師，儘可能用高中生能夠懂的語言翻譯極限。

先給一種合理的解釋，但不被主流數學所認可的解釋（尋求合理的解釋是一種態度）

直線的面積等於0，這個0是「無窮小量」不是「數量0」

無窮小量的定義為：對於任給的正數 ε（無論它多麼小），0&<|x|&< ε，我們就說x是無窮小量

數量0的定義為：整數之一，代表沒有。

無窮小量和"0"的本質區別是

無窮小量經過無窮放大，就有可能不是無窮小量，而"0"不行

比如：當x無窮小的時候，x/x=1(x(無窮小）經過1/x（無窮大）倍放大後，變成了1）
但是當x=0，x/x沒有意義（0不能做分母）

有很多人疑問我為什麼給這個理解方式，直線的面積明明是真實0，而不是無窮小量啊！！！ 1.誰給題主解釋下勒貝格測度 2.不對，誰給題主解釋下什麼叫做測度

--------華麗麗的分割線--------

真正的原理是，不是什麼東西都可以加的。

小學數學老師告訴你：除法的時候分母不能為0 初中數學老師告訴你：開根號的時候根號裡面不能是負數高中數學老師告訴你：根號裡面又可以取負數了，但是取對數的時候真數不能是負數大學數學老師告訴你：加法、減法、乘法、除法、冪運算等等等等都有限制，限制的範圍和小學初中高中老師告訴你的都不一樣。當你自己真正研究數學的時候：你會發現什麼都可以重新定義......

因為有連續性啊。

無數條還分成可列個無數和不可列個無數，可列個無數條直線想加，面積也是零呀

看了那麼多大佬各種極限微積分真是不敢發言了。

還是那個邏輯，先說是不是，再問為什麼。

直線沒有面積，無數條直線疊加在一起也沒有面積。直線疊加有沒有間隙?有，哪怕再小也沒有面積。沒有間隙那就還是一條直線。

你拿筆畫肯定能畫出面積來，因為你每條線都有面積。但是數學裡，你能看到這條線不代表它就是有面積的。

再打一個簡單的比方，兩條同一點出發的不同射線會有第二個交點嗎？

除了這一個點直線就不會再相交（非球面等其他載體）

0×∞=0

這問題是一個偽命題.

無數條直線組合起來的幾何圖形可能測度還是零。

可數和與不可數的和

大部分回答都是胡說八道，有的看起來還一本正經。

簡單地說，題主這裡的面積指的是通常意義下的R^2 Lebesgue測度，具有可數可加性（蘊含有限可加和可列可加），而不具有不可數可加性，你這麼做加法當然不成立。

想了解深入的話請學習測度論，想稍微知道大概的話可以看看Terence Tao的Analysis，或者一般的實變函數教材的第一章。

網上有篇文章叫《長度是怎樣煉成的》，看明白你就懂了

開區間小球的體積測度最後歸結為定義。就如開線段長度是端點差這是個定義，並不能從點的測度加積分推出來。

你們誰能回答我一下為什麼球的體積不是一個圓繞半圈=(pi*r^2)*(2*pi*r/2)？

大聲告訴我，x乘x分之一。當x趨於無窮大時，他等於多少，

線無粗細，組成的面有面積。面無厚薄，組成的體有體積等等。這些問題都可以簡化為沒有大小的點變成有長度的線。線段是一個點到另外一個點的運動軌跡，一個面是一條直線或者線段移動到另外一條直線（可收縮）的運動軌跡，以此類推。因為我們默認或者前提假設，1、可無限分割；2、瞬時即刻，時間無窮小，速度無窮大（無論你畫一段線需要多少時間，畫多長一段線，乃至坐標軸般負無窮到正無窮）。因此端點之間兩個相鄰點沿線段前進方向是有位移（長度）的，其值為無窮小lim（1到正無窮）-&>（）。==============

民科胡說八道