如何理解Tarski的真理論？

01-06

"snow is white" is true iff snow is white.

問題描述中的 "snow is white" is true iff snow is white 是Tarski的著名的"T約定"的一個實例，遠非Tarski真理論的全貌。事實上，「真理論」這個詞是容易引起誤解的，因為說到真理論，一般會聯想到符合論、融貫論、冗餘論等等，Tarski的工作並不是這些，他實際上是在定義「真」這個概念，所以說「Tarski的真定義」比說「Tarski的真理論」更容易把握。

要定義「真」，也就是要 給出一套規則，說一個句子真當且僅當它滿足什麼樣的條件。 「真」是一個語義概念，Tarski的工作實際上是建立一套語義學。

這裡就有東西值得說了。首先，說一個句子真，這個「句子」是什麼？由於這是在建立語義學，因此定義中當然不能包括什麼語義成分，而去掉了語義的句子不過就是按照語法規則排列的符號而已。而符號總是相對於特定語言的，不同語言會有不同的符號，因此句子必須是某個語言中的句子。而自然語言那麼多，不需要給每種語言都建立一個語義學，只需要給它們共通的部分——深層的邏輯語法——建立一套語義學，而這實際上就是給形式語言建立語義學了，也就是模型論的工作。Tarski工作的主要部分就是給一階語言建立形式語義學。（題主在數理邏輯課程上學的一階邏輯的語義，其實就是Tarski最初給出來的，只是後面可能又有一些小的修改）

然後，「真」的定義其實就是說一個句子為真當且僅當一定的條件成立，這個條件既然不能出現語義概念，那該用什麼去定義「真」呢？這就要扯到Tarski的物理主義立場，粗略地來說，物理主義就是說，所有概念能夠最終完全通過數學、邏輯和物理學的概念來定義。其中數學和邏輯是沒有什麼爭議的，所有人都會同意它們的基礎地位，物理主義的核心就在於認為物理學、物理概念、物理實體可以比其它概念具有更基礎的地位。Tarski就是要將「真」這一概念建立在物理概念上，將其它所有語義概念（有效性等）都建立在「真」概念上，從而建立一套語義學（Tarski的科學語義學），將所有語義概念還原為非語義概念。

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以上就是Tarski發展語義學的一些思想來源，「真」的定義只不過是這個語義學中一個環節而已。這個對「真」的定義當然不能是隨意的，需要滿足一定的條件。除了上述的物理主義的限制，還要滿足「形式正確性」和「實質適當性」的條件。

所謂形式正確性條件，就是說要想得到一個精確的定義，就要用元語言給出一個定義應當遵循的形式準則。而實質適當性條件是說，針對一個語言來說，任何合理的真定義都必須能且僅能推導出該語言中「T約定」的全部實例。

T約定就是：

（T約定）S在語言L中為真，當且僅當p。其中，S是對象語言L中的語句，p是S在元語言中的翻譯。元語言中的語句被理解為直接談論物理世界的事實。

所謂T約定的實例，舉例來說就是：「雪是白的」is true in Chinese if and only if snow is white. 題目描述中的「snow is white」 is true (in English) iff snow is white也是一個實例，不過這兩個實例分別是中文語言中和英文語言中的實例。還可以以一階語言為例， Pa is true，當且僅當在該一階語言的解釋 I 中， Pa所對應的那個解釋為真。

這裡又得說說元語言和對象語言的區分了（詳見https://www.zhihu.com/question/28107854/answer/150749897）。上面已經說過，「真」是針對某一語言（對象語言）中的句子而言的，而「真」這個字本身也是語言（元語言），這兩個語言可不可以是同一個語言呢？Tarski認為不可以，因為假如這兩個語言是同一個，那麼就可以構造一個說謊者悖論句（「這句話不是真的」，在https://www.zhihu.com/question/20086762/answer/133768293我有更詳細的說明）。

形式上來說，Tarski證明了，在他對「真」的定義下，如果一個形式語言豐富到包括了自然數算術系統，那麼就可以使用和哥德爾不完全性定理一樣的證明手段，證明這個語言中不可能包含一個謂詞T刻畫了「真」，如果包含這樣一個謂詞的話，那麼由於包含了自然數算術系統的語言具有自指的能力（以哥德爾編碼的方式），那麼就可以仿照哥德爾用形式語言構造哥德爾句「這句話是不可證的」一樣，用形式語言構造「這句話不是真的」。這就是著名的「真的不可定義定理」。

