如何理解常微分方程解的延拓問題？

01-05

題主是數學系的，最近在修常微這門課，講到一般理論的時候突感感覺難度直線上升。
尤其是在解的延拓這個點糾結了很久。
所以想請問一下如何用儘可能具象的說法來解釋解的延拓問題？

因為Picard存在定理說的是任意點的局部鄰域中解的存在性，所以定義域開集中某點必然可以延拓。

直觀理解就是，積分曲線不能好端端的突然斷掉，必須不斷生長。如果解不能繼續生長，比如走到x軸正無窮，或者走到y軸正無窮，或者無限接近某個點，還是其他什麼方式。一定是解達到定義域邊界，或者是是函數在這點性質不好，比如不連續等。

延拓在數學上的意思就是擴大函數的定義域。常微分方程的解就是函數，所以稱為解的延拓。

為什麼要做解的延拓呢？常微分方程的解，不止有解函數，也包含解函數的定義域，即「解的存在區間」。解的延拓，就是求解「解的最大存在區間」的基礎。當然了，能求出解的解析式的話，直接由解析式求出存在區間就好了，但對於那些難以求出甚至根本就無法求出解的解析式的常微分方程，解的存在性+解的延拓就是一種很好的求解手段了。

數學裡的存在性問題是很普遍的，關於常微分方程的解的存在性問題也有許多人做過研究，給出了許多相關定理，比如著名的Picard定理和Peano定理。說一個常微分方程有解，要給出解的存在區間，但是，很多時候，我們只能了解到，解在某個局部存在，比如利用Picard定理就很容易得到一個解存在的局部區間。「有興趣的同學」不滿足於此，就要問了，能不能從這個局部區間往外拓展，求出解的最大存在區間呢？於是就有了解的延拓問題。

解的延拓定理就是解決延拓問題的基本定理了。

解的延拓定理大致上說了兩件事：

（在常微分方程滿足某些條件下）

1、解函數的最大存在區間一定是開區間

2、解函數在區間端點附近上的表現：

(1)如果區間端點為無窮，則解函數在自變數趨向無窮時的極限是有限值。

(2)如果區間端點為某個有限數，則解函數在自變數趨向於這個有限數時的極限為無窮。

至於說解的延拓的具體應用，這個需要舉一些例子說明。鑒於輸入數學符號比較麻煩，本人又很懶，就不在這裡做完整地說明了，做個簡要的描述就好了。如果覺得我描述的不太清楚的話，可以參考我的老師袁榮寫的《常微分方程》里 5.4 解的延伸這一節給出的例 5.12，

簡要的舉例描述如下：

我們想要討論某個常微分方程的解的存在區間。可以很輕易地發現其有兩個特解y=1和y=-1，且滿足存在唯一性定理的條件，過平面上某一點可以唯一確定一條積分曲線。在這樣的條件下，我們可以知道通解就分散在y&<-1,-1&這就是其中一個應用了，至於更多的應用，自己做題感受吧，這不是常微的重點，也沒什麼有深度的思考。

微分幾何里就用上了，比如Hopf-Rinow定理。