(0,1) 上不本質有界函數的 L^p 範數的增長速度能否任意小？

01-05

為 (0,1) 裝備勒氏測度，給出其上一個可測但不本質有界的複函數 f，不難證明 ||f||_p 趨於正無窮對 p 趨於正無窮，其中 ||f||_p 指 f 的 L^p 範數。
現在的問題是，任給定函數 phi，phi(x) 趨於正無窮對 x 趨於正無窮，是否總存在一個可測的 f 使得它不本質有界，且 ||f||_p&<=phi(p) 對 p 足夠大總成立？

可以

首先假設 $phi$ 是增函數。

令 $f(x)=sum_{n=1}^{infty}phi(n)1_{A_n},$ 其中 ${A_n}$ 是(0,1)中一列兩兩不交的正測集，取 $m(A_n)=frac{1}{2^nphi(n)^n}.$ (不妨φ&>1好了)

顯然f不是L^∞函數

計算 $left( frac{|f|_p}{phi(p)} ight)^p=sum_{n=1}^{+infty}left( frac{phi(n)}{phi(p)} ight)^pfrac{1}{2^n}frac{1}{phi(n)^n}.$

若 $pleq n,$ 那麼 $left( frac{phi(n)}{phi(p)} ight)^pfrac{1}{2^n}frac{1}{phi(n)^n}leqfrac{1}{2^nphi(p)^p}leqfrac{1}{2^n}$ (這裡不妨設了φ&>1).

若 $p>n,$ 那麼據φ遞增知道上式 $left( frac{phi(n)}{phi(p)} ight)^pfrac{1}{2^n}frac{1}{phi(n)^n}leq frac{1}{2^nphi(n)^n}leqfrac{1}{2^n}.$

求和即可。

若 $phi(p)$ 並不單增，那麼根據它趨於無窮知道，存在 $psi(p)leqphi(p), psi(p) ext{ increasing}, lim_{p ightarrowinfty}psi(p)=+infty.$ 這個可以直接用epsilon-N語言構造出來，那麼我們直接選擇 $L^p$ 範數被 $psi(p)$ 控制住的函數就可以了，於是又化作上一情況。

題主讓我一個文科生答數學題真是高看我了

瀉藥。。

題主真看得起我這種睾材生。。。

什麼意思。我在哪裡。我看到了什麼。