不停地擲一個三面骰子，除第 0 次外出現三個面累計次數一樣多的事件是否以概率 1 發生？

01-05

都是0次不算
指概率1
然而這並不是隨機遊走

謝邀，來個暴力版本的……

根據 Stirling公式，擲3n次骰子後三個面出現次數相等的概率約為 $P(X_{3n}=Y_{3n}=Z_{3n}=n)=inom{3n}{n,n,n}Big(frac 1 3Big)^{3n}approx frac C {n}$

所以擲無窮多次以後三個面相等的次數S滿足

$mathbb E S=sum_{n=1}^infty 1{X_{3n}=Y_{3n}=Z_{3n}=n} approx Csum_{n=1}^inftyfrac 1 n = infty$ 。

又，如果從零出發，至少出現一次投完之後三個面出現次數相同的概率為p&<1，那麼易得S服從參數為1-p的幾何分布，所以 $mathbb E S = frac 1 {1-p}<infty$ . 矛盾！所以 p=1，也即一定會出現某一次投完之後三個面次數一樣

（以及我會說我其實跑回去翻durrett了么……

如果每次獨立，這是 $mathbb{Z}^2$ 上的隨機遊動，橫坐標是出現A面的次數減出現C面的次數，縱坐標是出現B面的次數減出現C面的次數。三種結果分別對應著向右一格，向上一格，向左下各一格。題目問的是，狀態(0,0)是否常返，亦即，這個隨機遊動是否常返。

答案是：是的。

可以用Durrett 第四版Probability的定理4.2.8. 這個定理說，對於 $mathbb{R}^2$ 上的隨機遊動，如果 $S_n/n^{1/2}$ 依分布收斂於某個非退化的正態分布，那麼這個隨機遊動是常返的。條件本身就是中心極限定理，對於這種每一步有界，期望為零的隨機遊動自然成立。

當然，這個隨機遊動是零常返的，回到零點的用時期望是無窮。

順帶提醒一下問概率論方面問題的知友，「概率」和「概率論」是兩個不同的tag，（而且問題數和關注者都差不多一樣多）最好都加上。

還有，如果是兩面骰子（硬幣），問題是個一維簡單對稱隨機遊動，顯然常返。如果是四面骰子，那麼對應於一個（真·）三維隨機遊動，根據Durrett，非常返，有一個正概率不出現數量相等的情況。

樓主找個三面骰子給我看看

以Si^（n）記投n次出現第i面次數的隨機變數，根據強大數率P（lim Si^（n）/n=1/3）=1 也就是說P（lim S1^（n）/n=lim S2^（n）/n=1/3）=1

∑(っ °Д °;)っ你說把式子里的n等號兩邊乘一下不就是題主要的東西了么！啊？Σ( ° △ °|||)︴　好像這麼干是不行的。

手機排版有點捉急，湊合看吧～

3面骰子長什麼樣？

@七思陽

您覺得這個地方需要強調一下骰子是均勻的嗎？

不一定吧，三個面一樣多次的概率又不會隨著實驗次數增加趨於一