怎樣用尺規作圓的外切正五邊形？

01-05

先畫出內接正五邊形，然後畫五條切線……

更新：改了一下，不那麼眼暈，標了點，便於敘述討論。

已知圓 O 為紅色，A 為圓上任意一點，依次找出點 B，C，D， E，F1、F2、F4，F3、F5。原理：先算出 cos(π/5) = 1/(√5-1) http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B8%E7%B2%BE%E7%A2%BA%E5%80%BC#36.C2.B0:_.E6.AD.A3.E4.BA.94.E9.82.8A.E5.BD.A2，然後用一次勾股定理得到長為
√5 的線段 |AD|。

我贊同 @DiamondbacK 的做法，不過他沒寫詳細過程所以可能題主你需要花一點時間理解。

個人的做法是這樣的，把這個問題分成幾個小的子問題：

1.如何做出正五邊形？其本質要求是什麼?（獲得一個108度的角，這個你可以通過構造勾股三角形來獲得兩條比為黃金比的線段，然後畫一個頂角為108度的等腰黃金三角形，非常簡單，嘗試下）

2.如何把這個正五邊形外切到一個已知的圓上？

其實第一個問題解決了之後其餘的都很簡單了因為你只需要如下操作：

1.弄出一個108的角，這個請自行百度，正五邊形作圖是N久以前的事情了，尺規作圖基本功之一。

這個角留著有大用處

2.在一個圓上畫一條切線，隨便畫。

3.切線上任取一點P，使其與切線夾角為108度，我們已經有一個108度的角了，copy一個角是初中就會的東西。

4.從圓心作垂線交圓周與Q

5.然後過這個Q點作圓切線

6.你發現我們已經有一個五邊形的兩條邊了，說法OK，下面如法炮製作出剩下的三邊。

搞定了，不必擔心我們做出來的不是正五邊形，我們的五條邊與圓心的距離都是一樣的，所以這個五邊形是正五邊形。

其實我本人更加喜歡 @DiamondbacK的做法，很多時候看上去複雜的尺規作圖也會有很多鬼斧神工的解法。不過題主我覺得你這樣的問題都無法解決（不是黑你，這個問題很基礎。。），我認為你需要的解法是一種將大問題分解成小問題的按部就班的做法。也許不優美，但是更加友好。我這裡所有的步驟，除了第一個作一個108度角以外，其餘的所有步驟不超過初中尺規作圖的要求。我相信你一定可以。

另外這張圖的性質非常非常非常非常非常非常多，實際上圖中有至少五個完全四邊形，如果你使用Menelaus定理的話可以得到非常非常非常非常非多的有意思的公式。其中之一就是完全五邊形的Menelaus定理。這種線段比齊次比的命題屬於射影幾何的範疇，不過當年張景中院士搞出了機器證明與消點法，利用最基本的面積就可以得到許許多多類似的結論。

不好意思激動了。。歲月啊（掩面流淚）

另外，許多證明尺規作圖可能性的題目，都是給出了核心的一個對象，比如某個線段長（或者說和某個線段的的比，尺規作圖裡沒有幾厘米這種說法，只有線段比線段，面積比面積這種齊次化的概念，整個尺規作圖是齊次的），有一個可以被作出來的表達式。然後這個表達式很繁，但是可以作，然後證明者就不作了。。。。。。。。。。。。

作垂直平分線

量取五等份，並連線

確認每個角度為108°