一個關於偏導數公式的問題：?u和?v為什麼不能約去？

01-05

多元函數的複合函數的偏導數的鏈式法則
$frac{partial z}{partial x}=frac{partial z}{partial u}cdotfrac{partial u}{partial x}+frac{partial z}{partial v}cdotfrac{partial v}{partial x}$
在下是這樣想的：

等號右邊能否直接運算，得 $2 frac{partial z}{partial x}$ ，但等號左邊是 $frac{partial z}{partial x}$ ,很明顯不等。

$partial u$ 和 $partial v$ 為什麼不能約去？

更新：7月4日22:00updated放在後半，之前的回答隻字未易

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簡而言之：

$frac{partial z}{partial x} e frac{partial z}{partial u} frac{partial u}{partial x}$

繁而言之：

不像常微分里那樣，若 $z=z(u)$ , $u=u(x)$ 則 $frac{dz}{dx} =frac{dz}{du} frac{du}{dx}$ . 偏微分複合函數直接約分根本就是錯的。

接下來一段話可能有些讓你覺得繁瑣乏味，但是看完之後對此問題你就不會再說：因為公式就是這麼寫的，因為是偏微分，所以就是不能約分。

首先，請記住在計算 $frac{partial z}{partial u}$ 的時候，一定要清楚當 $z$ 隨著 $u$ 變化的時候誰沒有變。

也許你會說： $z=z(u,v)$ 所以是 $v$ 沒有變。這樣說姑且算對，但是只知道這一點的人就會提出這個問題：f = x*x - y*y, x, y是相互獨立的變數，那麼 f 對(x-y)的偏導數是多少？

也許你還是覺得這個問題自找麻煩了，那麼請打開一本熱力學與統計物理的教科書，比如汪志誠的，你就會看到 $(frac{partial U}{partial T} )_{V}$ 、 $(frac{partial U}{partial T} )_{S}$ 這類絕非扯淡的偏微分方式。

回到我們的原本的問題上來，單獨地處理 $frac{partial u}{partial x}$ 和 $frac{partial z}{partial u}$ 的問題時，我們不會問"沒變化自變數是誰"。

當問題是處理它們的關係之時，」沒變化自變數是誰「就值得考慮了。

在計算 $frac{partial u}{partial x}$ 之時， $u$ 隨著 $x$ 一起變化，而本來是和 $x$ 一起共同決定 $u$ 的值的 $y$ 保持不變 $u=u(x,y)$ ，在計算 $frac{partial z}{partial u}$ 之時，本來與 $u$ 一起決定 $z$ 的值的 $v$ 沒有變 $z=z(u,v)$ .

此外，還知道 $z$ 是 $u$ 和 $v$ 的函數，而 $u$ 和 $v$ 又都是 $x$ 和 $y$ 的函數，所以最基層的自變數是 $x$ 和 $y$ .

這樣一來，計算 $frac{partial z}{partial u}$ 的過程從最基層的自變數 $x$ 與 $y$ 的角度理解就是 $z(u(x,y),v(x,y))$ 隨 $u(x,y)$ 變化而變化，未變化的是 $v(x,y)$ .

於是乎，一邊是 $frac{partial z}{partial x}$ ： $x$ 自由變化， $y$ 固定不變，而 $u(x,y)$ 與 $v(x,y)$ 均可以隨著 $x$ 的改變而變化。一邊是 $frac{partial z}{partial u} frac{partial u}{partial x}$ : $x$ 倒是仍能自由變化，右側分式的 $u(x,y)$ 也可以隨 $x$ 而變化，不過左側分式的 $u$ 出現在分母位置，也就是說 $v$ 被鎖定死了，所以計算結果自然不會與 $frac{partial z}{partial x}$ 相等。

用比較專業的話來說就是：定義偏導數的時候，一定要說明使用的整體坐標系統，而不是只看「分子」和「分母」。

用通俗一些的話來說：一所名叫 $z$ 的房子裡面有兩個房間： $u$ 和 $v$ ，兩個房間裡面都有兩種人 $x$ 和 $y$ ，直接算 $frac{partial z}{partial x}$ 相當於讓兩個房間裡面的 $y$ 類型的人閉嘴，聽聽整個房子裡面 $x$ 類型的人說話是什麼效果，而 $frac{partial z}{partial u}frac{partial u}{partial x}$ 相當於先封印 $v$ 房間，只開放 $u$ 房間，然後看看只讓 $u$ 房間裡面 $x$ 類型的人說話是什麼效果。至於那個完整的偏微分展開式也可以做類似的比擬來理解。

