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為什麼有理數可以寫成有限小數或無限循環小數？

01-05

無限小數的有理數，為什麼一定會循環？

我們用小學的知識考慮。按定義，有理數的就是可以表示成兩個整數相除的數，也就是分數。當然，除數也就是分母不是 0。

現在用分子除以分母表示成小數形式。你想除法的豎式啊，不停地試除得到一位商，不停地得到一個餘數。

這個過程可能停下來，也就是餘數為零，除盡了。這個時候得到的就是有限小數。

這個過程也可能停不下來，也就是說餘數一直不是零，那就得到的是無限小數了。那為什麼循環呢？因為分子（被除數）位數有限，算到小數點後試除的商就僅由余數和除數決定了。除數是固定的，所以只要餘數與前面試除的餘數開始重複了，後面整個長除法的過程就要重複了，小數就要循環了。所以只要說明餘數會重複，就知道除法的結果肯定循環。

餘數肯定重複。因為餘數比 0 大（沒除盡），比固定的除數小（除法定義）。餘數的變化就那麼多種，最多變化除數那麼多次以後就肯定和以前重複了，這就是所謂抽屜原理或者叫鴿巢原理。

我們採用進位b

然後我們觀察:

如果 $x_1,...x_n$ 都是最終循環的數( 就是說, 小數位前有限位可以不參與循環 )

那麼: $x_1+x_2+...+x_n$ 也是最終循環的數, 這個結論直接利用b進位數的加法運算得到

(我們可以把 $x_i$ 的各個位加起來, 得到一個最終循環的數列, 但是我們要向前進位, 但是這不影響最終循環的特性)

也就是說, 我們只需要證明所有的 $frac{1}{p}$ 都是最終循環的

如果 $p$ 能被 $b$ 的冪整除 ( 就是 $p$ 的質因子都是 $b$ 的質因子 )

那麼 $frac{1}{p}=frac{b^k}{p}frac{1}{b^k}$ , $frac{b^k}{p}$ 是整數, $frac{1}{b^k}$ 是一個有限位(事實上就是有一個位不是0的數)

這種情況下結論成立, 事實上 $frac{1}{p}$ 是有限位的.

那麼我們進一步觀察,

如果 x是有限位的, y是最終循環的

那麼 xy 是最終循環的, 因為這種情況下, xy 可以轉化成有限個最終循環數的和

$p=ak$ , 其中 $a$ 是能被 $b$ 的冪整除的, $k$ 的質因子都不是 $b$ 的質因子

$frac{1}{p}=frac{1}{a}frac{1}{k}$

我們只需要看 $(k,b)=1$ 的情況下, $frac{1}{k}$ 是不是最終循環的

這種情況下, $b$ 看成 $mathbb{Z}/kmathbb{Z}$ ( 作為一個環 )的元素, 是一個unit(可逆元素), 事實上所有的unit基於乘法構成群, 階數是 $phi(k)$ .

於是, $<b>$ 記為由 $b$ 和 $b$ 的冪組成的乘法群, 是一個有限群, 其實是一個循環群, 是unit元素組成的群的子群, 所以階數可被 $phi(k)$ 整除,

$b^{phi(k)}=(b^{|<b>|})^{phi(k)/|<b>|}=1^{phi(k)/|<b>|}=1$ MOD $k$

於是:

$frac{1}{k}=frac{1}{b^{phi(k)}-1}frac{b^{phi(k)}-1}{k}$

$frac{b^{phi(k)}-1}{k}$ 是一個整數

$frac{1}{b^{phi(k)}-1}=b^{-phi(k)}+b^{-2phi(k)}+b^{-3phi(k)}+...$

在 $b$ 進位表示下是: 0.000..001000..001000..001( 每隔 $phi(k)$ 位出現一個1)

於是, 這樣的 $frac{1}{k}$ 是最終循環的, 循環節的位數是 $phi(k)$ ., 當然可能出現循環節位數是 $phi(k)$ 的因數的情況.

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在這裡我給出一個強一點的結論，以10進位為例。

有理數 $frac{a}{b}$ （分子分母均為自然數，分數值小於1，分子分母互素）：

若b的質因數只含2和5，則其可化為有限小數；（顯然）
若b和10互質，則其可化為純循環小數，其循環節長為最小的滿足 $10^{l}equiv 1(mathrm{mod}b)$ 的自然數 $l$ ；
若b的質因數中既含有2和5，也含有其他素數，那麼其同樣可化為循環小數，循環節長度同2，但是要將b的質因數中的2和5全部除掉。

但是求解循環節長度並不容易，因為這相當於求解方程 $10^{x}equiv 1(mathrm{modb})$ 。去掉後邊的取模，相當於我們熟知的對數運算。而加上取模之後就相當於在模b的剩餘系中進行對數運算，即離散對數。而目前求解離散對數並沒有什麼好方法。

關於結論的證明可參考：純循環小數循環節的規律；

關於離散對數課參考：x^A=B(mod C)的解 (離散對數與原根)

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