高斯測量大地驗證非歐，為何不拿個地球儀看看？這不全明白了嗎

01-05

不同意 @junyi xie 的答案。

幾件事情我們是確定的：

高斯確實對 Brocken Hohenhagen Inselberg 三座山做了地理測量。
高斯確實知道地球是圓的，也知道球面三角形的內角和大於 180。

高斯計算驗證的，是比較 大三角形直接計算 與 小三角形累計計算 這兩種方法的誤差。

這個方法表明，他要驗證的是地球表面曲率導致的球面三角的角缺效應，不是空間曲率。

科學史也是史，拿史料說話。下面這個腳註來自《Gauss: Eine biographische Studie》。雖然有證據表明高斯相信非歐幾何是空間本質，但：

「廣為流傳的『驗證空間彎曲』的說法當然是不對的」。三座山構成的三角形，對高斯來說是一個重要的基準。但他自己很清楚，這個尺度上的測量誤差大於空間曲率引起的角缺。相比之下，雙曲幾何的創立人之一 Lobatschewsky 提出測量星空驗證空間曲率的方案，要靠譜得多。在給友人的信中，高斯還寫道（摘自同一本書）：

即他很快就意識到，這次測量所計算出的結果，用來驗證地球表面曲率都可以忽略不計，他做的只是個「計算練習」(Rechenübung) 而已。說白了，這個計算對非歐幾何沒有什麼意義。

上面這封書信的最後一句說：「科學的榮譽要求我們清楚地掌握這個不等式的本質。」也就是說，就算他非常清楚這個不等式，如果能順便親自驗證一下，哪怕最後然並卵，但何樂而不為呢？

1818年起，高斯主持了漢諾威公國的一次大規模測地工作。當時高斯本人積极參与了實地測量和數據計算的工作，還為此發明了回照儀，更重要的是提出了一些對測量結果的處理、計算的方法並付諸實踐，對大地測量學做出了相當重要的貢獻。

在此期間，高斯確實（順便）測量了 Brocken, Hohen Hagen, Inselberg 三座山形成的三角形，動機應該是去驗證地球表面三角形內角和偏離180度的程度，但並沒有得到什麼有意義的結果。

總結而言，高斯測量大地的主要目的，真的就只是測量大地，驗證角缺只是順帶的（並且他量的那個三角形，要是放到地球儀上看，那就太小啦，所以在這方面他也沒得到有用的結果）。

抄一段德國一本比較流行的力學教材關於高斯的一段：「高斯測量了Inselsberg、Brocken、 Hohenhagen之間三角和，結果為180度。由此，他通過實驗確定了：我們的三維空間在100公里以內長度範圍內都是歐幾里得空間。但是，高斯在當時的首要目的並非檢驗我們的空間是否是歐幾里得空間（這是常見的流言），而是大地測量。但高斯當時意識到了非歐空間的可能性。」

Torsten Flie?bach, Mechanik. Lehrbuch zur Theoretischen Physik I. 6. Auflage. Heidelberg 2009, S. 5f.: "Gau? (1777–1855) hat die Winkelsumme des Dreiecks Inselsberg-Brocken-
Hohenhagen gemessen und 180o erhalten. Damit verifizierte er experimentell, dass unser dreidimensionaler Raum auf der La?ngenskala von etwa 100 km euklidisch
ist. Die prima?re Absicht von Gau? du?rfte dabei allerdings nicht die U?berpru?fung
der Euklidizita?t unseres Raums gewesen sein (wie vielfach berichtet wird) sondern
die Landvermessung. Gau? war sich aber der Mo?glichkeit eines nichteuklidischen
Raums bewusst.」

因為他想公費旅遊

。。。高斯要驗證非歐不是說要驗證地球是圓的，而是要驗證空間是彎曲的。

不要讓幾何直觀蒙蔽了自己的雙眼。

是否存在球面上的平行線？

我認為是存在的。因為球面上的大圓小圓都是球面上的直線，所以，球面上的緯線與緯線是平行線；所以，在球面上，若兩直線平行，且被第三條直線所截，則同位角相等；所以，在球面上，三點決定一條直線；所以，平面幾何中的平行線只是球面幾何中的平行線的特例！在球面上第五公設也是成立的。俺說的對不對？