導數幾乎處處大於0的函數一定嚴格單增嗎？

嚴格單增的函數的導數可以幾乎處處為0，也就是不一定導數幾乎處處大於0。那反過來是否成立呢？

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謝邀，你思考的點錯了，應該從導數的零點這個方向去思考，為什麼呢？假設函數 處處可導，首先就不能有負的導數點，否則在這個點附近不會單調遞增。假設 , 那麼當 充分小的時候，我們可以保證 。於是我們有 。也就是說 ,自然不可能單調遞增。於是，你可以假設 ,那麼考慮大於0的點就是考慮0點。我這裡考慮函數0點，因為這個更加本質。因為如果函數 ,而且 0, a.e." eeimg="1"> 那麼直接根據微積分基本定理可知，這個函數是嚴格遞增的。這個結果還可以這樣理解（下面的結果更弱），

一個函數 如果處處可導，而且 , 那麼 是單調遞增的當且僅當在任意區間 上有一點 使得 0" eeimg="1"> 。 如果處處可導而且 ，但是不是嚴格遞增，也就是說 , 在區間 上是常數，那麼可以得到在這個區間上導數恆為0，這自然不可能是幾乎處處為0了。

如果你懂「gauge integral」，那麼條件「而且 」其實是沒必要的，因為只需要 處處可導和 0, a.e." eeimg="1"> 就是足以證明 處處成立，然後我們重複上面的論斷，我們就可以得到這個函數嚴格單調。介紹起這個就麻煩了，這裡掠過好了。

現在我們思考(另一種)極端的情況，假設這個 函數處處可導，而且導數幾乎處處等於0，那麼它可能是嚴格遞增的嗎？因為這個函數同時也是弱可導，而且其導函數為0，於是我們有

.

所以 .（Rudin theorem 7.21）。

但是，如果條件放鬆的情況下，可以構造出很有趣的反例。比如，rudin的書上構造了一個嚴格遞增的函數，幾乎處處可導，而且導數幾乎處處為0。主要利用的是cantor集的性質。

另一方面， Pompeiu函數是一個處處可導，而且導數在一個稠密集上為0的函數。這個函數的具體構造有點複雜，有興趣的同學可以參考下面的論文：

G. A. Kalyabin，New examples of Pompeiu functions, Eurasian Math. J., 2013,

Volume 4, Number 3, 63–69

這個論文的特點是是可以對於給定的數列 構造出一個函數 使得 0" eeimg="1"> 幾乎處處成立。對了，還能保證 是一個有界函數。不難證明，這個函數嚴格單調遞增的（同樣利用Rudin theorem 7.21即可）。

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f(x)=-1/x

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一個在區間上處處可導的函數，嚴格單增的等價條件是f』(x)&>=0且導數等於0的點集沒有內部（即任何一個點周圍的任何鄰域內都存在導數大於0的點）.

如果處處可導，導數幾乎處處大於0，那導數為0的點集一定不可能有內部（否則這個點集就包括了一個長度非0的區間），因此嚴格單增.

將「處處可導」條件去掉，那很容易給出反例：f(x)=x-[x]，即x的小數部分.

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幾乎這詞用得還行

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Q：如果一個函數處處可導，並且函數的導數幾乎處處大於0，那麼這個函數本身一定嚴格單增嗎？」

A：是噠。

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你用導數是默認它幾乎處處可導嗎？等你評論再回答

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