怎麼形象生動通俗易懂的解釋留數，級數還有傅里葉變換拉普拉斯變換？

01-05

大二狗想了解下這些東西，只知道怎麼算但是不知道它們是幹什麼的（不要用書裡面的公式證明給我看和扯些深奧的東西）

數學這種東西，從來不是生動形象就能懂的，沒有更加深奧的觀點怎麼懂？

理解數學，從來從都是高觀點下看原來的東西，然後發現trivial了，才是懂了。

往後學才是正路。

首先糾正一下題主提問時語氣中存在的問題，不要一詞有些頤指氣使，扯些又表達了對學院派的不屑。

正經臉，簡單答。

留數，就是留下來的數，引入是在柯西積分定理還有羅朗級數部分。柯西積分公式是對環流進行計算，留數的實際意義就是環流量除以2πi。關於環流，可以回頭看高數書。

級數，一級一級的數。分好多種，泰勒，羅朗，傅里葉等等，核心思想就是把一個函數分解成多個分項的和。級數的思想，在求和等於原函數上，與積分有些相似，不過級數中每一項之間都存在聯繫。

傅里葉變換。先說傅里葉級數，傅里葉很厲害的一點就是他發現好多連續的量都可分為若干個正弦函數的相加，其中，若干個正弦函數就是級數。但級數也有局限，因為正弦函數是周期的呀，那對非周期怎麼辦呢？這就用到了傅里葉變換，連續非周期信號求取級數的過程，就是傅里葉變換。至於實際應用，可能你會學到數字信號處理這門課程，其中提到了傅里葉級數，傅里葉變換，離散時間傅里葉變換，離散傅里葉級數，離散傅里葉變換。涵蓋了從連續周期信號到離散序列種種信號的處理辦法。

拉普拉斯變換，數學定義上是傅里葉變換的延拓，他被人喜愛是因為他能把實際應用中積分微分的問題轉化為多項式。尤其是對於研究系統尤為有用，對於一個系統，我們不關心他內部是怎麼樣，只需要知道我輸入一個X，會輸出怎樣一個Y就可以了。拉普拉斯變換就是完成這樣一個工作。

關於傅里葉和拉普拉斯變換，你都會在信號與系統這門神課中遇到，關於信號，傅里葉應用廣泛，有關係統比如自動控制，就用到拉普拉斯。

最後，我不是以一個長者的身份跟你交流這些，但我還是要傳授你一些人生的經驗。這些概念你可以當時不懂，但要記住，慢慢就懂了。就像我一個搞編程的，怎麼就跑到中央(誤)跑到VS中自己設計模式識別了呢。

其實數學上好多東西，生動形象帶來的負面影響就是不夠嚴謹，但嚴謹恰恰是數學的核心魅力。

以上

先說幾句題外話。

看了幾門網易公開課，發現有些國外的名師講課順序和我們學習的順序不一樣，雖然調整了順序可能導致難易度的漸進不夠好，但是那些老師還是選擇了調整順序為了讓學生理解更深。

比如麻省理工的線性代數公開課，老師就從向量空間講起，從熟悉的一維、二維、三維這幾個熟悉的向量空間，延伸到了多維空間的向量，讓學生們知道了線性代數研究了什麼和為什麼要研究線性代數。

再說題主問的。先說級數，再說留數。

高等數學裡我們學了級數，因為題主是在學習複變函數，那我就說說泰勒級數吧。我們知道，一個函數在一點上的一階導數描述那一點的切線情況，那二階導數呢？描述的是切線的變化情況，即"切線的切線"，那問題來了，如果我們知道這一點從一階到無窮階導數的情況，那我們是不是就可以用這些來描述這個函數呢？當然可以，所以就有了泰勒級數。至於洛朗級數就是泰勒級數的升級版，就不多說了。

然後再說留數，根據複數域上的積分有它的特點，那就是閉區域內解析函數的積分得零。那我就看有極點的地方好啦，這時候洛朗級數立功的時候到了，他把函數清晰地展開成了次數不同的各項，我們只需要把得零的去掉，極點處的留下就行了，這就是"留數"。

剩下的傅氏變換和拉氏變換明天再寫，今天有些不舒服，睡了。或者看@一一的答案也行。

說一句我也是大二的學生，所以學的還淺，而且因為頭很痛表達的不是很好，題主就當隨便看看吧，如有幫助，不勝榮幸。

Laplace和Fourier共同點就是把解微分方程的過程轉化為基本代數運算，但Laplace的應用遠不如Fourier廣泛。比如在QM里用Fourier可以解釋振幅隨能量的分布。

推薦複分析—可視化方法，一本非常通俗易懂講解複變函數的圖像的書（雖然厚得要死，但是涉及物理的東西可以不要讀）

順便，這種提問的方式確實不太友善啊

建議看美國人寫的《複分析基礎與工程應用》，實際上複變函數論一開始就有很濃重的應用色彩，這本書就很重視從熱傳導方程電路分析等等應用的角度較清楚複變函數理論的來龍去脈