為什麼幾乎所有數理邏輯的書都只介紹一階邏輯，二階邏輯可以量化謂詞，不是更加簡明方便么，它有什麼問題么？

01-05

限制越少，理論越少，問題越多。

二階邏輯比一階表達能力更強，但是在更松的限制條件下能夠使用的結論反而更少，只是一階邏輯的子集，沒有太大必要重複提。但是二階邏輯上特有的問題大多是比較瑣碎的，比如在二階邏輯框架下增加怎樣的限制可以變得完備。一般不會出現在入門教材中。

雖然二階邏輯從數理邏輯的角度來說沒太多學習價值。但是對其他領域，受限的二階邏輯會比一階邏輯使用更廣。比如Monadic Second Order Logic在形式語言中表達能力和正則語言等價，而FO Logic只能等價於更小的集合——star-free語言。

一般要用上高階邏輯的基本上就直接上基於馬丁-洛夫類型論的推理系統比如歸納構造演算（Calculus of Inductive Constructions）了，人能支持到任意階，問你怕未？！

我只想說，我覺得

能把一階邏輯學懂就已經很不錯了。。。

二階乃至更高階謂詞邏輯都可以簡化為一階邏輯。

至於「簡明方便」，一階邏輯自然比二階邏輯更「簡明」。作為數理邏輯的書不講最直接的一階邏輯，跑去講二三四五六階邏輯，最後結尾告訴你都可以化簡為一階邏輯，你覺得書會這麼寫么？

最基本一點，二級邏輯缺乏很多一階邏輯沒有的性質相容性定理和勒文海姆-斯科倫定理就無效了。這些對於一階邏輯來說都非常重要。