靜電場和牛頓引力場的表達式很相似，它們有什麼關係？

01-06

本人現在高中，學到電場後，感覺和之前學的引力場有很多相似之處。他們在計算受力時的表達式基本相同，但是我想知道這兩個場之間是否有某種聯繫，要不然怎麼會在計算受力時的表達式如此的相似？

我能想到的更基本的原因是源於它們傳遞相互作用的規範場是零質量粒子，所以有效的勢的形式都正比於1/r，那麼勢能梯度得到力的話力的形式也就一樣了。至於為什麼零質量，應該是相應規範對稱性沒有破壞。

說到電磁和引力的聯繫的話，我順便補充一下（雖然算是題外話），實際上約100年前在愛因斯坦提出廣義相對論之後就有人嘗試將電磁相互作用和引力統一起來，我所知道的最早給出這樣理論的是Kaluza和Klein的理論，在四維時空的基礎上再加上一維的一個圓環構成一個五維的時空，然後在這個五維的時空中下的廣義相對論（也就是引力理論）約化為四維時空的理論時會自然的出現電磁場，因為本身電磁理論是一個U(1)規範場論，U(1)群是一種對稱性，這個群與圓環具有同樣的幾何。雖然這個理論後來沒有成功，但是它的變種現在仍然是大家感興趣的模型。

決定好好回答一下這個問題，下面會有幾張圖，雖然比較簡單，但是還是預個警……

首先說一句，簡單的東西我們應該按照簡簡單的方式來理解，而不是附加許許多多複雜的東西。

實際上我想說的是：這個，和統一場論、弦論應該關係不大。

這兩個平方關係，實際上應該連經典場論的範疇都算不上，更別說近代發展起來的場理論了。如果要說他們這麼相似是為什麼，我想很大程度上是因為實驗是這麼做的：庫倫事先猜想靜電力和引力應該形式一樣。但是這應該沒有解決題主的疑問，所以應該再多說一點。

為了維持一個穩定的軌道，這個冪次只能x小於2。

我們以這樣一個觀測事實為依據：用引力或電磁力約束在一起的系統，可以產生穩定的軌道，如太陽系等。

下面敘述都用引力的視角，靜電力完全相同。

地球以橢圓軌道繞著太陽轉，我們可以取這樣一個切面：沿著地球於太陽的連線，並垂直於地球運動的平面切一刀。這相當於只考慮地球與太陽的距離變化。在這個場景中，我們大概會看到這樣的場景：

（不知道gif行不行……）

但是要注意，如果我們受力分析，地球應該還是只受引力作用啊，為什麼會震蕩呢？原因是我們在這個視角下需要把離心力考慮成實實在在的力。也就是，引力把地球往中間拉，離心力把地球往外拉，兩個力想要平衡，所以造成了這樣的結果。

這個結果也可以這樣解釋：物體都趨向於勢能最低的地方，如果不能達到，至少也會在附近振蕩。在這裡，地球就是在離心力和引力共同的勢能下，在這個勢能最低處附近振蕩。這就引起了我們的問題：什麼樣的勢能會有最低點呢？

首先，這個問題中勢能的形式是：

$-k/r^n+l^2/(m*r^3)$

這裡，n=1對應我們常見的引力或者靜電力。勢能第一項對應引力，k就是GMm之類的東西，我印象中高中應該是講了引力勢能的……後面一項是離心力對應的勢能。關於離心力為什麼對應這樣的勢能，我不知道如何用高中知識解釋給你聽……所以先算了好吧？可以告訴你的是，這個是與引力是什麼形式無關的，不論n取多少，後面一項總是這個樣子的。

我們來看看幾種典型的勢能分布：

看到了嗎？當n&>2的時候，勢能最低點變成了最高點，這樣的系統是不能穩定的！會在很小的擾動下墜向太陽或者飛向遠方，這都不是我們所希望的。而n=2和n&<2的系統，都有最低點，這樣的系統是穩定的。

