能不能不用選擇公理構造一個不可測集合?
最近在看stein的實分析,第一章構造Lebesgue不可測集N是這麼做的:考慮等價關係x~y當且僅當x-y是有理數,然後從[0,1]的分劃裡面用選擇公理構造N......
然而作為一個弱渣,我總覺得能不用選擇公理構造的話會比較放心,有沒有數學大佬幫忙看看...
謝邀,1970年R. M. Solovay構造了一個包含ZF但是排除了「選擇公理」的系統,他證明了在這個系統中任何的實數子集都是可測的。 這個構造證明了「不可測」集合本質上上依賴於選擇公理。
Solovay model - Wikipedia
選擇公理是非常「神奇」的東西,很多結果都和它密切相關,比如任何向量空間都有基。比如任何ring都有最大理想。甚至
的解是不是就是線性函數也依賴於選擇公理,在Solovay的模型中,這個方程的解就是一個線性函數。
Are there any non-linear solutions of Cauchy"s equation ($f(x+y)=f(x)+f(y)$) without assuming the Axiom of Choice?
A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable", Annals of Mathematics. Second Series (1970) 92 1–56
不可以。
ZF理論無法證明不可測集的存在性。而且,如果採用ZF+AD(決定性公理)系統,可以證明R的所有子集都是可測的。所以不可測集的存在性必須要依賴於AC。
簡單地說,目前已知的是不能,並且不可測集的存在需要用到較強的選擇公理。
前面已經有人提到了Solovay的模型,這裡多說一句,Solovay的模型依賴於一個比ZFC更強的假設(俗稱inaccessible cardinal),而且這個假設是必要的。這樣就有一個有趣的結果就是你確實可以假設 ZF+「不用較強選擇公理就能推出存在不可測集」
(DC是選擇公理的一個弱形式,目前已知是不能推出存在不可測集的)
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