如何用數學語言來定義無理數？

01-05

請不要直接用無限不循環，不能寫成整數比的數等等這些來回答。

恕我直言，學基礎數學的人，問這樣的問題有可能為人所哂。

科西無窮列或戴德金劃分是最常見的。

維基

http://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers

中的Explicit constructions of models.

有理數把差的絕對值作為距離，在此距離意義上並不完備（完備定義：柯西列（柯西列定義：一個數列，越往後任意兩項的距離越小）有收斂點）

為了把它完備化，需要引入有理數列，每個數列作為一個數（數學的數不都是用來數數的，比如複數，四元數 etc. 只要我們需要，就可以定義數），這樣的話就完備了（需要證明有理數列的柯西列也是在有理數列里的）。

完備的好處有很多，因為很多定理的條件是柯西列收斂就怎麼怎麼樣。。。。。

另一種定義無理數的方法是戴德金分割。

這種方法本質上是證明在數軸上有理數佔據了一些點，然後還可以找到另外的點不是有理數，但是它們由左右兩邊的有理數所唯一確定（為啥？還不是因為柯西列不收斂啊摔！），這樣就能說明有理點加了這一些斷點後變成了整個實數軸。

$x$ is irrational $:Leftrightarrow xin mathbb{R} setminus mathbb{Q}.$

You can first define $mathbb{N}$ , $mathbb Z$ , $mathbb Q$ , then $mathbb R$ , by whatever means you prefer. Then you get the definition of an irrational number.

我最愛的方式是戴德金分割，希望樓主能喜歡。

戴德金分割是這樣的兩個由有理數組成的集合：

我們把它稱作左集和右集。左集的每一個元素都比右集的任意元素要小，並且左集和右集的並集是整個有理數集。

那麼有3種情況。一個是左集有一個最大的元素，一個是右集有一個最小的元素。第三種情況就是左集沒有最大的元素右集沒有最小的元素。

這第三種情況的戴德金分割就確定了一個無理數。

舉個例子，考慮一個戴德金分割，凡是其平方比2小的有理數就放到左集，其平方大於等於2的就放到右集。這顯然是一個合理的戴德金分割。但是左集中沒有最大的元素，右集中沒有最小的元素。

這個時候它就確定了一個無理數。當然我們知道平時我們習慣把這個分割出的數字叫做根號2。

「不能寫成整數比」就是無理數的嚴格定義。再嚴格的定義只是為了定義什麼是「不能」，什麼是「整數」，什麼是「比」。

——為什麼普遍出現在課本和百度百科的定義「無限不循環，不能寫成整數比的數是無理數」是不準確的？

這是因為數學領域絕對不允許出現循環定義。

小時候翻字典的時候我們可能會發現很多反義詞例如「高」、「矮」分別解釋為「與『矮』相對」和「與『高』相對」，然而除了覺得有些有趣，大概也不會覺得有什麼毛病，因為「高」、「矮」都是一種模糊的概念，無法準確地定義它們。然而數學是一門理性的學科，其理論的建立是基於邏輯推理而產生的，因此循環定義和循環論證是沒有信服力的。

參考下有理數的定義，就會發現「無限不循環，不能寫成整數比的數是無理數」其實等價於「不是有理數的數是無理數」，而這個「數」又勢必不能是複數之流，只能理解為實數。然而實數的定義是「有理數和無理數的統稱」，於是便出現了循環定義。

——對無理數如何定義才是準確的？

回顧下有理數的合理定義「可以寫成整數的比的數是有理數」，我們就會發現正確的定義邏輯應當是從前一種已知的定義導出後一種未知的定義。於是無理數應當是通過有理數定義的。

——如何定義無理數？

終於回到關鍵問題。對於無理數的定義，主要有三種方式：

1.Dedekind切割定理

直觀來說就是將有理數Q集合「切」成兩個一大一小的集合，大集合里的數都比小集合里的數大，倘若大集合無最小數，小集合無最大數，也就是兩個集合之間出現了一個「空隙」，就稱這種切割確定了一個無理數，這個無理數比大集合的數小，小集合的數大；倘若大集合有最小數，小集合無最大數，或者小集合有最大數，大集合無最小數，就成這種切割確定了一個有理數，就是那個最小數或最大數。

接著定義實數集R就是全體有理數和這樣定義的無理數的集合。

最後證明R是稠密的（保證對無理數的定義是有意義的），也就是說對於R的任何一種切割，要麼大集合有最小數，要麼小集合有最大數。基於有理數的切割，簡單討論那兩種情形就可以證明。

2.柯西列定義

簡單來說，就是利用數列逼近的方法，將有理數域映射到實數域。

3.魏爾斯特拉斯十進位小數定義

簡單來說，將實數用十進位無限小數來表示。

方法1是通過有理數直接導出無理數，方法2,3是先定義出實數域再導出無理數定義（這與之前的循環論證有本質不同）

如果你看完之後覺得還有些疑惑，如果你看完後覺得漏洞百出，如果……

那麼……

當然是選擇原諒我這個大一數學系戰五渣=。=了呀！

我見過的有三種方法

1.題主不支持的無限不循環小數定義，這個定義的問題是先得學會進位，還有個蛋疼的結論也可以說是前提的0.9999……=1。

2.柯西收斂序列。這個在陶喆軒實分析的論述比較精彩。其實初中引入無理數可以看做柯西收斂序列的一種不嚴謹的表達。

3.戴德金劃分。國內教科書比較通用的辦法。

給你個數學史角度的答案:

無理數是無法用數字準確表示出來的數。

既然想要數學語言的話，怎麼能離開集合和邏輯呢？

集合：

有答主已經提到了，無理數的定義是： $mathbb{R}ackslashmathbb{Q}$ .

邏輯：

假設題主已經一路從空集推出自然數推出整數了，並且也知道了有理數的數學定義，那麼可以很方便的得出無理數的定義:

$x:is:irrationalquadLongleftrightarrowquadforall,ainmathbb{Z},wedge,binmathbb{Z}ackslash{0},:x eqdfrac{a}{b}.$

嗯，就醬。

可以用級數

不過如果你想把無理數寫成有限的解析形式，顯然是不可能的。

有理數是可以用整數運算得到的

如果你想也用類似方式表示無理數，也只能是整數加減乘除，但那就是有理數了。

你能僅僅用一個分數表示某個無窮項數列所有項的和嗎？

因為他有無窮多的項所以無法寫成一個分數

這是很自然的理解還要怎麼理解？

p開頭的答主說的很嚴謹了，題主想知道，直接學習數學分析，一開始就會和你說實數域

感謝邀請。

這個問題貌似如果要不定義「有理數」直接定義的話只能定為「不能寫成正數比」的實數。如果要定義了有理數然後在取余集的話就很容易了。