如果你學習過微分的初步知識，這就是一個求導數和二階導數的過程。仔細求導會發現，一階導數等於0對應的r值，在n&>2的時候，二階導數大於0，因此系統只有極大值點。

所以，我們知道了，如果要維持一個穩定的軌道，n&>2是絕對不行的，n&<2是可以的，但是穩定性要差一些（這個我還沒想出來怎麼樣很好地用高中知識解釋），而n=2確實是一個很好的數值，他可以給我們一個非常穩定的軌道。而n=2本質上來說，是與我們的力學框架和圓這樣一個圖案的特性有關的。具體點說，是和動能取 $v^2$ 有關，而且圓的弧長是 $r imes heta$ 有關的。當然，這種關係並不是值得深思的東西，當你學習了基本的微積分知識，以及拉格朗日力學框架之後，都是非常簡單的問題。

不知道這個回答題主是不是滿意呢？如果還有什麼疑問可以隨時指出。

PS：各位如果想從這個問題看出物理學發展的「道」、統一場論或者其他什麼東西的話，很抱歉與那些都沒有關係。現代物理學對於場的理解已經遠遠超過了「平方反比」這樣的級別了。我們在科普書力遇到的「對稱性」的美之類的說法，都是在比這深得多的基礎上。所以，從這個問題來看對稱性之類的問題，並不能得到非常深刻的結論。

PPS：題主的思考值得鼓勵，但是我仍然忍不住要潑些涼水：先不說「思而不學則殆」的問題，我們產生了一個想法之後，首先應該做的，並不是向別人推銷這個想法，而是把它做精做透。比如針對這個問題：為什麼引力和靜電力形式這麼相似？我們就可以提出這樣的問題：除了常數（G與k）不同，他們還有任何的不相同嗎？我們可以假設天體之間都是靜電力，然後算一算圓周運動，和開普勒定律比一比，看看有沒有不同。換句話說，想到一個宏大的問題時，我們應該把它具體化，然後嘗試去解決。而不是提出問題就為自己自豪，然後就放在一邊去了，這樣你收穫的只有一堆華而不實的空洞問題。

為什麼要說這些呢？因為我就曾經是這樣一個孩子……

以上。

可以這樣說，庫侖力和萬有引力形式相似，都是與距離成反比是因為我們的空間維度是三維的。

有源無旋，在三維空間中單點引發的中心場按照通量守恆來看必須平方反比。

高斯定理。。電荷和物體的電場線引力線發射狀的。所以遵從平方反比

高中《物理－必修1》認為兩種相互作用分別屬於萬有引力和電磁相互作用。但現在的方向是證明四種基本相互作用的同一本質。現在還未完成。

就做題而言，兩種力可以極其好地類比，比如它們都是保守力，並且勢能公式形式一樣。又比如，物理競賽中引力場的題目和電磁學的題目經常會有幾分相似，可以用類似的處理方法。

另外，其實庫侖定律的二次方反比的「2」次方，目前還未證明是精確的2，只是實驗做到極其接近2.

我想你說的電場是指靜電場。毫無疑問靜電場的庫侖定律和萬有引力定律十分相似。但是兩者間也有區別，庫侖定律中的電荷有正負之分，而質量卻只能為正。所以萬有引力只能是「引力」，而靜電力可以是引力也可以是斥力。有如此巨大的不同，你還會覺得兩者間有某種聯繫嗎？

謝邀

首先恭喜你具有如此思考過程，這在物理學習中是難能可貴的，也將在今後使你獲益匪淺。

好了，回到問題本身。遺憾的告訴你，我認為二者沒有關係，原因如下：

電場的成因是電磁相互作用，引力場的成因是萬有引力，這是兩種不同的作用，在成因上沒有關係。再者，平方反比的表達式也不是所謂「準確形式」，而是近似式，事實上，以電場為例，在較小尺度上更接近於3次方反比，更小尺度上目前還尚未掌握表達式。

