為什麼普朗克假設微觀粒子的能量量子化之後就可以正確解釋黑體輻射，而維恩和瑞利的公式發生了較大偏差？

01-05

本質上的區別是什麼呢？
課本上沒有講清楚，於是至今不明白黑體輻射跟能量量子化有什麼必然的聯繫。。。
求指點

謝邀（瑟瑟發抖）……N年之前正好看過一些這方面的歷史書，發現發現Planck公式的過程相當好玩……

其實更早的時候物理學家就是按照一個一個粒子來處理黑體輻射譜的。1893年Wien把光當成一堆無規則運動的粒子，得出黑體輻射譜必然具有 $ho( u,T)= u^3f(frac{ u}{T})$ 的形式，這裡f是一個還不知道的函數。就在同一年Rubens和Nichols發明了剩餘射線法，大概就是讓紅外線在一系列晶體之間反覆反射，構成一個紅外波段的濾波器。（因為你要測光譜肯定對頻率要有選擇性，紅外比光學波段難多了，這個方法後來有大用。）

1896年的時候Wien猜測粒子的能量 $epsilonpropto u$ （！），得到了 $ho( u,T)=alpha u^3e^{-etafrac{ u}{T}}$ 。次年Paschen在1~8微米的紅外波段對Wien的公式進行了驗證，結果喜大普奔：「看來，很難再找到另一個函數，能用這麼少的常數來表達這些數據。」

這個時候正是統計力學開始流行的年代（波爾茲曼可是還活著呢）。1900年6月，Rayleigh首次試圖將能均分定理用於黑體輻射問題，悲催地得到了他那著名的 $ho( u,T)=c_1 u^2T$ 。當時已經有一些Wien的公式在低頻區不對的苗頭了（為什麼只是苗頭呢？因為在低頻區實驗測得並不准），Rayleigh表示：「我們提出 $ho( u,T)=c_1 u^2T$ ，在 $frac{T}{ u}$ 很大時，可能是對的，而維恩律不對。」大家都看得出來Rayleigh的公式在高頻區發散（意味著會發出大劑量gamma射線！），Rayleigh怎麼會意識不到呢？於是他大筆一揮，加上了一個截斷因子 $e^{-c_2frac{ u}{T}}$ ，這下沒事了吧……假如當時他意識到在所有頻率上黑體輻射應當由一個公式來描述的話，就沒有後面Planck什麼事了。

為什麼這麼說呢？Rayleigh不是1900年6月提出了他的公式嗎？10月7號Rubens夫婦（就是發明剩餘射線法的那個）到Planck家做客，聊天的時候Rubens提到，哎呀我們最近提高了測量精度，現在已經確定在低頻區 $ho$ 和 $T$ 成正比了（Wien是錯的Rayleigh是對的），結果還沒有發表。下圖是一本歷史書上的Rubens-Kurlbaum實驗結果，可以看出Wien的那條虛線不對了。

Rubens夫婦走了以後，Planck就覺得，既然一個在低頻區對，一個在高頻區對，那麼這兩個公式一定是某一個更加正確的公式在兩個極限下的近似！沒有幾個小時Planck就把正確的公式猜出來了： $ho( u,T)=frac{8pi h u^3}{c^3}frac{1}{e^frac{h u}{kT}-1}$ 。然後10月25號Rubens和Kurlbaum發表實驗結果的時候，評論里就把Planck公式一起發表了。（可見和做實驗的搞好關係多麼重要，其他人表示Planck你這是作弊啊……）其實Rayleigh只是輸在，他意識到在高頻要讓曲線掉下來，但是沒想到必須要按照Wien公式掉下來，隨手就加了一個指數函數……

Planck並沒有中了大獎之後就悶聲發大財，他還要找解釋（畢竟是猜的公式，心虛啊）。他就發現Planck公式算出來的熵 $S=k[(1+frac{U}{h u})ln(1+frac{U}{h u})-frac{U}{h u}ln(frac{U}{h u})]$ ，而統計力學則給出 $S=k[(1+frac{U}{epsilon})ln(1+frac{U}{epsilon})-frac{U}{epsilon}ln(frac{U}{epsilon})]$ ，就好像能量是以 $epsilon=h u$ 一份一份放出來的一樣。

當然我們後來知道，Planck當時是不可能得出對他的公式的正確解釋的，因為正確的解釋需要用到Bose分布，那要等到1924年了。Bose假設粒子數不守恆、粒子不可分（就是題目里問的），然後用統計力學的方法考慮不同能量上粒子如何分布。（這部分內容任何統計物理的書都會有的，就不做搬運工了。）我的理解是（不敢保證對），原來Rayleigh公式用能均分定律是不對的，不同的頻率並不是不同的自由度；我們之所以沒有被gamma射線亮瞎，是由於對於一定的總能量來說，把能量集中在少數幾個高能光子上可能的微觀狀態數比有很多低頻光子要小；引入量子化並不能解決全部問題，Wien其實一開始就已經引入了（於是有了指數項），而指數項後面的-1則是Bose-Einstein統計造成的，這一項才是Wien公式缺少的。

