弦（梁）的振動方程怎麼轉化成控制系統中的傳遞函數？

01-05

對弦或者梁進行振動控制時，需要建立控制系統的數學模型，比如通過改變梁兩側的電磁鐵的電流來對弦進行減振。
已知一對電磁鐵的數學模型為：
$f=-K_{i} cdot i+K_{x} cdot omega$
其中f是電磁力，Ki和Kx是常數，i為控制電流，w為弦的振動撓度。

同時弦的受迫振動方程為：
$P frac{partial^{2} omega left( x ,t ight)}{partial x^{2} } +f(x,t)= ho frac{partial^{2} omega left( x ,t ight)}{partial t^{2} }$
其中P為弦張力，f為弦的外界激勵力（這裡是電磁力）。
普通控制系統中物理模型是將兩式子聯立消去f，然後拉普拉斯變換來得到撓度w和控制電流i比值的傳遞函數，但這裡振動的方程為偏微分方程，所以不知道該如何處理得到用於控制的模型，望各位指導！
補充：我是用一對電磁鐵將一個兩端固支的薄鋼片夾在中間，然後用激振器給薄鋼片激勵，再通過控制電磁鐵中電流來將鋼片對準電磁鐵的那部分區域穩下來，所以現在需要求得電磁鐵-鋼片系統的傳遞函數，電磁鐵的數學模型有了，鋼片的不太會求。

謝邀！抱歉啊這幾天有點忙答晚了。好一道dynamics qualify題！這真是。。。

我們先說弦的振動哈。題主給了偏微分方程

$P frac{partial^{2} y left( x ,t ight)}{partial x^{2} } +f(x,t)= ho frac{partial^{2} y left( x ,t ight)}{partial t^{2} }$

請原諒我改了位移變數為y,我想留著omega當頻率用。。

對於這個系統，你的輸入是f. 我們假設 $f(x,t)= F(x) sin(omega t)$ .來求弦的受迫振動。那麼當所有的瞬態過程都消失，進入穩態時，位移必須也是正弦的並且頻率和輸入頻率一樣。我們設它是 $y(x,t)= a(x) sin(omega t)$ (因為沒有阻尼，不會有相位差，因此傳遞函數裡面相位不是0度就是正負180度)。然後帶入方程消去一樣的項：

$P frac{d^2 a(x)}{d x^{2} } +F(x)=- ho omega^2 a(x)$

這是一個標準的二次常微分方程。可以用它來求傳遞函數裡面的（在某一個位置的）幅值信息。

因為你不會真的輸入一個分布在整個弦上面的力，一定是在某一個地方的。這樣 F(x)就可以設為0，選擇在你施加力的地方當做邊界條件。感測器同理。這樣就可以把連續系統振動變成SISO。感測器和電磁鐵布置參考上次推薦的paper選擇你的驅動器和感測器布置在哪裡（這是重點以及難點），帶入輸入的力，加上邊界條件，就可以獲得傳遞函數啦~

梁的震動是四階偏微分方程，這樣可以變成四階常微分方程。然後其他方法一樣的。

附上一本推薦參考書： Rao, Singiresu S., and Fook Fah Yap. Mechanical vibrations. Vol. 4. Reading: Addison-Wesley, 1995. 你找不到的話私信我呀我給你發電子版~

很好的一個動力學與控制的例子，我以樓主所提的弦結構為例討論一下如何建立連續結構的控制模型。對於梁問題，無非就是運動偏微分方程不一樣。對於不同的邊界條件約束，無非也就是梁或者弦的模態函數不一樣罷了。

對於連續的，無窮自由度的連續型結構。我們先進行模態函數展開：

$w(x,t)=sum_{i=0}^{N}{q_i(t)phi_i(x)}$

將通過模態函數假設過的解 $w(x,t)$ 帶入運動方程的左右邊：

$LHS=Psum_{i=1}^{N}q_i(t)frac{d^2phi_i(x)}{dx^2}-K_iI+K_xsum_{i=1}^{N}q_i(t)phi_i(x)$

$RHS= hosum_{i=1}^{N}frac{d^2q_i(t)}{dt^2}phi_i(x)$

其中LHS和RHS代表運動方程的左端和右端項。在這裡為了不引起混淆，我用大寫 $I$ 來表示電流。注意由於我們對偏微分方程的解 $w(x,t)$ 進行了有限項模態展開，故其為近似解。也就是說方程的左右兩端是不一定相等的。這時我們應用伽遼金截斷的辦法通過利用模態函數的正交性對方程左右兩頓進行積分。關於伽遼金方法，應該是每一個學過固體力學或者振動理論的學生都應該聽說過的，這裡就不做詳細介紹。

將方程左右兩端同時乘以 $phi_j(x)$ 並對整個弦進行積分，通過利用模態函數的正交性，我們可以得到關於模態坐標 $q_i(t)$ 的解耦方程，即：

$m_ifrac{d^2q_i(t)}{dt^2}+k_iq_i(t)=lambda_iI$ , $i=1,2,...,N$ (1)

其中，

$m_i=int_{0}^{L} hophi_{i}^{2}(x)dx$

$k_i=-Pint_{0}^{L}frac{d^2phi_i(x)}{dx^2}phi_j(x)dx-K_xint_{0}^{L}phi_{i}^{2}(x)dx$