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接下來，我將採用古典的幾何直觀方法給出微分形式的論證。

可微的一元函數 $y=y(x)$ 可以看成平面上的一條曲線，而它的微小局部可以近似成一段直線。

在點 $(x_{0}, y_{0} )$ 附近微小的一段函數都可用一條直線（其實也就是它的切線）代替：

$y-y_{0}=k(x-x_{0})$

既然是等效的替代，就有理由認為直線的微分形式 $dy=k dx$ 也是曲線的微分形式。

與此類似的，可微的二元函數 $z=z(x,y)$ 可以看成三維空間中的一塊曲面，它在點 $(x_{0},y_{0},z_{0})$ 附近微小的一塊曲面可以用小塊平面代替：

$z-z_{0}=m(x-x_{0})+n(y-y_{0})$

兩者共同的微分形式： $dz=mdx+ndy$

從 $dy=k dx$ 可以直接得到 $k=frac{dy}{dx}$ ，但是面對 $dz=mdx+ndy$ ， $m$ 和 $n$ 該怎麼辦呢？

那就強行讓 $dx=0$ 或者 $dy=0$ 吧， $m=frac{dz(x,y)}{dx} (dy=0)$ , $n=frac{dz(x,y)}{dy} (dx=0)$

不過這樣寫不太方便，改為

$frac{partial z(x,y)}{partial x} =frac{dz(x,y)}{dx}(dy=0)$ 和 $frac{partial z(x,y)}{partial y} =frac{dz(x,y)}{dy}(dx=0)$

微分形式變為： $dz=frac{partial z}{partial x}dx+frac{partial z}{partial y}dy$

參考如下照片，傾斜的截面就是近似代替二元函數的平面，各個偏導數的幾何意義如圖所示：

暫且就這樣吧

那只是一個形式分數符號，沒有任何理由可以約去。

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更新 1：我們在這種情形有可以「消去」的寫法，Jacobian。

假設 z 是 x, y 的函數，x, y 都是 u, v 的函數，且 z, x, y 分別對於各自的自變數可微（可導是不足的），則

$frac{partial z}{partialleft(u,v ight)}=frac{partial z}{partialleft(x,y ight)}cdotfrac{partialleft(x,y ight)}{partialleft(u,v ight)}$

其中

$frac{partialleft(y_1,dotsc,y_m ight)}{partialleft(x_1,dotsc,x_n ight)} riangleq{left(frac{partial y_i}{partial x_j} ight)}_{m imes n}$

這就是複合函數微分法（鏈式法則）。

MIT Multivariable Calculus, Fall 2007, Lecture 11, Time: 42:43

這是一個很好的問題，如果弄懂的話有助於你更好地理解微積分和線性代數。

首先你要理解映射微分的定義，微分就是對映射局部的線性近似，微分本身就是一個線性映射，一個可微函數 $f(x)$ 在點 $x$ 的微分 $df(x)$ 定義如下：

$f(x+h)-f(x)=df(x)cdot h+o(h)$

線性映射 $df(x)$ 把局部定義域上 $x$ 的切空間的向量 $h$ 映射為值域中 $f(x)$ 的切空間的向量 $df(x)cdot h$ ，再加上一個h的高階無窮小量近似為函數值的變化量。

所以微分的鏈式法則實際上就是兩個線性映射的乘積，坐標表示就是矩陣的乘法。

用數學形式表述這種映射乘法關係會很方便。

對於函數 $z(u(x))$ 取一個定點 $x_0$ ，它在 $x$ 的坐標系中的微分我們設為 $d_xz(u(x_0))$ ，在坐標系 $u$ 中的微分設為 $d_uz(u(x_0))$ ，由上面微分的定義式，可以寫出下面兩個式子。

1、 x的坐標系中的微分

$z(u(x_0+h))-z(u(x_0))=d_xz(u(x_0))cdot h+o(h)$

2、 u的坐標系中的微分（可微函數u把x映射為u），這時自變數的變化量是 $u(x_0+h)-u(x_0)$

$z(u(x_0+h))-z(u(x_0))=d_uz(u(x_0))cdot (u(x_0+h)-u(x_0))+o(u(x_0+h)-u(x_0))$

而函數 $u$ 又是可微的，所以參照微分的定義，

$z(u(x_0+h))-z(u(x_0))=d_uz(u(x_0))cdot (d_xu(x_0)cdot h+o(h))+o(u(x_0+h)-u(x_0))$

把無窮小量合併，就得到了

$z(u(x_0+h))-z(u(x_0))=d_uz(u(x_0))cdot d_xu(x_0)cdot h+o(h)$

結合1，最終得到了微分運算的鏈式法則

$d_xz(u(x_0))=d_uz(u(x_0))cdot d_xu(x_0)$

上式右邊是兩個線性映射的乘積，而我們知道偏導數是微分的矩陣的分量，所以對應的矩陣乘積的元素就是題主問題中的偏導數的鏈式法則，簡單地說 $frac{partial u}{partial x^i}$ 這樣的符號既能表示函數 $u$ 關於變數 $x^i$ 的偏導數，又是微分（u的值域是一維的，所以這裡的微分是一個1*n向量）的第 $i$ 個坐標分量，而微分的定義確保了兩者是相等的。這就是偏導數「作為一個整體」的具體意思。