本質上的區別就在於能量量子化後光子具有波粒二相性（愛因斯坦也是根據普朗克的假設來解釋光電效應的）。

實際上，黑體輻射主要解決的問題是：為什麼黑體輻射某特定波長具有某特定強度？

德國物理學家維恩是一個實驗物理學家，所以他一開始拿到實驗數據的時候首先想到的是溫度（輻射肯定和溫度有關嘛），於是用熱力學來推到公式。在熱力學裡，溫度是微觀粒子的平均動能，所以維恩在處理數據時是把光子看成一個個粒子（因為只有粒子才會具有動能啊），然後得到了一條經驗公式 ρ_λ= C_1/(λ ^5 ^((－C_2/ λT) ) )(之所以說是經驗公式是因為C_1和C_2是實驗得到的而非理論推導)。由於維恩把光看成粒子，所以在短波方面符合實驗（因為波長短嘛），但在長波方面由於波動性不能忽略，所以維恩公式出現了偏差。

而瑞利是一個理論物理學家，他覺得熱力學不正統（當時波爾茲曼的思想還不被大多數所接受），既然是光嘛，就肯定用電磁學來解釋撒。於是他以能量均分為假定條件得到了輻射公式 ρ（ ν,Τ）d =(8 π ν^3)/c ^3 kΤdν 。由於是用電磁波來解釋，所以在波動性很強的長波方面符合實驗數據，但在短波方面，因為能量均分（能量均分定理是指當系統平均而言一達到熱平衡時，系統的總動能由各獨立分量所等分），所以即使頻率很低的光子依然為系統貢獻能量，想像一下，黑體內可以有無窮多個不同頻率的光子，每個光子都對系統有貢獻的話，那系統的總能量是不是無窮大。這就是為什麼瑞利公式在短波附近強度會趨於無窮。

而普朗克是在知道這兩個公式的情況下，利用內插法將兩個公式結合到了一切，就有了普朗克公式。我們看到上面兩個公式是分別把光子看成粒子和波的，所以會出現不完備的現象。而普朗克將兩者結合起來也就意味著將粒子和波結合起來。在長波段由光的波動性佔主導，而在短波段，由於低頻波不再為系統做貢獻（可以聯繫到後面愛因斯坦解釋光電效應時用的逸出功），波動性減弱，只有頻率足夠高的光子（波長短的光子可以近似的看成粒子）對系統有貢獻，所以強度變得有限了。

謝邀，量子化中間有個很長的過程，有很多很多科學家的努力。看看原子物理。

嗯，我就傳一波上課和這塊有關係的ppt，覺得推到過程還是很清晰的

講個故事：

在一個大冬天裡，暴雪呼嘯，無數人擠在黑心老闆的工廠里的一間房間里幹活。天很冷，而房間里有空調，但黑心卻規定：空調開1°，每人就交1元，開2°則交2元，開3°則交3元……以此類推。

房間里有無數人，無數不是沒有數，而是無窮大的數。因此，只要一開空調，不管開幾度，似乎黑心都能拿到無窮大數的錢。

但實際情況卻並不是如此的。由於人太多，黑心不方便找錢，所以錢幣面額大於該給的，就不用給了。

於是，工人們把手裡錢進行了重新分配：工人01拿1元面額的錢，工人02拿5元面額的錢，工人03拿10元面額的錢，工人04拿20元面額的錢，工人05拿50元面額的錢……以此類推。然後，他們把空調開到了30°。

黑心過來收錢了，工人01給了他30張1元面額的錢，工人02給了他6張5元面額的錢，工人03給了他3張10元面額的錢，工人04隻給了他1張20元面額的錢（因為工人04如果給他2張，就要找錢了），而從工人05開始都不用給黑心錢了，因為他們給他1張錢就要找錢了。

結果，黑心並沒有拿到無窮大數的錢，而是只拿到110元錢。

黑體輻射的情況和以上故事中的情況類似。能量團就好比是錢幣的面額。因此，黑體輻射的能量並不是無窮大的，而是有限的。

首先，研究黑體的熱輻射規律可以拋開材料問題，這一點樓主應該很明白，其次，為什麼能量量子化後，問題就得到了解決，樓主不妨試試不讓它量子化，也就是說在算振子的平均能量時採用積分形式，而不是求和形式，你就會發現算得的振子平均能量值和Rayleigh的結果是一樣的，也就是說，能量對頻率的積分值又是發散的，也就是紫外災難，所以，只有變成求和的形式，才能使能量對頻率的積分是收斂的。普朗克一開始得到這個公式時候用的是內插法，也就是說他是蒙出來的，後來他發現只有用求和的方式，才能得到收斂的能量積分值，符合實驗規律，也就是說，能量必須是量子化的。