代數幾何和數論的關係？

01-05

聽說如果想學數論一定要學好學深代數幾何，那他們之間到底有什麼聯繫呢？

不明白上面的回答為什麼扯這麼多玄乎的。實際上這個聯繫非常簡單，數論要研究多項式方程的解，多項式方程定義了代數簇，所以研究方程就等價於研究代數簇。比如數論上要得到方程的整數解，就可以看成代數簇的rational points，許多重要的猜想都跟counting rational points有關，比如Mordell猜想和費馬大定理，所以當然要研究代數幾何。實際上，這個觀點的轉變是非常簡單的，Grothendieck對代數幾何觀念的革命要比把數論轉化成代數幾何來研究這種必然的想法深刻得多。另一些猜想考慮over $mathbb{F}_p$ 的代數簇有多少個點，實際上也就是要數一數在有限域上的多項式方程有多少個解，這種問題就是最早學有限域時候經常遇到的習題。比如最基本的有Hasse定理，更深刻的是Sato-Tate猜想。Sato-Tate猜想的證明還要用Griffiths的工作來算family of Calabi-Yau varieties的monodromy，可以說連超越代數幾何的想法都用上了，已經把代數幾何用到了極限。但是初學者還是應該從數論出發，多學一點elliptic curve這種具體的數學，因為elliptic curve是複分析，數論和代數幾何的交界處。每個數論學家都要懂一點點複分析和代數幾何，因為你至少得知道什麼是modular form。

我讀過的數論上最好的科普文章是Mazur的Number theory as Gadfly，給出了費馬大定理非常幾何化的理解，本科生也可以看懂：http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/mazur1.pdf。

等到你的數學學習更深入之後，你就會知道，不僅是數論會主動去和代數幾何作用，代數幾何上的一些理論也會自動地聯繫到數論。比如K3曲面的Gromov-Witten不變數的generating function有個非常漂亮的表達，只包含Eisenstein series $G_2$ 和discriminant modular form。

不僅是代數幾何，從mirror symmetry的角度看，辛幾何也應該和數論有聯繫。這就需要考慮Fukaya category over commutative ring：https://arxiv.org/pdf/1211.4632.pdf（這個文章有點小問題，作者們還在fix，主要是quasi-equivalence of $A_infty$ category over commutative ring的定義有問題）。另外，Ivan Smith證明了hyperelliptic curve的Fukaya category和pencil of quadrics的base locus的Fukaya category的nilpotent summand quasi-equivalent：Floer cohomology and pencils of quadrics，是我們這個領域最美的工作之一。另一方面，Hyperelliptic curve和pencil of quadric的聯繫在數論上也被 Bhargava等人研究過：http://www.math.harvard.edu/~gross/preprints/hyper17.pdf。至於他們的文章跟Smith的文章有什麼關係，就不是我所能說得清楚的了。我希望等到Lekili-Perutz的工作寫嚴格之後，我可以考慮一下hyperelliptic curve的arithmetic mirror symmetry。

謝邀。

如果要做代數數論的話，代數幾何是現代的代數數論的標準工具。黎景輝老師好像寫過一篇介紹代數數論歷史的文章，可以搜一下看看。主要在於數論與所謂的算術代數幾何有深刻的聯繫。算術代數幾何是基域為Q的代數幾何，「算術」其實就是數論的意思。很多用初等數學語言表述的數論都可以轉換為代數幾何中的命題。比如很多丟番圖方程都可以轉換為關於橢圓曲線的性質的命題。

如果要做解析數論的話，那其實沒必要懂那麼多代數幾何（但其實還是可能用到代數數論的結論）。解析數論對分析的功底要求很高，以前在人人網上看到過某數學家一開始是舉重運動員，後來轉行進數學界做PDE，最好又轉行做解析數論。然後有人開玩笑說：想做解析數論，先去練練舉重，再去學PDE，把硬分析功底練紮實了再來學解析數論。

我是學代數幾何的，不過最初想學代數幾何確實是因為數論，記得大三參加夏令營就知道數論與代數幾何這個方向，實際上那時候所了解的名詞遠遠沒有真實的分支繁多。可能數論特別是代數數論的學習研究要得以進一步深入則很依賴於幾何也就是代數幾何，以Zariski,Weil,Serre,格羅滕迪克等很多大家建立代數幾何的抽象理論，概型與上同調等基本工具可以用於解決數論的大問題，比如G.Falting證明的莫德爾猜想與懷爾斯證明的費馬最後定理等，我並不是做數論的，而這種十分強大的標準工具足夠讓數論建立起算術代數幾何這個分支，其中就包括p-adic hodge理論。大三聽一個後來做數論的學長講，數論里有個著名的Langlands綱領，是數論、代數幾何、表示論相結合的大綱領。數論這一塊我是展望做不了的。打算學代數幾何的朋友應該也要看到代數幾何本身也有自己美妙的研究特色，完成復幾何與gtm52之後我們走進了一個新的數學世界。