如何計算圓周率？

01-05

並請證明被算出來的是圓周率。

這個話題要寫起來能寫幾萬字，只說一下幾個有趣的點，剩下的線各位可以自己去翻資料和論文。

第一個以無窮系列表示 $pi$ 的公式是維達提出的一個乘積： $frac2pi = frac{sqrt2}2 cdot frac{sqrt{2+sqrt2}}2 cdot frac{sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}}2 cdots$

目前已知的最快的，基於無窮和的公式是 $pi = frac {426880 sqrt {10005}} {sum_{k=0}^infty frac {(6k)! (545140134k + 13591409)} { (k!)^3 (3k)! (-640320)^{3k}}}$

然後是一個特別魔性的，可以直接算第 n 位（嗯，是 16 進位）的

$pi = sum_{k = 0}^{infty} frac{1}{16^k} left( frac{4}{8k + 1} - frac{2}{8k + 4} - frac{1}{8k + 5} - frac{1}{8k + 6} ight)$

證明：

由於 $int_0^{1/sqrt{2}}frac{x^{k-1}}{1-x^8}mathrm{d}x=int_0^{1/sqrt{2}}sum_{i=0}^{infty}x^{k-1+8i}mathrm{d}x=frac{1}{2^{k/2}}sum_{i=0}^{infty}frac{1}{16^i(8i+k)}$

因此

$egin{aligned}sum_{k = 0}^{infty} frac{1}{16^k} left( frac{4}{8k + 1} - frac{2}{8k + 4} - frac{1}{8k + 5} - frac{1}{8k + 6} ight) \ =int_0^{1/sqrt{2}} frac{4sqrt{2}-8x^3-4sqrt{2}x^4-8x^5}{1-x^8}mathrm{d}x \ overset{y=sqrt{2}x}= int_0^1frac{16y-16}{y^4-2y^3+4y-4}mathrm{d}y \ = int_0^1frac{4y}{y^2-2}mathrm{d}y - int_0^1frac{4y-8}{y^2-2y+2}mathrm{d}y\ = pi end{aligned}$

未完待續

之前在Fabrice Bellard上個人主頁看到過一個計算π的公式。他的這個文檔（http://bellard.org/pi/pi2700e9/pipcrecord.pdf）很詳細解釋使用公式設計這個計算π的程序的過程，他用的是Chudnovsky的公式

$frac{1}{pi} = 12 sum_{n=0 }^{infty}frac{(-1)^n(6n)!(A+Bn)}{(n!)^3(3n)!C^{3n+3/2}}$

其中A=13591409, B=545140134, C=640320

割圓術: π=lim(x→∞)720cotx/x

泰勒級數自查。

使用高中知識：

先將圓拆分成無數個扇形，將扇形近似看成三角形，利用餘弦定理，求出面對圓心的邊。

設扇形夾角為A，

2πr=360sqrt(2sqr(r)(1-cosA))/A，

π=180sqrt(2-2cosA)/A，其中A→0，

不考慮A的具體值，可以進一步簡化，π=180*10^n*sqrt(2-2cos(10^-n))，其中n→+∞。

有一個簡單的關於計算圓周率的函數表達方法給你分享一下

y=sin(2π/n)*n/2

n取正整數如1000 10000 n取的越大結果越精確。