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作業題大學物理實驗物理物理學物理現象

如何證明旋轉杯子中的水液面呈拋物面？

01-05

也可以理解為只有水在旋轉，不考慮水與杯壁的摩擦力

運用等效重力的概念，有一個很簡潔的解法。

假設觀察者站在圓心隨著水面一起以角速度ω轉動，那麼在他看來，水面之所以不是水平面是因為受到一個不均勻的「重力場G"」的作用。具體來說，水面上相對觀察者水平距離為r質量為dm的一小團水的受力如圖所示

因此G"的斜率是(-g/ω2r)，又因為重力場下水面必然處處與重力場方向垂直，因此在此處水面截面的切線斜率為(ω2r/g)。

設豎直方向為y，則得到關於水面截面的微分方程

經過簡單的積分和選取初始條件，立即得到

該拋物線對應了水面的一個截面，因此水面是一個拋物面。

證明完畢。

來一波死算

設角速度為 $omega$ .設杯子半徑為 $R$ ,不考慮水溢出,設杯子深度無限.選取到中心軸的距離 $r$ 和到杯底的高度 $z$ 作為參量.用 $r$ 處液面高度 $h(r)$ 來表示水的分布.設水密度為 $ho$ .

杯子中水的體積為定值

$V = int_{0}^{R} 2 pi r h(r) mathrm{d}r$ (1)

單位體積勢能為

$u =- frac{1}{2} ho omega^{2} r^{2}+ ho gz$ ,

故總勢能為

$U=int_{0}^{R}int_{0}^{h(r)} (- omega ^{2} r^{2} + 2gz) ho pi r mathrm{d}z mathrm{d}r$ ,

化簡後有

$U = int_{0}^{R} ho pi [- omega^{2} r^{2}+gh(r)]h(r)r mathrm{d}r$ (2)

本問題即為求(1)約束下的函數 $h(r)$ 使 $U$ 取極值.

利用拉格朗日乘子法,設

$U$ ,

即

$U$ .

要取極值則

$frac{delta U$

化簡得

$h(r)=frac{omega^{2}r^{2}}{2g}+frac{lambda}{ ho g}$ .

在旋轉參考系中，液面穩定處於靜止狀態，由於水是流體，所以液面一定是等勢能面。

不妨取旋轉軸某處為勢能零點，且液面高度恰好位於零勢能面，對於液面處體積為ΔV的小液滴，它的坐標一定滿足

ρ g ΔV h + 1/2 ρ ΔV ω2 r2 ＝ 0

由此得到液面為旋轉拋物面。

更新：

原答案中的計算不對，慣性離心勢的符號是負的，所以之前那個式子更正為

ρ g ΔV h - 1/2 ρ ΔV ω2 r2 ＝ 0

難得有我會答的題目？不請自來=w=

那麼先畫個圖(′▽｀)ノ?隨手畫的別介意啦

如圖建立z軸

隔離水表面質量為m的小水塊

有

而tanθ為該曲線小水塊處的斜率，於是

所以

這樣就得出了水面為拋物面(′,,???,,`)#定積分沒有c……謝謝各位評論區的小夥伴，我當時沒有仔細想，已經修改了，抱歉【鞠躬】#

【好像有一種在百度作業幫的感覺誒……】

（第一條有問題，已刪……）

題主所說重力勢能與離心勢能相加的方法也是可行的，取旋轉的杯子為參考系，則杯中水可視為受到離心慣性力作用，力的方向由杯子圓心輻射向外，大小正比於半徑。此離心慣性力與重力組成複合勢場，易證其等勢面為拋物面。

大家都回答了乾貨，我用CFD驗證一下吧，韓老師的例子，杯子以3rad/s的勻角速度旋轉，0.6秒鐘時刻杯子內的自由表面情況以及流線圖如下：

經過對杯子的簡單改動後，如底部設立一阻礙，同樣的角速度旋轉杯子，觀察自由表面情況如下：

（網格劃分不好導致兩相邊界粗糙見諒）

甚至是左右設置對稱阻礙（雖然很難見到這種杯子）的自由表面情況：

結果大同小異，該情況與杯子的外形無關，原理大家都介紹的很清楚啦，不再贅述。

高中水平快速解的話

在表面的話

單位液體重力固定A

向心力B*r

支持力斜率A/(B*r)

支持力斜率的倒數就是面的斜率B*r/A

為拋物面。

當然另外一個答案裡面的最小能量法最規整。

小球勻速圓周運動的向心力為F=mV^2/R，速度是R的函數，是線性的關係V=Rω，也就是F=mω^2R。

好像思路有問題

所以向心力在R的方向呈拋物線分布，而水壓又與深度呈線性關係，所以水面當然是拋物面了。

反對@qfzklm

@qfzklm 在靜止系中解答這道題，但是沒有考慮到此類圓周運動模型，具有一個類似於萬有引力勢能的勢能。該勢能大小應該為動能的-2倍。因為@qfzklm 的答案中沒有考慮這個能量，所以所求出的結果x與h呈負相關。是一個錯誤的答案。

在靜止系下需要再加上這個動能-2倍大小的勢能，才可解出正確答案。

利用勢能解答的話，在非慣性系中會簡單一些

下面是非慣性系下解法

可以通過液面等勢來解答這道題。

但須建立與水相同轉速的非慣性系。

這樣我們可以認為水處於重力場以及非慣性系場，兩個勢場的共同作用下。

以原點為參考點

取一小段水滴為研究對象，設質量為m，列一個有關支持力、重力、向心力的方程，可以求出正切值，也就是斜率，然後一積分就是軌跡方程了。

拿去

Mark

取液面微元dh、dr，重力，離心力和水壓力平衡且dh/dr=rω2/g，所以h=r2ω2/2g＋C

達朗貝爾慣性力，水面支持力，重力，三力平衡，解一個微分方程。哈工大的理論力學後面有題差不多的，你找找。

算出來。另外不考慮摩擦水怎麼轉起來。容器不轉么？你是說筷子攪動？

理想情況下，杯子旋不旋轉有什麼關係嗎？

非物理系，求解答

感謝西工大附中某物競大神的程書

高中時的做法，不知道更為嚴謹專業的做法如何。權當參考

分析水面上一個液滴的受力情況，液滴在一個旋轉的非慣性系下處於平衡狀態，通過受力分析(重力，慣性力，支持力)計算出液滴所受的來自液面的支持力方向與液滴距離中心軸距離的x的關係，會發現支持力方向恰好是一個二次函數在某點處的法向，而支持力方向正是該處液面的法向，得解。

作業自己做

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