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論求微分和求導的異同。。

簡單點說，對於一元函數，求微分恰好等價於求導，導數可以看作微分之商

而對於多元函數，偏導數的幾何意義僅僅對應所求變數方向上的幾何增量的比率，提到偏微分自然需要確定這是對哪個變數求的偏微分，單獨的 $partial z$ 不具有任何意義。一個沒有意義的東西怎麼能作為分子呢？所以應將 $dfrac{partial z}{partial u}, dfrac{partial u}{partial x}$ 視作整體。

至於多元函數的全微分，理解下面這個式子的幾何意義，為什麼不能約分應該一目了然了：

$extup{d} z = dfrac{partial z}{partial x} extup{d} x + dfrac{partial z}{partial y} extup{d} y = left(dfrac{partial z}{partial u}dfrac{partial u}{partial x} + dfrac{partial z}{partial v}dfrac{partial v}{partial x} ight) extup{d} x + left(dfrac{partial z}{partial u}dfrac{partial u}{partial y} + dfrac{partial z}{partial v}dfrac{partial v}{partial y} ight) extup{d} y$

那只是個記號，你還真把它當除法了？

Sinx/n＝6？

同濟版《高等數學》下冊66頁的這句話希望能幫到你。

除了第一個，其他人直接開嘲諷也是酸爽，題主想問dy/dx這種運算元為什麼能乘除，而偏微分的不能，結果強行被說成什麼都不懂的

除了某幾個答案一堆開嘲諷的真是醉了

人家問的是為什麼不能約，為什麼單變數就可以約

一堆說就是不能約分的還強行答題，跟百度知道一個感覺

考慮一個性質比較好的二元函數F(u,v)，那麼對f微分的時候，其實是在兩個方向的加了起來，但是，改變相同的x，無法或者說基本不可能讓u v同時具有和偏導下面的兩個對u v微分恰好都相等的取法，這樣得到的只是形式可約

多元函數偏導的符號不能約分，想約也要把偏導求出來再約

首先頂一下 @永坑道長在上面的回答.

我試著回答一下, 看題主能不能接受.

原式子是: ?z/?x = ?z/?u * ?u/?x + ?z/?v * ?v/ ?x

(下面只講?u, 略去?v, 因為?v的情況與?u的情況一樣.)

這裡的 ?u, 看起來一樣, 完完全全一樣的字元, 但實際不是同一碼事, 所以不能約.

先來說一下?.../?...的含義, 比如?m/?n, 表示 "現在n增加1個單位, m將增加多少".

據此:

?z/?u表示 "現在u增加1個單位, z將增加多少" ...

?u/?x表示 "現在x增加1個單位, u將增加多少" ...

所以, 我們可以把 ?z/?u * ?u/?x, 換種形式 "改寫" 一下:

(u的變化將使z增加 ??? 個單位 / 現在u增加1個單位) * (x的變化將使u增加 ??? 個單位 / 現在x增加一個單位)

你倒是把 "現在u增加1個單位" 與 "x的變化僵將使u增加 ??? 個單位" 約掉啊...

首先這不是一碼事, 沒法約掉, 其次即使是一碼事, 你能把 1 和 ??? 約掉?

再具體一點...

假設 z = 3u, u = 2x

那麼 z = 6x, 也就是x每增加1, 那麼z將增加6. 代入到上頭的 "改寫" 試試:

(z將增加3 / u增加1) * (u將增加2 / x增加1) ...

"u增加1" 和 "u將增加2" 是完全兩碼事 ... 沒法約...

你實在強行約掉...就變成了

z將增加3 / x增加1

用普通話讀出來, 就是 "x增加1的話, z將增加3" ...這完全不對嘛, 因為z將增加6啊啊啊

同濟高數第六版68頁

因為u 和v 都是中間變數。這個公式是多元函數的全微分公式。

這裡的偏導更像是全微分

題主犯了個致命錯誤，誤把du當作一個常數了。而dz/du和du/dx分別指代一個多元函數的關於某個變數的導數，類似於一個z=f（u）的一個極限，所謂的無窮小逼近值（可以想像一下一條曲線的切線三角形），但是du/dx則完全是另一個函數u=g（x）的切線三角形了，屬於完全不一樣的定義。

題主，你要多看書啊！書上肯定寫清楚了的！求偏導並不是做除法啊！