元語言和對象語言的區分就是從Tarski這裡開始的，他認為「真」應該是一個元語言謂詞，用來描述對象語言中的句子的真假。元語言當然可以和對象語言是同一個語言（或者更精確地說，元語言可以在對象語言中翻譯出來），但這種語言因為表達力過於豐富而具有了自指的能力，因此「真」謂詞在這種語言中無法定義。只有在表達力較為貧乏的語言中，元語言比對象語言更豐富，才能擺脫自指，給出實質適當的——能推導出T約定的全部實例的——「真」謂詞。

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OK，現在已經講了Tarski發展科學語義學的思想來源以及他希望他的語義學能滿足的一些條件，也講了元語言和對象語言的區分，還提前講了Tarski的真的不可定義定理，下面就具體說一說Tarski對一階語言的語義學。

先從最簡單的情況說起。先考慮這樣一個很貧乏的語言L，它裡面只有三句話：1. snow is white，2. sky is blue， 3. grass is green。現在以漢語為元語言（Tarski是以英語為元語言，這都不關鍵），顯然按照T約定，他們的真值分別為，1為真當且僅當雪是白的，2為真當且僅當天是藍的，3為真當且僅當草是綠的。那麼「真」的定義就應該是這樣：

s是真的當且僅當，
要麼s=「snow is white」並且雪是白的；
要麼s=「sky is blue」並且天是藍的；
要麼s=「grass is green」並且草是綠的。

這是一種枚舉式的定義，它顯然滿足實質適當性標準（推導出了T約定在L中的全部實例），並且將L中語句的真還原到元語言中的語句，並對應著物理事實雪是白的、天是藍的、草是綠的。

可是這種枚舉定義只適用於語言中語句是有窮個的情況，更多的情況是我們有很多很多原子語句，並且可以通過邏輯連接詞，如「非」「並且」「如果那麼」等，連接任意的句子，以構造無窮多句子。現在我們當然知道，類似「p且q」這種公式的真可以通過 p和q 的真來定義，而這兩者又可以進一步還原為更小的公式，直至還原至原子公式。我們需要知道的是，這種我們現在很常見的對「真」的遞歸定義，是起源於Tarski的。以上面那個貧乏的語言L為例，假如我們在那個語言中加上邏輯詞not、or、and、if then，那麼我們就能得到一個語言L1，它的真定義是這樣：

s是真的當且僅當，
要麼s=「snow is white」並且雪是白的；
要麼s=「sky is blue」並且天是藍的；
要麼s=「grass is green」並且草是綠的。
要麼s形如not p，並且p不是真的；
要麼s形如p or q，並且pq至少有一個是真的；
要麼s形如p and q，並且pq都是真的；
要麼s形如if p then q，並且not p 和 q至少有一個是真的。

這是一種遞歸式的定義，當然也滿足實質適當性標準，並且將對象語言L1中的任何語句的真值都還原到物理事實上。

我不打算在這裡把Tarski對一階語言的真定義完全寫出來，因為知乎的TeX環境實在太垃圾，而且也沒有必要寫出來——只要對一階邏輯有一點基礎了解的人都會知道一階邏輯的「被所有對象序列滿足的語句就是真語句」的語義，這其實跟Tarski的真定義沒有兩樣。鑒於題主學過數理邏輯課程，所以我就沒必要再多花時間在這上面，只簡單介紹一下。

Tarski對一階語言的「真」是通過「滿足」來定義的，「滿足」指的是論域中的對象（序列）滿足一個公式。要描述「滿足」這一概念，需要將一階語言中的「項」（term）——包括個體常元 a 和函項f ( a )——與論域中的對象對應起來，還需要先解釋原子性質 P，才能說明每個個體常元 a滿足哪些原子性質P，然後才能進行如下步驟：

對開公式 Px來說，其中P的解釋是「是白的」，那麼這個公式就被對象 a 所滿足，其中a是物理世界中的雪。類似Px這種開公式的「滿足」概念是很好理解的，Px可滿足當且僅當它被某一對象a滿足，當且僅當a具有P性質。

而對於閉公式來說，由於沒有自由變元，因此「滿足」就被定義為：被所有對象（序列）所滿足。一個閉公式要麼被所有對象滿足，要麼所有對象都不滿足它。

至於被邏輯連接詞所連接起來的語句，它們的「滿足」概念就和上述語言L1的「真」定義類似。

而「真」就被定義為：一個語句是真的，當且僅當它被所有對象滿足。

這樣，Tarski就給出了一階語言的「真」的定義，然後，將其它所有語義概念還原到「真」上，「真」又還原到「滿足」上，而「滿足」又還原到論域中的（物理）對象所具有的性質上，並且直觀上滿足了實質適當性。這樣就將一階語言的語義完全還原到物理上。

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以上就是對Tarski在一階語言真定義方面所做的工作的十分簡短的介紹，那麼這個工作是否真的完成了Tarski最初的目標——將所有語義概念還原到物理上——呢？一些人認為是的，比如Popper，在Tarski這個工作之前，一些持有物理主義或自然主義的哲學家認為「真」這種語義概念是不合法的，因為沒法還原到物理上，但在Tarski之後，Popper說了這樣一句話：

As a result of Tarski"s teaching, I no longer hesitate to speak of "truth" and "falsity".

