能不能不用選擇公理構造一個不可測集合？

最近在看stein的實分析，第一章構造Lebesgue不可測集N是這麼做的:考慮等價關係x~y當且僅當x-y是有理數，然後從[0,1]的分劃裡面用選擇公理構造N......

然而作為一個弱渣，我總覺得能不用選擇公理構造的話會比較放心，有沒有數學大佬幫忙看看...

謝邀，1970年R. M. Solovay構造了一個包含ZF但是排除了「選擇公理」的系統，他證明了在這個系統中任何的實數子集都是可測的。 這個構造證明了「不可測」集合本質上上依賴於選擇公理。

Solovay model - Wikipedia

選擇公理是非常「神奇」的東西，很多結果都和它密切相關，比如任何向量空間都有基。比如任何ring都有最大理想。甚至

的解是不是就是線性函數也依賴於選擇公理，在Solovay的模型中，這個方程的解就是一個線性函數。

Are there any non-linear solutions of Cauchy"s equation ($f(x+y)=f(x)+f(y)$) without assuming the Axiom of Choice?

A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable", Annals of Mathematics. Second Series (1970) 92 1–56

不可以。

ZF理論無法證明不可測集的存在性。而且，如果採用ZF+AD（決定性公理）系統，可以證明R的所有子集都是可測的。所以不可測集的存在性必須要依賴於AC。

簡單地說，目前已知的是不能，並且不可測集的存在需要用到較強的選擇公理。

前面已經有人提到了Solovay的模型，這裡多說一句，Solovay的模型依賴於一個比ZFC更強的假設（俗稱inaccessible cardinal），而且這個假設是必要的。這樣就有一個有趣的結果就是你確實可以假設 ZF+「不用較強選擇公理就能推出存在不可測集」

（DC是選擇公理的一個弱形式，目前已知是不能推出存在不可測集的）