那麼二者表達式為何如此相近呢？這來自高斯定理。關於這點怎麼理解，可以這樣想像：電荷是向四周發射電場線的發射源，引力質量是向四周發射引力線的發射源，二者數值大小決定了各自發射場線的根數。由於對稱性，同一球面上各點分得的根數一定，因此每個點的場線密度（場強）即總根數比球面積，也就是與距離平方成反比了。如果還不清楚的話（我特愛舉這個例子），可以想像DOTA里影魔的大招，同一圓周上總傷害一定，那每一點受到的傷害就是總傷害比園周長，便是距離的一次反比。在這個例子里，影魔相當於力荷，影子數相當於數值，傷害相當於場強。

不過，既然題主加上了「量子力學」的標籤，那麼我可以再深刻地回答下這個問題。現代物理有一種「大統一理論」，試圖證明四種相互作用本質上是同一作用的不同表現形式，理論上已經基本成熟，而實驗上已經統一了強，弱，電。現在唯有萬有引力尚未歸入其中，因為它的強度太弱了。目前瑞士正在建造一台全世界最大的加速器，而它的一個使命就是把萬有引力統一在其中，這樣引力與電磁力就有了牢固的聯繫。

希望這個答案沒有讓題主失望，其實你已經形成了一種在物理學習過程中很重要的「類比」思想，建議你能把它繼續下去。將來進一步學習電場，以及熱流都會用到這種類比。另外，轉動和平動的類比，LC電路和諧振動的類比，都將是解決該問題的利刃。

愛因斯坦也很想搞清楚這個問題，可惜他到死都沒有成功。

目前還未證明他們有任何關係

兩個場之間沒有什麼聯繫，不過我可以給你一點啟發，拓展你看世界的角度。下面一段是我在如何理解比三維空間更高維度的空間？里的一段答案，我直接複製過來。

「我們知道弦理論是已知的最微觀尺度，如果你不相信這個理論，我們就假設有一個最小微觀尺度的粒子或弦線組成了這個浩瀚的宇宙。為什麼有最小的，又是什麼東西組成了它們？！必須有最小的微觀粒子，即使我相信宇宙在尺度上無限可分沒有最小，但是它必須是在組成上是有限可分的，因為如果在客觀實在的物質組成上宇宙也能無限可分的話，你就永遠找不到本源，宇宙的存在成了永遠證明不了的證明題，相當於表明宇宙是不存在的！！！宇宙不存在，這個是人類實踐中不能承認的命題，實踐是檢驗真理的唯一標準。反而求上，宇宙必須在物質組成上是有限可分的。那麼為了方便你的理解，作一個大大的不可能的假設：假如你現在變成了上文說的最微觀粒子或最微觀弦線那麼大小，你會看到什麼？！你會發現宇宙中的一切都是這個最微觀物質組成的，看不到任何化學的反應，世界只有物理運動，因為比它大的是它們組成的，比它小的根本不存在。它眼裡全是它們！！請用心體會，你會發現這個世界是三維的！我們人類處在一個適中的尺度，所以研究微觀世界時就要不斷添加維度。我們也就無法真正客觀的觀察這個世界，真正的客觀是在最微觀尺度上研究這個世界，那樣你會發現這個宇宙空間的真相是三維的。」（以下是新寫的答案）

我們把宇宙所有物質運動遵循的客觀規律稱為"道"，那麼從最宏觀到最微觀之間會有無數個尺度的層級，每個層級里的物質運動都遵循一定的客觀規律。這是不是道要給每個層級都要分配客觀規律呢？！

顯然是不必的，每個層級的物質其實是由更微觀的粒子組成的，歸根結底，一切物質都是由最微觀粒子或弦線組成的，大道只要制定了最微觀世界的客觀規律，任何層級的物質運動都會有條不紊、按部就班地進行著。

剛才複製來的文中說了在最微觀尺度觀察和思考這個世界人們才會做到真正的客觀正確，那個尺度看到的一切只有物理運動，那麼鑒於物理運動的特性，我們就可以相信，由此而上各個層級的規律會有相似性。

回到我們靜電場和牛頓引力場的問題，層級之間的相似性，高層級幾乎就是對底層級的模仿，所以規律也就相似了。

有散性，都是通量源場。

無旋性，場量的線積分都與路徑無關。