但遠非所有人都同意Tarski真的完成了語義物理化的目標。由於在定義「滿足」時，Tarski需要將一階語言中的「項」（term）——包括個體常元和函項——與論域中的對象對應起來，而這種神秘的對應關係究竟是什麼呢？說一個語言中的表達式和一個個體對應，「對應」並不是數學、邏輯、物理上的概念，那麼這種對應關係除了是指稱關係以外，還能是其他什麼嗎？如果同意這一點，那麼Tarski的工作就是將所有語義概念還原為「指稱(denotation)」概念和物理概念，並沒有完成全盤的物理化。Hartry Field在Tarski"s Theory of Truth中指出，Tarski是將「truth」還原到了「個體常元的指稱(denotation)」，「對象a對性質P的適用(application)」，「兩個對象a,b對函數f的填充(fulfillment, 即f(a)=b)」。

對Tarski工作的評論遠非一篇知乎回答能講清楚，但有幾點可以肯定，Tarski的這個工作是模型論的發端，是元語言和對象語言分開的發端，是一階邏輯的語義的遞歸定義的發端。他的遞歸定義直至今天都沒有受到什麼大的修改，一階邏輯的模型論語義到現在依然主要是Tarski的功勞；他關於語言分層的思想也啟發了後面很多的哲學思想。

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習慣性地總結一下：Tarski從物理主義立場出發，想把所有語義概念還原為非語義概念（數學、邏輯、物理概念），他的具體策略是，將所有語義概念還原到「真」這一概念，將「真」還原到「滿足」上，「滿足」通過數學、邏輯、物理的概念來定義。他認為，除了滿足物理主義以外，一個成功的語義學還要滿足形式正確性和實質適當性條件，前者要求元語言和對象語言的分層，後者要求推導出T約定的全部實例，問題描述中的『snow is white』 is true iff snow is white即是T約定的一個實例。按照這些標準，他具體給出了一階語言的語義學，定義了「滿足」概念，使用了遞歸定義的手段。並且，他還使用和哥德爾不完全性定理相同的證明手段，證明了對過於豐富（包含算術系統）以至於具有自指能力的一階語言來說，不能無矛盾地定義「真」，這就是「真的不可定義定理」。雖然他的語義學是否真的成功將語義概念還原到非語義概念尚有爭議，但Tarski對模型論、語義學等方面的貢獻是被公認的。

嗯，就醬。知乎TeX不如改名Te屎：）

塔斯基的想法其實不複雜，因為我們今天的很多數理邏輯基礎教材里已經把他的想法融入進來了。

塔斯基的意思是，「真」作為一個謂詞，在一個包含該謂詞的語言體系中，本身是不可定義的，否則必然會造成說謊者悖論。

那麼，就有必要設置一個元語言（用來談論對象語言的語言）來定義「真」這個謂詞。換言之，「真」本身在對象語言中不可定義，它的語義必然是在比對象語言高一級的元語言中給出的。

怎麼給出呢？也很簡單，先建立一個一階邏輯形式系統，然後將對象語言翻譯成一階邏輯形式語言，最後再判定哪個具體的一階邏輯形式語言是否是被滿足的。（「滿足」這個概念也是有嚴格定義的）

具體就像LLLBK所說，只要翻譯滿足形式正確性條件和實質適當性條件即可。

所以，塔斯基的想法，重點就在於他用詳細的論證說明了，「真」這個謂詞本身不可以在對象語言中獲得定義。所以我們有時候又把塔斯基的貢獻稱之為「真之不可定義性」。

沒看過這類理論的書。從兩個回答里看出點內容。真作為一個判斷的詞，理論創始人試圖把感知到的現象用哲學理論和科技理論加以辯證。但本源是沒有盡頭的。求真、證明真，真在哪裡？理論體系會隨著未知界的減少而更新。如存在就是真，這個存在也只是人的感知概念的存在。感知能力因為學習的理論才表現識別某一物質存在與否。個體大腦存在的理論是完美的嗎？未知。所以「真」的辯證從哲學入手好一些。