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哥德巴赫猜想數學

滿足哥德巴赫猜想的正整數集能否比素數更稀疏?

01-05

是否存在非負整數的子集A
|{x&存在M,{a+b|a,b in A}包含大於M的所有偶數.
如果沒有的話,那素數還真是"不太稀疏",甚至應該算是少見的"高密度"的自然數子集了

又想了一下，這個密度最小應該是 $sqrt N$

考慮兩個集合，一個是四進位表示中只有0，1的整數，一個是四進位表示中只有0，2的整數，即

$A={a|a=sum_{i=0}^N sigma_i 4^i,sigma_i=0 mathrm{or} 1,mathrm{for some} N}$

$B={a|a=sum_{i=0}^N sigma_i 4^i,sigma_i=0 mathrm{or} 2,mathrm{for some} N}$

容易發現

$#{xin A|x<N}sim2^{log_4N}=sqrt N$

$#{xin B|x<N}sim2^{log_4N}=sqrt N$

令

$C=Acup B$

則容易驗證

$C+C=mathbb N$ ，且

$#{xin C|x<N}simsqrt N$

比如

$1233202103=1011000101+222202002$ .

反之如果一個集合 $D$ 滿足 $D+D=mathbb N$ ，記

${xin D|x<N}=D_N$ ,

則

$(#D_N)^2=#(D_N imes D_N)ge#(D_N+D_N)ge N$ ,

故

$#D_Ngesqrt N$ .

————————————————以下是原答案

考慮集合 $A$

為所有三進位表示中只含有0，1的整數,即

$A={a|a=sum_{i=0}^N sigma_i 3^i,sigma_i=0 mathrm{or} 1,mathrm{for some} N}$

則容易驗證

$A+A=mathbb N$ ,

比如

$12010201=11010101+1000100$ ，

然而，

$frac{#{xin A|x<N}}{N}simfrac{2^{log_3N}}{3^{log_3N}}=frac{3^{(log_32) (log_3 N)}}{N}=N^{log_3 2-1}$

繼而

$frac{#{xin A|x<N}}{pi(N)} ightarrow 0$ .

貌似沒有錯的樣子，這是開問題么，題主發paper要叫上我啊喵。

本來想證明所有和集是所有自然數的集合都至少是 $N^{1-epsilon}$ 的密度呢，結果今天買菜路上就想到了這麼一個例子。。。

而且我猜想這個類康托集的例子貌似給出了一個最好的界呢，不過不知道能不能證。

最近在做算分形維數的問題，算的時候所有對數項都可以忽略，回頭來看突然感覺素數這種 $N/log(N)$ 密度的子集，實在是很大呢。。以前一直有一種素數非常少非常少的錯覺。

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