二維實平面存在面積無限大而周長有限的圖形么？

01-05

如題

謝邀，不存在，等周不等式

$4pi Aleq L^2$

說明只要周長一定，那麼面積是有一個上限的，等號當且僅當這個圖形是圓周的時候成立。證明的方法可以看stein的傅立葉分析，這是最簡單的一個方法。上述的結果還可以推廣到一般非簡單閉曲線的情況：A generalization of the isoperimetric inequality

當然了回答這個問題有點殺雞用牛刀了，你這樣考慮這個問題好了，兩點間線段最短，所以你這個圖形上的任意兩點間的距離肯定是小於周長的，這個也就說明這個圖像的「直徑」是有限的，那麼自然它的面積也是有限的，因為我們總可以找一個大圓把圖形上全部的點覆蓋住。

不過，這還是涉及到你怎麼定義「周長」和「面積」了，我這裡用到是一般的正常定義( oriented, rectifiable curve這種)，你要是定義出一個詭異的東西來，我也沒辦法。

比如，那種畫一個圈，然後說圈外面都是我的面積的，我也是服氣的。

我上次和一個人解釋為什麼「反常積分／瑕積分」不算黎曼可積也是廢了很多口舌的。說白了，都是「定義」，你高興就好。我懶得解釋了。

但是，面積有限不能保證周長有限，分形中一堆這樣的東西。

對緊集而言顯然不存在，你都有界的，測度必然有限。

對非緊集合，定義下啥是周吧

不存在，證明如下

話說這還是咱一門物理專業課的例題……確實無語了

平面去掉單位圓盤，也就是

x：||x||≥1

周長是2pi，面積無窮大

假設有的話，那麼我一定用它圈出一塊地。

想想圓吧。

畫一個圓，除了圓以外的圖形

其實你們都把問題想複雜了。

由於兩點之間直線最短，圖形邊界上任意兩點間的距離一定小於周長。

所以從圖形邊界上任取一點，以周長為半徑作圓，該圓一定覆蓋整個圖形。因而圖形面積小於圓的面積。

用過肥皂水吹泡泡嗎(≧ω≦)只要你能吹(?ω?)

這種問題如果是限於我們一般討論的封閉圖形，那麼直接利用等周定理就好了，高票答主已經說的很詳細了。

如果是討論一般情況的，那麼就要嚴格依賴於所定義的「周長」和「面積」概念來討論。

下面是百度百科對於「周長」的定義：

還有維基百科的：

可以發現一般的「周長」定義並不是適用於所有的圖形。

「面積」也是一個道理，如果是開放圖形，比如三角形開個口子，你怎麼去定義其周長和面積？我認為給出定義的討論才有意義。

不存在。

對於二維平面，周長一定，圓形的面積是最大的。這個結論已有證明，可以去查一查，比較複雜就不貼了。

那麼就可以推導出周長有限，面積一定有限。所以不存在面積無窮大，周長有限的平面圖形。

不存在，相同周長的閉曲線圍起來面積最大的是圓，這是變分法的基本結論

不過面積有限周長無限的例子是有的，比如科赫曲線

根據周長定義："環繞有限面積的區域邊緣的長度積分，叫做周長。" 可得：不存在。