$lambda_i=-K_iint_{0}^{L}phi_i(x)dx$

注意，模態函數 $phi_i(x)$ 是結構的模態函數，故 $m_i, K_i, lambda_i$ 均為常數。令狀態向量

$x={left[q_1(t),q_2(t),...,q_N(t) ight]^T}$

方程(1)可以寫成向量形式：

$Mfrac{d^2x(t)}{dt^2}+Kx=Lambda I$ (2)

其中 $M,K$ 為對角矩陣， $Lambda$ 為列向量。在實際中，我們往往不能實際測得所有模態坐標，因此對於這類減震問題往往輸出反饋更有用。假設我們能夠測得任何時候弦上 $m$ 個點的位移，則觀測方程可以寫成：

$w_1=sum_{i=1}^{N}q_i(t)phi_i(x_1)\ w_2=sum_{i=1}^{N}q_i(t)phi_i(x_2)\ vdots\ w_m=sum_{i=1}^{N}q_i(t)phi_i(x_m)$

用矩陣表示為 $y=Cx$ ，其中

$y=left[w_1,w_2,...,w_m ight]^T$

矩陣 $C$ 的表達式也很好寫出來，知乎沒法輸入矩陣我就在這裡省略了。向量 $y$ 是控制過程中感測器能實測的信號，也就是閉環反饋的反饋部分。假設我們用最簡單的線性反饋構造控制信號，則可將控制電流寫成：

$I=-kcdot y$ (3)

其中 $kin R^{1 imes m}$ 是控制器的增益。可以通過極點配置或者優化等控制理論成熟的辦法進行設計。將方程(3)帶入(2)則可得到系統的閉環方程：

$Mfrac{d^2x(t)}{dt^2}+(K+kC)x(t)=0$

該方程實際上就是驗證閉環系統控制效果數值模擬的方程，注意這個方程式高維的常微分方程組，如果樓主想寫傳遞函數也可以，不過就是一個傳遞函數矩陣罷了。其實樓主沒必要把控制設計放在頻域上來，你的設計是一個很明顯的SIMO。在滿足穩定性的前提下進行時域設計是更好的選擇。當然如果你只想通過一個感測器就監測弦的振動那你的問題也算SISO，但可想而知控制效果不會很好。頻域設計往往是針對SISO系統，也就是單輸入單輸出。

上面各位答主都回答的很好了。我看題主在這個方面問了若干個問題了，大家也回答了很多，希望你能認真動手做一下，推演公式這種事情沒人會代勞的。

如果想對建模，簡化與主動控制這方面有較深入的理解可以參考以下書籍：

Gawronski,
W. K.: Advanced Structural Dynamics and Active Control of Structures.
Spring-Verlag, New York, USA, 2004

Preumount, A.: Vibration Control of Active
Structures: An Introduction (3rd ed). Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2011

偏微分方程又不是不能做控制，c-0半群那一套無窮維方法就可以了。

首先說建模，參考Matsuno, Kasai (1998) 的Modeling and robust force control of constrained one-link flexible arms。這篇文章和它的一篇八幾年的參考文獻里有詳細的用哈密頓方法建立基於歐拉-伯努利梁的柔性臂控制模型方法，只是模型中沒有考慮你的這種驅動端是電機的情況。

至於基於該偏微分方程模型的控制，Matsuno和國內郭寶珠的團隊都有著大量貢獻。如果基礎知識不夠的話可以看郭寶珠的《無窮維線性系統控制理論》或者中科院的那本控制理論導論。

當然了，如果你想回歸傳統的有限維的那套理論，有限元啊假設模態啊都是可以採用的，柔性矩陣作為補償項出現在機器人系統里其實是最常見的，不過這就和你要做的減振目的相去甚遠了……

首先，這個系統有無窮多個自由度，因為是偏微分方程，所以你控制的目標是所有的自由度（也就是梁的整體形狀隨時間的變化）還是樑上具體的某幾個位置（比如中間點隨時間的變化）？但無論是哪種，首先你的物理模型不難，可以直接求出解析解。最後的形式應該是類似傅立葉的無窮項相加，同時外力是在積分項里。所以本質這是個非線性控制問題。解析解有了，也就相對有模型了。

如果Po主想用線性方法的話，可以參考有限元對梁的近似公式，找到近似線性解，這樣也許能找到對個別點的傳遞函數。但想這樣問題輸入多輸入多輸出，還是直接用state space吧。不過線性化後，這樣肯定是相當不精確，尤其對於大幅度震動。而對於非線性系統控制，如果Po主加上反饋迴路，可以用lyapunov方法判斷穩定性，或者feedback linearization。

我自己沒做過類似的東西，以上只是我的初步想法，歡迎交流。這種連續體無窮自由度的控制是相當有趣的，都可以作為一個博士生的thesis paper了。相關最優和最新辦法還是去看論文吧。

其實你需要定義一個系統輸出作為控制目標，比如某個點的繞度w(Xa,t)。輸入為電流，這樣子就成了一個SISO系統(single input single output)。

你希望通過控制電流來減少最大繞度，那就讓電流i=-k*w_max。然後將偏微分方程離散化後，用runge kutta求出每一個時刻的最大繞度w_max

模態疊加法轉換到狀態空間方程，再轉到傳函。